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1、2.2函数的单调性与最值 考纲要求1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会利用函数的图象理解和研究函数的性质,1函数的单调性 (1)单调函数的定义,(2)单调区间的定义 如果函数yf(x)在区间D上是_或_，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，_叫做yf(x)的单调区间,增函数,减函数,区间D,2函数的最值,【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”() (2)对于函数f(x)，xD，若x1，x2D且(x1x2)f(x1)f(x2)0，则函数f(x)在D上是增函数
2、(),【答案】 (1)(2)(3)(4)(5)(6),【答案】 D,2(2017温州模拟)若函数f(x)|2xa|的单调递增区间是3，)，则a的值为() A2 B2 C6 D6,【答案】 B,5(教材改编)已知函数f(x)x22ax3在区间1，2上具有单调性，则实数a的取值范围为_,【解析】 函数f(x)x22ax3的图象开口向上，对称轴为直线xa，画出草图如图所示,由图象可知函数在(，a和a，)上都具有单调性，因此要使函数f(x)在区间1，2上具有单调性，只需a1或a2，从而a(，12，) 【答案】 (，12，),【方法规律】 确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用
3、定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“”连接,【答案】 (1)2(2)a1 【方法规律】 求函数最值的常用方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值； (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值； (3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值,题型三函数单调性的应用 命题点1比较大小 【例3】 (2016安徽皖北片第一次联考)已知偶函数f(x)对于任意xR都有f(x1)f(x)，且f(x)在区间0，2上是递增的，则f(6.5)，f(1)，f(0)的
4、大小关系是() Af(0)f(6.5)f(1) Bf(6.5)f(0)f(1) Cf(1)f(6.5)f(0) Df(1)f(0)f(6.5),【解析】 由f(x1)f(x)，得f(x2)f(x1)f(x)，函数f(x)的周期是2.函数f(x)为偶函数， f(6.5)f(0.5)f(0.5)，f(1)f(1) f(x)在区间0，2上是单调递增的， f(0)f(0.5)f(1)，即f(0)f(6.5)f(1) 【答案】 A,【答案】 A,【方法规律】 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决 (2)解不等式
5、在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义域,(3)利用单调性求参数 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； 需注意若函数在区间a，b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； 分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值,跟踪训练3 (1)f(x)是定义在(0，)上的单调增函数，满足f(xy)f(x)f(y)，f(3)1，当f(x)f(x8)2时，x的取值范围是() A(8，) B(8，9 C8，9 D(0，8),【答案】 (1)B(2
6、)D,答题模板系列1 确定抽象函数单调性解函数不等式 【典例】 (12分)函数f(x)对任意的m、nR，都有f(mn)f(m)f(n)1，并且x0时，恒有f(x)1. (1)求证：f(x)在R上是增函数； (2)若f(3)4，解不等式f(a2a5)2.,【思维点拨】 (1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义应该构造出f(x2)f(x1)并与0比较大小(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本题的切入点要构造出f(M)f(N)的形式,【解析】 (1)证明 设x1，x2R，且x1x2，x2x10， 当x0时，f(x)1，f(x2x1)1.(2分) f(x2)f(x2x1)x
7、1f(x2x1)f(x1)1，(4分) f(x2)f(x1)f(x2x1)10f(x1)f(x2)， f(x)在R上为增函数(6分),(2)m，nR，不妨设mn1， f(11)f(1)f(1)1f(2)2f(1)1，(8分) f(3)4f(21)4f(2)f(1)143f(1)24， f(1)2，f(a2a5)2f(1)，(10分) f(x)在R上为增函数， a2a513a2， 即a(3，2)(12分),【答题模板】 解函数不等式问题的一般步骤： 第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性； 第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)f(N)的形式； 第三步：(去f)运用函数的单调性
8、“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组； 第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集； 第五步：(反思)反思回顾查看关键点，易错点及解题规范,【温馨提醒】 本题对函数的单调性的判断是一个关键点不会运用条件x0时，f(x)1，构造不出f(x2)f(x1)f(x2x1)1的形式，便找不到问题的突破口第二个关键应该是将不等式化为f(M)f(N)的形式解决此类问题的易错点：忽视了M、N的取值范围，即忽视了f(x)所在的单调区间的约束.,方法与技巧 1利用定义证明或判断函数单调性的步骤 (1)取值；(2)作差；(3)定量；(4)判断 2确定函数单调性有四种常用方法：定义法、导数法、复合函数法、图象法，也可利用单调函数的和差确定单调性 3求函数最值的常用求法：单调性法、图象法、换元法,失误与防范 1分段函数单调性不仅要考虑各段的单调性，还要注意衔接点 2函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“”.,