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1、1二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)_ 顶点式：f(x)_ 零点式：f(x)_,ax2bxc(a0),a(xm)2n(a0),a(xx1)(xx2)(a0),(2)二次函数的图象和性质,2.幂函数 (1)定义：形如_ (R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数 (2)五种幂函数的图象比较,yx,(3)幂函数的性质 幂函数在(0，)上都有定义； 幂函数的图象过定点(1，1)； 当0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，)上单调递增； 当0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，)上单调递减,【答案】 (1)(2)(3)(4)(5)(6),【答案】
2、 B,【答案】 C,【答案】 B,4已知函数yx22x3在闭区间0，m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为_ 【解析】 如图，由图象可知m的取值范围是1，2 【答案】 1，2,5已知函数f(x)x22ax1a在x0，1时有最大值2，求a的值 【解析】 函数f(x)x22ax1a(xa)2a2a1，对称轴方程为xa. 当a0时，f(x)maxf(0)1a， 1a2，a1. 当0a1时，f(x)maxf(a)a2a1，,a2a12，即a2a10， 当a1时，f(x)maxf(1)a，a2. 综上可知，a1或a2.,题型一求二次函数的解析式 【例1】 已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)
3、1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式 【解析】 方法一 (利用一般式)： 设f(x)ax2bxc(a0),【方法规律】 求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的形式，利用所给出的条件，根据二次函数的性质进行求解,跟踪训练1 (1)二次函数的图象过点(0，1)，对称轴为x2，最小值为1，则它的解析式是_ (2)(2017武汉模拟)若函数f(x)(xa)(bx2a)(常数a，bR)是偶函数，且它的值域为(，4，则该函数的解析式f(x)_,(2)由f(x)是偶函数知f(x)图象关于y轴对称， b2，f(x)2x22a2， 又f(x)的值域为(，4， 2a24，故f(x)2x
4、24.,题型二二次函数的图象与性质 命题点1二次函数的单调性 【例2】 已知函数f(x)x22ax3，x4，6， (1)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间4，6上是单调函数； (2)当a1时，求f(|x|)的单调区间,又x4，6，f(|x|)在区间4，1)和0，1)上为减函数，在区间1，0)和1，6上为增函数 命题点2二次函数的最值 【例3】 已知函数f(x)x22x，若x2，3，则函数f(x)的最大值为_,【解析】 f(x)(x1)21，2x3(如图)， f(x)maxf(2)8. 【答案】 8,【引申探究】 已知函数f(x)x22x，若x2，a，求f(x)的最小值 【解析】 函数yx2
5、2x(x1)21， 对称轴为直线x1，,x1不一定在区间2，a内，应进行讨论，当2a1时，函数在2，a上单调递减，则当xa时，y取得最小值，即ymina22a；当a1时，函数在2，1上单调递减，在1，a上单调递增，则当x1时，y取得最小值，即ymin1. 综上，当2a1时，ymina22a， 当a1时，ymin1.,命题点3二次函数中的恒成立问题 【例4】 (1)(2017石家庄模拟)设函数f(x)ax22x2，对于满足1x4的一切x值都有f(x)0，则实数a的取值范围为_ (2)已知a是实数，函数f(x)2ax22x3在x1，1上恒小于零，则实数a的取值范围为_,【方法规律】 (1)二次函数
6、最值问题解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成 (2)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数,两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离这两个思路的依据是：af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min. 跟踪训练2 已知函数f(x)x22ax2，x5，5 (1)当a1时，求函数f(x)的最大值和最小值； (2)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间5，5上是单调函数,【解析】 (1)当a1时，f(
7、x)x22x2(x1)21，x5，5， 所以当x1时，f(x)取得最小值1； 当x5时，f(x)取得最大值37. (2)函数f(x)(xa)22a2的图象的对称轴为直线xa， 因为yf(x)在区间5，5上是单调函数， 所以a5或a5，即a5或a5. 故a的取值范围是(，55，),【答案】 (1)C(2)A,【方法规律】 (1)幂函数的形式是yx(R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式 (2)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴,跟踪训练3 (1)(2017河南漯河一模)已知幂函数
8、f(x)(m23m3)xm1为偶函数，则m() A1 B2 C1或2 D3,(2)(2017江苏南京一模)已知幂函数f(x)(m1)2xm24m2在(0，)上单调递增，函数g(x)2xk，当x1，2)时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，若ABA，则实数k的取值范围是() A(0，1) B0，1) C(0，1 D0，1,【解析】 (1)幂函数f(x)(m23m3)xm1为偶函数， m23m31，即m23m20，解得m1或m2.当m1时，幂函数f(x)x2为偶函数，满足条件当m2时，幂函数f(x)x3为奇函数，不满足条件故选A.,(2)f(x)是幂函数，(m1)21，解得m2或m0.若
9、m2，则f(x)x2在(0，)上单调递减，不满足条件若m0，则f(x)x2在(0，)上单调递增，满足条件，即f(x)x2.当x1，2)时，f(x)1，4)，即A1，4)；当x1，2)时，g(x)2k，4k)，即B2k，4k)ABA，BA，2k1且4k4，解得0k1. 【答案】 (1)A(2)D,思想与方法系列3 分类讨论思想在二次函数最值中的应用 【典例】 (12分)已知f(x)ax22x(0 x1)，求f(x)的最小值 【思维点拨】 参数a的值确定f(x)图象的形状；a0时，函数f(x)的图象为抛物线，还要考虑开口方向和对称轴与所给范围的关系,【温馨提醒】 (1)本题在求二次函数最值时，用到
10、了分类讨论思想，求解中既对系数a的符号进行讨论，又对对称轴进行讨论在分类讨论时要遵循分类的原则：一是分类的标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，绝不无原则的分类讨论 (2)在有关二次函数最值的求解中，若轴定区间动，仍应对区间进行分类讨论.,方法与技巧 1二次函数的三种形式 (1)已知三个点的坐标时，宜用一般式 (2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关的量时，常使用顶点式 (3)已知二次函数与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便,2研究二次函数的性质要注意： (1)结合图象分析； (2)含参数的二次函数，要进行分类讨论 3利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，转化为同指数幂，再选择适当的函数，借助其单调性进行比较,失误与防范 1对于函数yax2bxc，要认为它是二次函数，就必须满足a0，当题目条件中未说明a0时，就要讨论a0和a0两种情况,2幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.,