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1、制作一个尽可能大的无盖长方体形盒子赵天罡（西北工业大学附中初一18班，陕西 西安）摘 要：为了制作一个容积最大的无盖长方体形盒子，本文运用画图法、制表法对边长20cm的正方形纸裁剪后的无盖长方体形盒子容积进行了分析，分别针对五种“九宫格”形的裁剪方法提出了两种不同的计算公式。计算分析结果表明：在两种计算方法中，方法二得到的容积值较方法一大；方法一剪裁的小正方形宽度值取约3.3333时容积最大，方法二剪裁的小正方形宽度值取时约4.2265时容积最大。关键词：正方形；长方体无盖纸盒；容积；裁剪；图表法81 问题的提出在几何数学中，我们经常遇到以下问题：（1）如何将一张正方形纸板裁剪成长方体无盖纸盒
2、？（2）怎样裁剪使这个纸盒最大？这两个问题是两个相关的问题，其中隐含着正方形纸板的裁剪方法和长方体无盖纸盒最大容积的计算和分析方法问题。本文将首先从正方形纸板的裁剪方法研究出发，运用画图法、制表法等方法分析计算长方体无盖纸盒的最大容积。2 “九宫格”形的裁剪方法要将一张正方形纸板裁剪成长方体无盖纸盒首先涉及到的是正方形纸板的裁剪方法，为了直观简单的分析裁剪方法，本文借助了唐代书法家欧阳询所创制的“九宫格”。九宫格，又叫“九方格”，即九个一样大小的正方形组成的大正方形，如图1所示。借助九宫格，将正方形纸板裁剪成长方体无盖纸盒就变得十分容易。所谓“九宫格”形的裁剪方法，即是将无盖长方体看作无盖正方
3、形，无盖长方体的平面展开图的长宽跨度均为大正方形边长；将大正方形看作九宫格，并剪裁其中四块小正方形，留下相邻并可折成无盖正方体的5块小正方形，如图2所示。 图1 九宫格 图2 “九宫格”形的裁剪方法运用“九宫格”，可裁剪成无盖长方体的方法有8种，如图3所示，其中后3种裁剪方法（即68裁剪方法）属于变形“九宫格”形的裁剪方法，计算较为困难，本文不进行分析计算，重点分析前5种方法的容积计算。 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8）图3 正方形纸板的9种“九宫格”形的裁剪方法3 无盖长方体的最大容积计算下面重点分析上述前5种“九宫格”形的裁剪方法的最大容积计算。经过分析，（1
4、）（3）种裁剪方法的容积计算方法相同，（4）、（5）种裁剪方法的容积计算方法相同，应分别计算，下文将（1）（3）种裁剪方法的容积计算方法归为方法一，将（4）、（5）种裁剪方法的容积计算方法归为方法二。为便于计算，下列两种方法均以边长为20cm的正方形纸为例进行无盖长方体的裁剪和容积计算。3.1 方法一（1）裁剪方法（1）（3）种“九宫格”形的裁剪方法如图4所示，图中黑色为剪裁部分。其中图（1）中剪裁的小正方形宽度全部相同；图（2）中剪裁的小长方形长度为“20cm与剪裁的小正方形宽度的差”，剪裁的小长方形宽度等于剪裁的小正方形宽度；图（3）中不规则图形的2条长边相等，为剪裁的小正方形宽度的两倍，
5、 不规则图形的4条短边相等，等于剪裁的小正方形的宽度。 （1） （2） （3）图4 （1）（3）种“九宫格”形的裁剪方法（2）容积计算公式 上述（1）（3）种“九宫格”形的裁剪方法其容积计算公式相同，如式（1）所示：V=(20-X*2)2*X （1）式中：大正方形纸的边长为20cm；X为剪裁的小正方形边长（cm），0X10；V为剪裁后无盖长方体的容积（cm3）。（3）最大容积计算如果剪去的小正方形边长按整数值依次变化，即分别取1cm,2cm,3cm,4cm,5cm,6cm,7cm,8cm,9cm,10cm时，折成的无盖长方体形盒子的容积运用公式（1）的计算结果如表1和图5所示。方法一的无盖长方
6、体形盒子的容积计算结果 表1小正方形的边长（cm）无盖长方体的容积（cm3）小正方形的边长（cm）无盖长方体的容积（cm3）13246384251272523588812845769365500100图5 方法一的无盖长方体形盒子的容积变化趋势 从表1和图5中可以看出，当小正方形边长小于3cm时，方法一计算的无盖长方体形盒子的容积逐渐增大；在34cm间容积达到最大，其后随着小正方形边长的增加容积逐渐减小；当小正方形边长为10cm时，容积为0。为了进一步计算最大的容积，在小正方形边长34cm间，以0.1cm为步长计算无盖长方体形盒子的容积，计算结果如表2和图6所示。以0.1cm为步长的无盖长方体
7、形盒子的容积计算结果 表2小正方形的边长（cm）无盖长方体的容积（cm3）小正方形的边长（cm）无盖长方体的容积（cm3）3.1590.3643.6589.8243.2591.8723.7587.4123.3592.5483.8584.2883.4592.4163.9580.4763.5591.54576图6 以0.1cm为步长的方法一无盖长方体形盒子的容积变化趋势从表2和图6中可以看出，当小正方形边长小于3.3cm时，无盖长方体形盒子的容积逐渐增大；在3.33.4cm间容积达到最大，其后随着小正方形边长的增加容积逐渐减小。 以此类推，在3.33.4cm间分别以0.01cm，0.001cm，为
8、步长计算无盖长方体形盒子的容积，即可得到小正方形边长为3.333333333（即）时，无盖长方体形盒子的容积的容积最大。3.2 方法二（1）裁剪方法（4）、（5）种“九宫格”形的裁剪方法如图7所示，图中黑色为剪裁部分。其中图中剪裁的小长方形长度为“=”。 （4） （5） 图7 （4）、（5）种“九宫格”形的裁剪方法（2）容积计算公式 上述（4）、（5）种“九宫格”形的裁剪方法其容积计算公式相同，如式（2）所示：V=X*(20-X)*(10-X) （2）式中：大正方形纸的边长为20cm；X为剪裁的小长方形宽度（cm），0X10；V为剪裁后无盖长方体的容积（cm3）。（3）最大容积计算如果剪去的小
9、长方形宽度按整数值依次变化，即分别取1cm,2cm,3cm,4cm,5cm,6cm,7cm,8cm,9cm,10cm时，折成的无盖长方体形盒子的容积运用公式（2）的计算结果如表3和图8所示。方法二的无盖长方体形盒子的容积计算结果 表3小正方形的边长（cm）无盖长方体的容积（cm3）小正方形的边长（cm）无盖长方体的容积（cm3）11716336228872733357819243849995375100图8 方法二的无盖长方体形盒子的容积变化趋势从表3和图8中可以看出，当小长方形宽度小于4cm时，方法二计算的无盖长方体形盒子的容积逐渐增大；在45cm间容积达到最大，其后随着小长方形宽度的增加容
10、积逐渐减小；当小长方形宽度为10cm时，容积为0。为了精确计算最大的容积，在小长方形宽度45cm间，小长方形宽度以0.1cm的步长增加计算无盖长方体形盒子的容积，计算结果如表4和图9所示。小长方形宽度以0.1cm的步长增加方法二无盖长方体形盒子的容积计算结果 表4小正方形的边长（cm）无盖长方体的容积（cm3）4.1384.6214.2384.8884.3384.8074.4384.384图9 以0.1cm为步长的方法二无盖长方体形盒子的容积变化趋势从表4和图9中可以看出，当小长方形宽度小于4.2cm时，方法二计算的无盖长方体形盒子的容积逐渐增大；在4.24.3cm间容积达到最大，其后随着小长
11、方形宽度的增加容积逐渐减小。在小长方形宽度4.24.3cm间，小长方形宽度以0.01cm的步长增加计算无盖长方体形盒子的容积，计算结果如表5和图10所示。以0.01cm为步长的方法二无盖长方体形盒子的容积计算结果 表5小正方形的边长（cm）无盖长方体的容积（cm3）4.21384.8954614.22384.8994484.23384.8999674.24384.897024图10 以0.01cm为步长的无盖长方体形盒子的容积变化趋势从表5和图10中可以看出，当小长方形宽度在4.224.23cm间容积达到最大，其后随着小长方形宽度的增加容积逐渐减小。在小长方形宽度4.224.23cm间，以0.
12、001cm为步长计算无盖长方体形盒子的容积，计算结果如表6和图11所示。以0.001cm为步长的方法二无盖长方体形盒子的容积计算结果 表6小正方形的边长（cm）无盖长方体的容积（cm3）4.225384.90014064.226384.90017524.227384.90017514.228384.9001404图11 以0.001cm为步长的无盖长方体形盒子的容积变化趋势从表6和图11中可以看出，当小长方形宽度在4.2264.227cm间容积达到最大，其后随着小长方形宽度的增加容积逐渐减小。进一步在小长方形宽度4.2264.227cm间，以0.0001cm为步长计算无盖长方体形盒子的容积，计
13、算结果如表7和图12所示。以0.0001cm为步长的方法二无盖长方体形盒子的容积计算结果 表7小正方形的边长（cm）无盖长方体的容积（cm3）4.2261384.90017674.2262384.90017794.2263384.90017884.2264384.90017934.2265384.90017954.2266384.9001793图12 以0.0001cm为步长的无盖长方体形盒子的容积变化趋势从表7和图12中可以看出，当小长方形宽度小于4.2264cm时，无盖长方体形盒子的容积缓慢增大；在4.2265cm附近容积达到最大，其后随着小长方形宽度的增加容积缓慢减小。 以此类推，在4.
14、22644.2266cm间分别以0.00001cm，0.000001cm，为步长计算无盖长方体形盒子的容积，即可得到小长方形宽度为4.226497308（即）时，无盖长方体形盒子的容积的容积最大。4研究结论通过以上分析计算，可得出以下研究结论：（1）“九宫格”形的裁剪方法简单直观，适合正方形纸板裁剪成长方体无盖纸盒的制作；（2）在两种计算方法中，方法二得到的容积值较方法一大；（3）以边长为20cm的正方形纸为例进行无盖长方体的裁剪和容积计算，方法一剪裁的小正方形宽度值取约3.3333时容积最大，在此之前容积逐渐增大，之后逐渐减小，减小速度较快；方法二剪裁的小正方形宽度值取约4.2265时容积最大，在此之前容积逐渐增大，之后逐渐减小，减小速度较快；（4）在“九宫格”形状的五种剪裁方法中，方法二数值最大，容积最大约为384.9001795cm3。