二重积分以及其计算.ppt

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1、关于二重积分及其计算第一张，PPT共四十一页，创作于2022年6月8.1.1 二重积分的概念二重积分的概念1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 设有一立体，它的底是设有一立体，它的底是 xOy面上的闭区域面上的闭区域D， 它的侧面是以它的侧面是以 D 的边界曲线为准线而母线平行于的边界曲线为准线而母线平行于 z 轴的柱面，它的顶是曲面轴的柱面，它的顶是曲面 ),(yxfz 0),(yxf且在且在D上连续上连续. .此立体称作此立体称作曲顶柱体曲顶柱体. . 第二张，PPT共四十一页，创作于2022年6月 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限分割、求和、取极限”的方的方法法

2、.其步骤为其步骤为用若干个小平用若干个小平顶柱体体积之顶柱体体积之和近似表示曲和近似表示曲顶柱体的体积，顶柱体的体积，),(yxfz i),(ii 先分割曲顶柱体的底先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，并取典型小区域，.),(lim10iiniifV 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积xzyoD第三张，PPT共四十一页，创作于2022年6月 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域D，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上连连续续，平平面面薄薄片片的的质质量量为为多多少少？ 平面薄片的质量平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，

3、将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似取典型小块，将其近似看作均匀薄片，看作均匀薄片， 所有小块质量之和所有小块质量之和近似等于薄片总质量近似等于薄片总质量.),(lim10iiniiM Oyx),(ii i 第四张，PPT共四十一页，创作于2022年6月定义定义8.18.1设设),(yxf是有界闭区域是有界闭区域D上的有界上的有界函数，函数，D任意分成任意分成n个小闭区域个小闭区域1 ，L,2 ，n ，其中，其中i 表示第表示第i个小闭区域，个小闭区域，也表示它的面积，在每个也表示它的面积，在每个i 上任取一点上任取一点),(ii ，作乘积作乘积 ),(iif i ，), 2 , 1(n

4、iL ，并作和并作和 iiniif ),(1将闭区域将闭区域第五张，PPT共四十一页，创作于2022年6月,),(Ddyxf 如果当各小闭区域的直径中的最大值如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数时，这和式的极限存在，则称此极限为函数),(yxf在闭区域在闭区域 D D上的上的二重积分二重积分, ,记为记为即即 Ddyxf ),(.),(lim10iiniif 积分号积分号第六张，PPT共四十一页，创作于2022年6月(1) 在在二二重重积积分分的的定定义义中中，对对闭闭区区域域的的划划分分是是任任意意的的.(3)当当),(yxf在在闭闭区区域

5、域上上连连续续时时，定定义义中中和和式式的的极极限限必必存存在在，即即二二重重积积分分必必存存在在. 二重积分定义的几点说明：二重积分定义的几点说明：(2)用平行于坐标轴的直线网来划分区域用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，则则 面面积元素为积元素为DDdxdyyxfdyxf),(),(dxdyd 故二重积分可写为故二重积分可写为第七张，PPT共四十一页，创作于2022年6月二重积分的几何意义二重积分的几何意义如果被积函数是大于零的，二重积分是柱体的体如果被积函数是大于零的，二重积分是柱体的体积积.如果被积函数是小于零的，二重积分是柱体的体积的负如果被积函数是小于零的，二重积分是柱体的体积的负

6、值值如果被积函数是时正时负的如果被积函数是时正时负的,二重积分是所有柱体体二重积分是所有柱体体积的代数和积的代数和.,),(DdxdyyxfV曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积平面薄片的质量平面薄片的质量.),(DdxdyyxM第八张，PPT共四十一页，创作于2022年6月性质性质性质性质Ddyxgyxf ),(),(.),(),(DDdyxgdyxf （二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）当当 为常数时为常数时， 、对积分区域具有可加性对积分区域具有可加性.),(),(),(21 DDDdyxfdyxfdyxf )(21DDD 8.1.2 二重积分的基本性质二重积分的基本

7、性质第九张，PPT共四十一页，创作于2022年6月性质性质性质性质A若若 为为D的面积，的面积，.1DDddA若在若在D上上),(),(yxgyxf.),(),(DDdyxgdyxf特殊地，因为特殊地，因为.),(),( DDdyxfdyxf 则有则有, ),(),(),(yxfyxfyxf于是于是第十张，PPT共四十一页，创作于2022年6月性质性质 设设M 、m 分别是分别是),(yxf在闭区域在闭区域D 上的上的最大值和最小值，最大值和最小值，A AD的面积，则的面积，则DMAdyxfmA),(为为证明证明,),(Myxfm由性质由性质4及性质及性质1和性质和性质3，有，有DDDMddy

8、xfmd ),(,MAdMMdDD .mAmdmdDD 第十一张，PPT共四十一页，创作于2022年6月设函数设函数),(yxf在闭区域在闭区域D上连续，上连续，A A为为D的面积，则在的面积，则在D上至少存在一点上至少存在一点),( 使得使得AfdyxfD),(),(性质性质6证明证明, 0A由性质由性质5，有，有.),(1MdyxfAmD再根据闭区域上连续函数的介值定理再根据闭区域上连续函数的介值定理).,(),(1fdyxfAD第十二张，PPT共四十一页，创作于2022年6月 练习练习1 判断判断 122)ln(yxrdxdyyx 练习练习2 估计积分估计积分DyxdxdyI22cosc

9、os100的值，其中的值，其中D.10 yxoxy10101010的符号的符号. 是是第十三张，PPT共四十一页，创作于2022年6月8.1.3 二重积分在直角坐标系下的计算二重积分在直角坐标系下的计算用用几几何何观观点点讨讨论论二二重重积积分分Ddyxf ),(的的计计算算. )()(,),(21xyxbxayxD其中函数其中函数 、 在区间在区间 上连续上连续.)(1x )(2x ,ba D)(1xy )(2xy yxOab )(2xy )(1xy DyxOab假定假定0),(yxf，积分区域为积分区域为第十四张，PPT共四十一页，创作于2022年6月( , )Df x y d 应用计算应

10、用计算“平行截面面积为已知的立体求体积平行截面面积为已知的立体求体积”的方的方法计算。法计算。表示以闭区域表示以闭区域D为底，为底，z=f(x,y)为顶为顶的曲顶柱体的体积。的曲顶柱体的体积。,bax过过x作平作平行于行于yoz面的平面截曲顶面的平面截曲顶柱体柱体。得一个以区间得一个以区间)(),(21xx 曲线曲线z=f(x,y)为曲边的曲边为曲边的曲边梯形梯形。为底、为底、 xzyx)(xA),( yxfz)(1xy)(2xyab第十五张，PPT共四十一页，创作于2022年6月.),(),()()(21Dbaxxdyyxfdxdyxf 故故其面积其面积.),()(21 dyyxfxA 从而

11、得曲顶柱体的从而得曲顶柱体的体积为体积为( )baVA x dx 21( )( )( , )bxaxf x y dy dx 简记简记21( , )baf x y dy dx baxxdyyxfdx)()(21),( xzyx)(xA),( yxfz)(1xy)(2xyab第十六张，PPT共四十一页，创作于2022年6月.),(),()()(21Ddcyydxyxfdydyxf 如果积分区域为：如果积分区域为：,dyc ).()(21yxy 上式为先上式为先yx上式为先上式为先yx.,ba.,dc xyODcd)(1yx )(2yx )(1yx D)(2yx ydcOx的二次积分的二次积分，积分

12、区间积分区间后后的二次积分，积分区间的二次积分，积分区间后后第十七张，PPT共四十一页，创作于2022年6月 X-型区域的特点型区域的特点： 穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直线与轴的直线与区域边界相交不多于两个交点区域边界相交不多于两个交点.记为记为 Y-型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴的直线与轴的直线与区域边界相交不多于两个交点区域边界相交不多于两个交点.记为记为若区域如图，若区域如图，在分割后的三个区域上分别使在分割后的三个区域上分别使用积分公式用积分公式.321 DDDD则必须分割则必须分割.XD.YDD3D2D1Oyx第十八张，PPT共四十一页，创

13、作于2022年6月如果积分区域如果积分区域D既是既是X-型的，又是型的，又是Y-型的，则型的，则dcyybaxxdxyxfdydyyxfdx)()()()(2121),(),( ,),(dycbxayxD特别特别则有公式则有公式Dyxyxfdd),(dcbadxyxfdy),(badcdyyxfdx),(第十九张，PPT共四十一页，创作于2022年6月Ddxdyyxf),(XDYDD),(yx1,bxa)()(2xyx.,bay),(ba, xxXDxy计算计算的一般步骤：的一般步骤：的草图，观察是的草图，观察是1 1 先画出积分区域先画出积分区域或或或是混合型区域，并确定其边界函数表达式或是

14、混合型区域，并确定其边界函数表达式2.2.根据区域的类型和被积函数的特点，选择积根据区域的类型和被积函数的特点，选择积分次序分次序. .不妨假设积分区域是不妨假设积分区域是先对先对积分，而后对积分，而后对积分积分. .故故的积分区间是的积分区间是为确定为确定的积分限，自的积分限，自内任取一点内任取一点作垂直于作垂直于第二十张，PPT共四十一页，创作于2022年6月x轴的直线交区域轴的直线交区域XD的边界于两点（自下向上）的边界于两点（自下向上）. .这两个交点的纵坐标（与这两个交点的纵坐标（与x有关）分别作为积分有关）分别作为积分变量变量y的积分下限和积分上限的积分下限和积分上限. .如果是区

15、域如果是区域YD，可以类似处理，可以类似处理 。Ddxdyyxf),(D),(yxfy. 0),(Ddxdyyxf计算二重积分计算二重积分的简算法的简算法（1 1） 若有界闭区域若有界闭区域上的连续函数上的连续函数是关于是关于（或者（或者）的奇函数，而区域）的奇函数，而区域关于关于Dy轴（或者轴（或者x轴）对称，则轴）对称，则x第二十一张，PPT共四十一页，创作于2022年6月. . 的上）半区域的上）半区域. . xy2),(Ddxdyyxf）（上右DDD（2 2） 若有界闭区域若有界闭区域D),(yxf上的连续函数上的连续函数xy是关于是关于（或者（或者）的偶函数，而区域）的偶函数，而区域

16、关于关于Dy轴（或者轴（或者x轴）对称，则轴）对称，则是区域是区域（或（或的的右右（3 3） 若有界闭区域若有界闭区域D关于直线关于直线对称，对称，xy ),(yxfD上的连续函数，则上的连续函数，则是是Ddxdyyxf),(.),(）（或上右DDdxdyyxf.),(Ddxdyxyf第二十二张，PPT共四十一页，创作于2022年6月证明证明 只对（只对（1 1）来证明）来证明. .设设),(yxfx的奇函数，即的奇函数，即),(),(yxfyxf是关于是关于由题意不妨设由题意不妨设.)()(,),(yxydycyxD dcyDdxyxfdydxdyyxf0)(),(),(dcydxyxfdy

17、)(0),(对第一项积分：令变换对第一项积分：令变换tx，则，则dcydxyxfdy0)(),( dcydxyxfdy)(0),(dcydtytfdy0)()(,( 代入原式，知代入原式，知 . 0),(Ddxdyyxf第二十三张，PPT共四十一页，创作于2022年6月Ddxdyyxf),(Dxyx , 1x例例1 计算二重积分计算二重积分. .其中其中是由直是由直线线与与 轴所围成轴所围成 的区域：的区域：;),()1(2yxyxf .),()2(22yxyyxf 解解 积分区域积分区域D如图所示如图所示. .看成看成X-X-型区域，即型区域，即区域区域D，于是，于是 XD0 , 10),(

18、xyxyxDydxdyx21002xydyxdx.10121104dxxoxyxy 1)1 , 1(第二十四张，PPT共四十一页，创作于2022年6月看成看成Y-Y-型区域，即型区域，即也可将区域也可将区域DYD1, 10),(xyyyx，于是，于是 ydxdyxD2.101)(311041012dyyyydxxdyy(2) (2) 按先按先yx的次序积分的次序积分 ，后后原式原式 dyyxydxx10022dxyxx0232102)(3221.12131103dxxxy.10122dxyxydyy也可按先也可按先后后的次序，的次序，原式原式计算起来比较麻烦。计算起来比较麻烦。第二十五张，PP

19、T共四十一页，创作于2022年6月.sin101dxxxdyyyxxsinx 例例2 计算计算解解 这个二次积分的次序是先这个二次积分的次序是先后后，但是，但是的原函数不能用的原函数不能用x的初等函数表达，于是的初等函数表达，于是要先交换积分次序要先交换积分次序. .此时积分区域此时积分区域 为为XD, 0 , 10),(xyxyx所以所以原式原式 XDdxdyxxsindyxxdxx100sin1cos110sin xdx第二十六张，PPT共四十一页，创作于2022年6月所围成。所围成。 .22dyxDD, 2xyx例例3 3 计算计算其中其中是由是由1xy解解 积分区域如图所示，按先积分区

20、域如图所示，按先yx后后的次序，则的次序，则原式原式 dxxxx)1(212.49dyyxdxxx21122xy xy1oxy11xy但若按先但若按先后后的次序，的次序，原式原式 dxyxdydxyxdyyy212221212122.49651217)1 , 1()21, 2(第二十七张，PPT共四十一页，创作于2022年6月IdxdyexDy22D, 1yy例例4 计算计算. .其中其中是是由由xy 及及 轴所围成轴所围成. .解解 积分区域如图所示，则积分区域如图所示，则 （1） Idyexdxyx10122I1022yoydxexdy（2 2）xy 1yxyo选用（选用（2 2）式计算，

21、于是）式计算，于是 2ye考虑到考虑到的原函数不能用初等函数表达，应的原函数不能用初等函数表达，应I61)(611022yedy.31eD第二十八张，PPT共四十一页，创作于2022年6月 顾被积函数的原函数是否易求，有时甚至需要交顾被积函数的原函数是否易求，有时甚至需要交D说明：对区域说明：对区域选择积分次序时，要同时兼选择积分次序时，要同时兼换原来的积分次序。换原来的积分次序。第二十九张，PPT共四十一页，创作于2022年6月D2, 1, 1xyxxx.1arcsin262dyxxyD例例5 5 若区域若区域 是由直线是由直线 及及轴所围成的区域，计算轴所围成的区域，计算 yxdyxxyD

22、2621arcsin. 0解解 显然区域显然区域D关于关于轴是对称的，被积函数轴是对称的，被积函数是关于是关于的奇函数，故的奇函数，故第三十张，PPT共四十一页，创作于2022年6月22yxz),(yxD 0 ,0byax例例6 6 求以求以为曲顶，矩形区域为曲顶，矩形区域为底面的曲顶柱体为底面的曲顶柱体的体积。的体积。解解 由二重积分几何意义知曲顶柱体的体积由二重积分几何意义知曲顶柱体的体积 dxdyyxVD)(22dxbbxa)3(302dyyxdxab)(2002.3)(22baab第三十一张，PPT共四十一页，创作于2022年6月练习练习5 求椭圆抛物面求椭圆抛物面 4422yxz与平

23、面与平面0z所围立体体积。所围立体体积。Ddyxy 221D1xxy、1y练习练习3 计算计算其中其中是由直是由直和和所围成的闭区域。所围成的闭区域。练习练习4 计算计算所围成的闭区域。所围成的闭区域。 ,DxydDxy22 xy其中其中是由抛物线是由抛物线线线及直线及直线第三十二张，PPT共四十一页，创作于2022年6月 0)ln(22 yx; 1 yx 0)ln(122 yxrdxdyyx. 解解 当当 练习练习1 判断判断 122)ln(yxrdxdyyx, 1)(0222 yxyx1 yxr故故 又当又当 时时, 于是于是 的符号的符号.时，时， 0)ln(22 yx; 第三十三张，P

24、PT共四十一页，创作于2022年6月 练习练习2 估计积分估计积分DyxdxdyI22coscos100的值，其中的值，其中D是是D.10 yx解解 在在yxyxf22coscos1001),(D的最小值为的最小值为最大值为最大值为,1021,1001而而的面积为的面积为,2004101021于是于是10012001021200I内，内，. 2coscos1005110022Dyxdxdy第三十四张，PPT共四十一页，创作于2022年6月 解解 积分区域积分区域 D 既是既是X- 型，又是型，又是Y- 型的，化为先型的，化为先y 后后x 的积分的积分. Ddyxy 221D1xxy、1y练习练

25、习3 计算计算其中其中是由直是由直和和所围成的闭区域。所围成的闭区域。线线 Oxy x11yx1 y1xy Ox1y11第三十五张，PPT共四十一页，创作于2022年6月化为先化为先yx1112222,11yDdydxyxydyxy 可见关于可见关于x的积分计算比较麻烦的积分计算比较麻烦.的积分的积分.后后Ddyxy 221dxyxx1112322)1(31 103.21)1(32dxx111221dxdyyxyxdxx)1(31311第三十六张，PPT共四十一页，创作于2022年6月 解解 积分区域积分区域 既是既是 型，又是型，又是 型的型的，化为先，化为先 后后 的积分的积分. yxDX

26、YDxyd 练习练习4 计算计算所围成的闭区域。所围成的闭区域。 ,Dxydxy22 xy其中其中是由抛物线是由抛物线及直线及直线D.8556234421216234yyyy2152)2(21dyyyy2122yydyxydx212222dyyxyy 1xO2yx yy2D)1, 1( 2 yx)2 , 4(第三十七张，PPT共四十一页，创作于2022年6月若化为先若化为先 后后 的积分的积分.需将需将 分成分成 和和 .yxD1D2D.41 ,2),(,10 ,),(21xxyxyxDxxyxyxDDxyd 1D2DOxy 41210 xxxxdxxydydxxydy21DDxydxyd 第

27、三十八张，PPT共四十一页，创作于2022年6月练习练习5 求椭圆抛物面求椭圆抛物面 4422yxz与平面与平面0z所围立体体积所围立体体积.解解 由于图形对称于由于图形对称于xoz面与面与yoz面，所以面，所以第一卦限内的体积是所求体积的第一卦限内的体积是所求体积的41，即，即,)44(422DdxdyyxV oxyz4422yxz. 0416, 02:2yxxD第三十九张，PPT共四十一页，创作于2022年6月dyyxdxVx)44(4241602220于是于是.16 dxx20232)4(31620416032212144xyyxy第四十张，PPT共四十一页，创作于2022年6月感谢大家观看第四十一张，PPT共四十一页，创作于2022年6月