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1、关于二重积分及其性质现在学习的是第1页，共17页二重积分及其性质二重积分及其性质二重积分引入性质定义几何意义线性性区域可拆分性保序性积分中值定理现在学习的是第2页，共17页设有一立体，它的底是设有一立体，它的底是xoy平面平面上的有界闭区域上的有界闭区域D 它的侧面是以它的侧面是以D的边界曲线为的边界曲线为准线而母线平行于准线而母线平行于z轴的柱面轴的柱面.顶是由二元非负连续函数表示顶是由二元非负连续函数表示的曲面的曲面z = f (x, y) 这种立体称为这种立体称为D上的曲顶柱体上的曲顶柱体曲顶拄面的体积曲顶拄面的体积现在学习的是第3页，共17页对于平顶柱体，即对于平顶柱体，即f (x,
2、y)h，这里，这里h是大于是大于0的常数，有的常数，有体积体积 = 底面积底面积高高 但曲顶柱体的高但曲顶柱体的高f (x, y)在区域在区域D上是变量，当点上是变量，当点(x, y)在区域在区域D上变化时，高上变化时，高f (x, y)不断变化，因而曲顶柱体的体积不能用不断变化，因而曲顶柱体的体积不能用上面的公式来计算上面的公式来计算. 但我们可以仿照求曲边梯形面积的思路但我们可以仿照求曲边梯形面积的思路.分析分析现在学习的是第4页，共17页将D划分为n个小闭区域：以每个小区域为底，以它们的边以每个小区域为底，以它们的边界曲线为准线作母线平行于界曲线为准线作母线平行于z轴的柱轴的柱面，形成许
3、多小曲顶柱体面，形成许多小曲顶柱体.原曲顶柱体被分割成原曲顶柱体被分割成n个小曲顶柱个小曲顶柱体体.曲顶柱体体积的近似等于曲顶柱体体积的近似等于n个小曲顶柱体的体积之和个小曲顶柱体的体积之和例题例题现在学习的是第5页，共17页步骤如下：步骤如下：用若干个小平用若干个小平顶柱体体积之顶柱体体积之和近似表示曲和近似表示曲顶柱体的体积，顶柱体的体积，xzyoD),(yxfz i),(ii先分割曲顶柱体的底，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，并取典型小区域，.),(lim10iiniifV 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积现在学习的是第6页，共17页每个小曲顶柱体可以近似地看成是一个平顶柱体例题例题现在
4、学习的是第7页，共17页区域D分割得越细密，小曲顶柱体的体积和越接近体积V. 为了得到V的精确值，令n个小区域的最大直径0，则小曲顶柱体的体积和的极限就是曲顶柱体的体积V，即iiniifV)(lim10，例题例题现在学习的是第8页，共17页二重积分的定义二重积分的定义现在学习的是第9页，共17页如果当这些小区域的直径的最大值趋于0时，上式的极限总存在，则称函数f(x, y)在区域D上可积，此极限值称为函数f (x, y)在区域D上的二重积分. Dniiiifdyxf10),(lim),(例题例题现在学习的是第10页，共17页注注1 要从定义来判定一个二重积分是否存在是困难的.为应用方便，我们介
5、绍一个与定积分存在定理类似的结论.定理定理1 在有界闭区域D上连续的函数必在D上可积.特别，在有界闭区域D上有定义的初等函数必在D上可积. 因此，以后我们一般不就可积性问题展开讨论.例题例题现在学习的是第11页，共17页例题例题现在学习的是第12页，共17页二重积分的几何意义二重积分的几何意义现在学习的是第13页，共17页性质性质1 被积函数的常系数因子可以提到积分号外，即DDdyxfkdyxkf),(),(性质性质2 函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差），即DDDdyxgdyxfdyxgyxf),(),(),(),(性质性质3 如果区域D可以划分为D1与D2，其中D1与D2除边
6、界外无公共点，则21DDDdyxfdyxfdyxf),(),(),(.二重积分的性质二重积分的性质现在学习的是第14页，共17页DDdyxgdyxf),(),(推论推论 dyxfdyxfDD),(),( 性质性质5 设M和m分别是函数f (x, y)在有界闭区域D上的最大值和最小值，为区域D的面积，则MdyxfmD),(例题例题 性质性质4 如果在区域D上有 ，则( , )( , )f x yg x y现在学习的是第15页，共17页性质性质6（二重积分中值定理）（二重积分中值定理） 设函数f (x, y)在有界闭区域D上连续，为区域的面积，则在D上至少存在一点(,), 使得),(),(fdyxfD例题例题现在学习的是第16页，共17页在在D上上 2220ayx ,12220ayxeee ,222)(aDyxede 解解 deDyx)(22 ab.2aeab 区区域域 D的的面面积积 , ab例题例题现在学习的是第17页，共17页