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1、主讲老师：陈震主讲老师：陈震2.3 等差数列的等差数列的前前n项和项和 (二二)复习引入复习引入等差数列等差数列的前的前n项项和公式：和公式：复习引入复习引入等差数列等差数列的前的前n项项和公式：和公式：2)(1nnaanS 复习引入复习引入2)1(1dnnnaSn 等差数列等差数列的前的前n项项和公式：和公式：2)(1nnaanS 练习练习在等差数列在等差数列an中，中，若若a1a2a530， a6a7a1080， 求求a11a12a15 .讲授新课讲授新课探究探究: 等差数列的前等差数列的前n项和公式是一个项和公式是一个常数项为零的二次式常数项为零的二次式.讲解范例讲解范例:例例1. 已知
2、数列已知数列an的前的前n项和为项和为,212nnSn 求这个数列的通项公式求这个数列的通项公式. 这个数列这个数列是等差数列吗是等差数列吗?如果是，它的首项如果是，它的首项与公差分别是什么与公差分别是什么?练习练习: 已知数列已知数列an的前的前n项和为项和为, 332412 nnSn求该数列的通项公式求该数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗这个数列是等差数列吗? 一般地，如果一个数列一般地，如果一个数列an的前的前n项项和为和为Snpn2qnr，其中，其中p、q、r为常为常数，且数，且p0，那么这个数列一定是等差，那么这个数列一定是等差数列吗数列吗?如果是，它的首项与公差分别如果是，它的
3、首项与公差分别是多少是多少?探究探究: 一般地，如果一个数列一般地，如果一个数列an的前的前n项项和为和为Snpn2qnr，其中，其中p、q、r为常为常数，且数，且p0，那么这个数列一定是等差，那么这个数列一定是等差数列吗数列吗?如果是，它的首项与公差分别如果是，它的首项与公差分别是多少是多少?探究探究:这个数列一定是这个数列一定是等差数列等差数列.首项首项a1pq公差公差d2p2)1(1dnnnaSn 可化成可化成结论结论:ndandSn)2(212 当当d0时，是一个常数项为零的二次式时，是一个常数项为零的二次式.例例2. 已知数列已知数列an是等差数列，是等差数列，a150，d0.6.(
4、1)从第几项开始有从第几项开始有an0； (1)求此数列的前求此数列的前n项和的最大值项和的最大值.讲解范例讲解范例:结论：结论：等差数列前等差数列前n项和的最值问题有两种方法：项和的最值问题有两种方法：结论：结论：(1) 当当a10，d0，前，前n项和有项和有最大值最大值. 可由可由an0，且，且an1 0，求得，求得n的值；的值；等差数列前等差数列前n项和的最值问题有两种方法：项和的最值问题有两种方法：结论：结论：(1) 当当a10，d0，前，前n项和有项和有最大值最大值. 可由可由an0，且，且an1 0，求得，求得n的值；的值； 当当a10，d0，前，前n项和有项和有最小值最小值. 可
5、由可由an0，且，且an10，求得，求得n的值的值. 等差数列前等差数列前n项和的最值问题有两种方法：项和的最值问题有两种方法：结论：结论：等差数列前等差数列前n项和的最值问题有两种方法：项和的最值问题有两种方法：(2) 由由 ndandSn)2(212 数数配方法配方法求得最值时求得最值时n的值的值.利用二次函利用二次函(1) 当当a10，d0，前，前n项和有项和有最大值最大值. 可由可由an0，且，且an1 0，求得，求得n的值；的值； 当当a10，d0，前，前n项和有项和有最小值最小值. 可由可由an0，且，且an10，求得，求得n的值的值. 练习练习:在等差数列在等差数列an中，中，a
6、415, 公差公差d3,求数列求数列an的前的前n项和项和Sn的最小值的最小值.例例3. 已知等差数列已知等差数列讲解范例讲解范例:.,743,724, 5的前的前n项的和为项的和为Sn，求使得，求使得Sn最大最大的序号的序号n的值的值.归纳归纳: (1) 当等差数列当等差数列an首项为正数，首项为正数，公差小于零时，它的前公差小于零时，它的前n项的和项的和Sn有最大值，可以通过有最大值，可以通过 001nnaa求得求得n.归纳归纳: (2)当等差数列当等差数列an首项不大于零，首项不大于零，公差大于零时，它的前公差大于零时，它的前n项的和项的和Sn有有最小值，可以通过最小值，可以通过 001
7、nnaa求得求得n.课堂小结课堂小结湖南省长沙市一中卫星远程学校求求“等差数列前等差数列前n项和的最值问题项和的最值问题”常用常用的方法有：的方法有：课堂小结课堂小结湖南省长沙市一中卫星远程学校(1) 满足满足an0，且，且an10的的n值；值；求求“等差数列前等差数列前n项和的最值问题项和的最值问题”常用常用的方法有：的方法有：课堂小结课堂小结湖南省长沙市一中卫星远程学校(1) 满足满足an0，且，且an10的的n值；值；求求“等差数列前等差数列前n项和的最值问题项和的最值问题”常用常用的方法有：的方法有：(2) 由由 利用二次函数的性质求利用二次函数的性质求n的值的值.,)2(22)1(1
8、21ndanddnnnaSn 课堂小结课堂小结湖南省长沙市一中卫星远程学校(1) 满足满足an0，且，且an10的的n值；值；求求“等差数列前等差数列前n项和的最值问题项和的最值问题”常用常用的方法有：的方法有：(2) 由由 利用二次函数的性质求利用二次函数的性质求n的值的值.,)2(22)1(121ndanddnnnaSn (3) 利用等差数列的性质求利用等差数列的性质求1. 阅读教材阅读教材P.42到到P.44；2. 习案习案作业十四作业十四.课后作业课后作业湖南省长沙市一中卫星远程学校补充题补充题:1(1)已知等差数列已知等差数列an的的an243n，则，则前多少项和最大？前多少项和最大
9、？ (2)已知等差数列已知等差数列bn的通项的通项bn2n17,则前多少项和最小则前多少项和最小?2. 数列数列an是首项为正数是首项为正数a1的等差数列的等差数列,又又S9= S17.问数列的前几项和最大问数列的前几项和最大?补充题补充题:4已知等差数列已知等差数列an,满足满足an=404n ,求前多少项的和最大求前多少项的和最大?最大值是多少最大值是多少?5已知等差数列已知等差数列an,3a5=8a12, a10，设前设前n项和为项和为Sn,求求Sn取最小值时取最小值时n的值的值3首项为正数的等差数列首项为正数的等差数列an,它的前它的前3项之和与前项之和与前11项之和相等项之和相等,问此数列前多问此数列前多少项之和最大少项之和最大?