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1、5.15.1.1任意角高一高一数学助你成功班级 姓名 学号 命题人：课题：6.2平面向量的运算6.2.3向量的数乘运算我爱数学，数学使我快乐！学习目标1.了解向量数乘的概念.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算.3.理解并掌握向量共线定理及其判定方法.知识点一向量数乘的定义实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a，其长度与方向规定如下：(1)|a|a|.(2)a (a0)的方向特别地，当0时，a0.当1时，(1)aa.知识点二向量数乘的运算律1.(1)(a)()a.(2)()aaa.(3)(ab)ab.特别地，()aa(a)，(ab)ab.2.向
2、量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数，1，2，恒有(1a2b)1a2b.知识点三向量共线定理向量a (a0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使ba.思考向量共线定理中为什么规定a0?答案若将条件a0去掉，即当a0时，显然a与b共线.(1)若b0，则不存在实数，使ba.(2)若b0，则对任意实数，都有ba.判断正误1.若向量b与a共线，则存在唯一的实数使ba.()提示当b0，a0时，实数不唯一.2.若ba，则a与b共线.()3.若a0，则a0.()提示若a0，则a0或0.4.|a|a|.()提示|a|a|.例题探究一、向量的线性运算例1
3、(1)若a2bc，化简3(a2b)2(3bc)2(ab)等于()A.a B.bC.c D.以上都不对答案C解析原式3a6b6b2c2a2ba2b2c2bc2b2cc.(2)若3(xa)2(x2a)4(xab)0，则x_.答案4b3a解析由已知，得3x3a2x4a4x4a4b0，所以x3a4b0，所以x4b3a.反思感悟向量线性运算的基本方法(1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数.(2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量
4、当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算.跟踪训练1计算：(ab)3(ab)8a.解(ab)3(ab)8a(a3a)(b3b)8a2a4b8a10a4b.二、用已知向量表示其他向量例2如图，在ABCD中，E是BC的中点，若a，b，则等于()A.ab B.abC.ab D.ab答案D解析因为E是BC的中点，所以b，所以ab.反思感悟用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法(2)方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.跟踪训练2在ABC中，若点D满足2，则等
5、于()A.B.C.D.答案D解析示意图如图所示，由题意可得().三、向量共线的判定及应用例3设a，b是不共线的两个向量.(1)若2ab，3ab，a3b，求证：A，B，C三点共线；(2)若8akb与ka2b共线，求实数k的值.(1)证明(3ab)(2ab)a2b，而(a3b)(3ab)(2a4b)2，与共线，且有公共点B，A，B，C三点共线.(2)解8akb与ka2b共线，存在实数，使得8akb(ka2b)，即(8k)a(k2)b0，a与b不共线，解得2，k24.反思感悟(1)证明或判断三点共线的方法一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数，使得(或等)即可.(2)利用向量共线
6、求参数的方法已知向量共线求，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.跟踪训练3已知向量e1，e2不共线，如果e12e2，5e16e2，7e12e2，则共线的三个点是_.答案A，B，D解析e12e2，5e16e27e12e22(e12e2)2，共线，且有公共点B，A，B，D三点共线. 素养演练三点共线的常用结论典例如图所示，在ABC中，点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若m，n，则mn的值为()A.1 B.2C.3 D.4答案B解析连接AO(图略)，O是BC的中点，().又m，n，.又M，O，N三点共线，1，则mn2.素养提升(1)本题主要是应用判断三
7、点共线的一个常用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点存在实数x，y，使xy，且xy1.(2)应用时一定注意O是共同的起点，主要是培养学生逻辑推理的核心素养.随堂演练1.下列运算正确的个数是()(3)2a6a；2(ab)(2ba)3a；(a2b)(2ba)0.A.0 B.1 C.2 D.3答案C解析根据向量数乘运算和加减运算规律知正确；(a2b)(2ba)a2b2ba0，是零向量，而不是0，所以该运算错误.所以运算正确的个数为2.2.如图，已知AM是ABC的边BC上的中线，若a，b，则等于()A.(ab)B.(ab)C.(ab)D.(ab)答案C解析因为M是BC的中点，所以(ab).3.设
8、P是ABC所在平面内一点，2，则()A.0 B.0C.0 D.0答案B解析因为2，所以点P为线段AC的中点，故选项B正确.4.化简4(a3b)6(2ba)_.答案10a解析4(a3b)6(2ba)4a12b12b6a10a.5.设e1与e2是两个不共线向量，3e12e2，ke1e2，3e12ke2，若A，B，D三点共线，则k_.答案解析因为A，B，D三点共线，故存在一个实数，使得，又3e12e2，ke1e2，3e12ke2，所以3e12ke2(ke1e2)(3k)e1(2k1)e2，所以3e12e2(3k)e1(2k1)e2，所以解得k.课时评价作业命题人：审核人：班级 姓名 学号 A组达标基
9、础练1.下列说法中正确的是()A.a与a的方向不是相同就是相反B.若a，b共线，则baC.若|b|2|a|，则b2aD.若b2a，则|b|2|a|答案D解析显然当b2a时，必有|b|2|a|.2.(多选)下列各式计算正确的有()A.(7)6a42aB.7(ab)8b7a15bC.a2ba2b2aD.4(2ab)8a4b答案ACD解析ACD正确，B错，7(ab)8b7a7b8b7ab.3.设e1，e2是两个不共线的向量，若向量me1ke2 (kR)与向量ne22e1共线，则()A.k0 B.k1C.k2 D.k答案D解析向量m与向量n共线，设mn(R)，e1ke2e22e1，e1与e2不共线，4
10、.下列各组向量中，一定能推出ab的是()a3e，b2e；ae1e2，be1；ae1e2，be1e2.A. B. C. D.答案B解析中，ab，所以ab；中，be1a，所以ab；中，b(e1e2)，若e1与e2共线，则a与b共线，若e1与e2不共线，则a与b不共线.5.已知m，n是实数，a，b是向量，则下列说法中正确的是()m(ab)mamb；(mn)amana；若mamb，则ab；若mana，则mn.A. B. C. D.答案B解析由向量数乘的运算律知正确；中当m0时，mamb，但a不一定等于b，故错误；中当a0时等式成立，但m不一定等于n，故错误.6.已知向量a，b满足|a|3，|b|5，且
11、ab，则实数的值是_.答案解析由ab，得|a|b|b|.|a|3，|b|5，|，即.7.(a2b)(5a2b)a_.答案ab解析原式ababaabab.8.设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC.若a，b，则_.(用a，b表示)答案ab解析()ab.9.计算：(1)6(3a2b)9(2ab)；(2)6(abc)4(a2bc)2(2ac).解(1)原式18a12b18a9b3b.(2)原式6a6b6c4a8b4c4a2c(6a4a4a)(8b6b)(6c4c2c)6a2b.10.设a，b是两个不共线的非零向量，若向量2kab与8akb的方向相反，求k的值.解由题意可知存在实
12、数使2kab(8akb)，即2kab8akb，所以解得或2kab与8akb的方向相反，则k2不符合题意，舍去，k2.B组综合提升练11.设D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，则等于()A. B.C. D.答案C解析如图，()2.12.在ABC中，已知D是AB边上的一点，若，则等于()A. B. C. D.答案B解析A，B，D三点共线，1，.13.如果实数p和非零向量a与b满足pa(p1)b0，则向量a和b_.(填“共线”或“不共线”)答案共线解析由题知实数p0，则pa(p1)b0可化为ab，由向量共线定理可知a，b共线.14.已知在ABC中，点M满足0，若存在实数m使得m成立，
13、则m_.答案3解析0，点M是ABC的重心.3，m3.C组拓广探究练15.已知在四边形ABCD中，a2b，4ab，5a3b，求证：四边形ABCD为梯形.证明如图所示.(a2b)(4ab)(5a3b)8a2b2(4ab)，2.与共线，且|2|.又这两个向量所在的直线不重合，ADBC，且AD2BC.四边形ABCD是以AD，BC为两条底边的梯形.16.设a，b，c为非零向量，其中任意两向量不共线，已知ab与c共线，且bc与a共线，则b与ac是否共线？请证明你的结论.解b与ac共线.证明如下：ab与c共线，存在唯一实数，使得abc.bc与a共线，存在唯一实数，使得bca.由得，acca.(1)a(1)c.又a与c不共线，10,10，1，1，abc，即abc0.acb.故ac与b共线.高一数学必修二6.2.3向量的数乘运算第 9 页 共 9 页学科网（北京）股份有限公司