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1、中考专题训练实际问题与二次函数1. 科研所计划建一幢宿舍楼，因为科研所实验中会产生辐射，所以需要有两项配套工程： 在科研所到宿舍楼之间修一条笔直的道路； 对宿舍楼进行防辐射处理，已知防辐射费 y 万元与科研所到宿舍楼的距离 x 之间的关系式为：y=ax+b0x9，当科研所到宿舍楼的距离为 1km 时，防辐射费用为 720 万元；当科研所到宿舍楼的距离为 9km 或大于 9km 时，辐射影响忽略不计，不进行防辐射处理，设每公里修路的费用为 m 万元，配套工程费 w=防辐射费+修路费(1) 当科研所到宿舍楼的距离为 x=9km 时，防辐射费 y= 万元；a= ，b= (2) 若每公里修路的费用为
2、90 万元，求当科研所到宿舍楼的距离为多少 km 时，配套工程费最少？(3) 如果配套工程费不超过 675 万元，且科研所到宿舍楼的距离小于 9km，求每公里修路费用 m 万元的最大值2. 为了充分利用空间，在确定公园的设计方案时，准备利用公园的一角 MON 两边为边，用总长为 16m 的围栏在公园中围成了如图所示的 三块区域，其中区域 为直角三角形，区城 为矩形，而且这三块区城的面积相等(1) 设 OB 的长度为 xm，则 OE+DB 的长为 m；(2) 设四边形 OBDG 的面积为 ym2，求 y 与 x 之间的函数关系式；(3) x 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？3. 某商场要经
3、营一种新上市的文具，进价为 20 元/件试营销阶段发现：当销售单价是 25 元时，每天的销售量为 250 件；销售单价每上涨 1 元，每天的销售量就减少 10 件(1) 写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润 w（元）与销售单价 x（元）之间的函数表达式(2) 求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大(3) 商场的营销部结合上述情况，提出了 A,B 两种营销方案：方案 A：该文具的销售单价高于进价且不超过 30 元；方案 B：每天销售量不少于 10 件，且每件文具的利润至少为 25 元请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由4. 甲经销商库存有 1200 套 A 品牌服装，每套进价 4
4、00 元，每套售价 500 元，一年内可卖完现市场上流行 B 品牌服装，每套进价 300 元，每套售价 600 元，但一年内只允许经销商一次性订购 B 品牌服装，一年内 B 品牌服装销售无积压因甲经销商无流动资金，只有低价转让 A 品牌服装，用转让来的资金购进 B 品牌服装，并销售经与乙经销商协商，甲、乙双方达成转让协议，转让价格 y（元/套）与转让数量 x（套）之间的函数关系式为 y=110x+360100x1200若甲经销商转让 x 套 A 品牌服装，一年内所获总利润为 w（元）(1) 求转让后剩余的 A 品牌服装的销售款 Q1（元）与 x（套）之间的函数关系式；(2) 求 B 品牌服装的
5、销售款 Q2（元）与 x（套）之间的函数关系式；(3) 求 w（元）与 x（套）之间的函数关系式，并求 w 的最大值5. 大学毕业生小王响应国家“自主创业”的号召，利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件 40 元，售价为每件 60 元，每月可卖出 300 件市场调查反映：调整价格时，售价每涨 1 元每月要少卖 10 件；售价每下降 1 元每月要多卖 20 件为了获得更大的利润，现将饰品售价调整为 60+x（元/件）（x0 即售价上涨，x5 元，该店日销售利润为 y 元（日销售利润 = 每天的销售额 套餐成本 每天固定支出）(1) 求 y 与
6、x 的函数关系式并写出自变量的取值范围(2) 该店要想获得最大日销售利润，又要吸引顾客，使每天销售量较大，按此要求，每份套餐的售价应定为多少元？此时日销售利润为多少元？7. 某商场购进一种毎件价格为 90 元的新商品，在商场试销时发现：销售单价 x（元 /件）与每天销售量 y（件）之间满足如图所示的关系(1) 求出 y 与 x 之间的函数关系式(2) 写出每天的利润 W 与销售单价 x 之间的函数关系式，并求出售价定为多少时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？8. 某房间有 50 个房间供游客居住，当每个房间定价 120 元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加 10 元时，就会有一
7、个房间空闲如果游客居住房间，宾馆需对每个居住房间每天支出 20 元的各种费用，设每个房间定价增加 10x 元（x 为整数）(1) 直接写出每天游客居住的房间数量 y 与 x 的函数关系；(2) 当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是多少？9. 在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构根据市场调査，这种许愿瓶一段时间内的销售量 y (个）与销售单价 x (元/个）之间的对应关系如图所示：(1) 试判断 y 与 x 之间的函数关系，并求出函数关系式(2) 若许愿瓶的进价为 6 元/个按照上述市场调查的销售规律，求销售利
8、润 W（元）与销售单价 x（元/个）之间的函数关系式(3) 若许愿瓶的进货成本不超过 900 元，要想获得最大利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大值10. 随着城市化建设的发展，交通拥堵成为上班高峰时难以避免的现象为了解龙泉驿某条道路交通拥堵情况，龙泉某中学同学经实地统计分析研究表明：当 20x220 时，车流速度 v（千米/小时）是车流密度 x（辆/千米）的一次函数当该道路的车流密度达到 220 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为 0 千米/小时；当车流密度为 95 辆/千米时，车流速度为 50 千米/小时(1) 当 20x220 时，求车流速度 v（千米/小时）与车流密度
9、x（辆/千米）的函数关系式；(2) 为使该道路上车流速度大于 40 千米/小时且小于 60 千米/小时，应控制该道路上的车流密度在什么范围内？(3) 车流量（辆/小时）是单位时间内通过该道路上某观测点的车辆数，即：车流量 = 车流速度 车流密度当 20x220 时，求该道路上车流量 y 的最大值此时车流速度为多少？11. 李老汉家的红心猕猴桃深受广大顾客的喜爱，猕猴桃成熟上市后，他记录了 15 天的销售数量和销售单价其中销售单价 y（元/千克）与时间第 x 天（x 为整数）的数量关系如图所示：日销售量 p（千克）与时间 x 天（x 为整数）的部分对应值如表所示： 时间第x天1357101112
10、15日销售量p千克2302903504105004003000 (1) 求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；(2) 从你学过的函数中，选择合适的函数类型刻画 p 随 x 的变化规律，求出 p 与 x 的函数关系式及自变量的取值范围；(3) 在这 15 天中，哪一天销售额达到最大，最大销售额是多少元？12. QQ 是大家常用的通讯工具，它的等级、等级图标、活跃天数如下表，请仔细观察，解答下列问题：(1) 等级图标“”表示第 级，至少需要活跃 天(2) 设要获得 x 级至少活跃 y 天，求 y 关于 x 的函数关系式，并求活跃第 1000 天是哪级？(3) 明叔和亮叔都是从
11、新号（即 0 级）开始上 QQ，明叔每天都获得 1 活跃天，即第 0 天至第 4 天 0 级，第 5 天至第 11 天 1 级，以此类推；亮叔有时一天都不上 QQ，有时进行 QQ 加速，刚好每 50 天升一级，即第 0 天至第 49 天 0 级，第 50 天至第 99 天 1 级，以此类推，设明叔第 p 天处于第 n 级，亮叔第 q 天也处于第 n 级，问 n 为多少时，qp 最大，最大值是多少？13. 如图，在斜坡上按水平距离间隔 50 米架设电缆，塔柱上固定电缆的位置 P，Q 离塔柱底部的距离均为 20 米，若以点 O 为原点，以水平地面 OC 所在的直线为 x 轴，建立如图所示的坐标系，
12、已知斜坡 OE 所在直线的解析式为 y=15x，两端挂起的电缆下垂近似成二次项系数为 1100 抛物线的形状(1) 点 P 的坐标为 ，点 Q 的坐标为 ；(2) 求电缆近似成的抛物线的解析式；(3) 小明说：在抛物线顶点处，下垂的电缆在竖直方向上与斜坡的距离最近，你是否认同？请计算说明14. 2022 年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情，如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为 x 轴，过跳台终点 A 作水平线的垂线为 y 轴，建立平面直角坐标系，图中的拋物线 C1:y=112x2+76x+1 近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点 O 正上方 4
13、米处的 A 点滑出，滑出后沿一段抛物线 C2:y=18x2+bx+c 运动(1) 当运动员运动到离 A 处的水平距离为 4 米时，离水平线的高度为 8 米，求抛物线 C2 的函数解析式（不要求写出自变量 x 的取值范围）；(2) 在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为 1 米？(3) 当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过 3 米时，求 b 的取值范围15. 为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯已知
14、这种节能灯的成本价为每件 10 元，出厂价为每件 12 元，每月销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=10x+500(1) 李明在开始创业的第一个月将销售单价定为 20 元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？(2) 设李明获得的利润为 w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？(3) 物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于 25 元如果李明想要每月获得的利润不低于 3000 元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？16. 温州茶山杨梅名扬中国，某公司经营茶山杨梅业务，以 3 万元/吨的价格买入杨梅，包装后直接销售，包装成本为 1 万元/吨，
15、它的平均销售价格 y（单位：万元/吨）与 销售数量 x（2x10，单位：吨）之间的函数关系如图所示(1) 若杨梅的销售量为 6 吨时，它的平均销售价格是每吨多少万元？(2) 当销售数量为多少时，该经营这批杨梅所获得的毛利润（w）最大？最大毛利润为 多少万元？（毛利润 = 销售总收入 进价总成本 包装总费用）(3) 经过市场调查发现，杨梅深加工后不包装直接销售，平均销售价格为 12 万元/吨深加工费用 y（单位：万元）与加工数量 x（单位：吨）之间的函数关系是 y=12x+32x10 当该公司买入杨梅多少吨时，采用深加工方式与直接包装销售获得毛利润一样？ 该公司买入杨梅吨数在 范围时，采用深加工
16、方式比直接包装销售获得毛利润大些？17. 如图1，地面 BD 上两根等长立柱 AB，CD 之间悬挂一根近似成抛物线 y=110x245x+3 的绳子(1) 求绳子最低点离地面的距离；(2) 因实际需要，在离 AB 为 3 米的位置处用一根立柱 MN 撑起绳子（如图2），使左边抛物线 F1 的最低点距 MN 为 1 米，离地面 1.8 米，求 MN 的长；(3) 将立柱 MN 的长度提升为 3 米，通过调整 MN 的位置，使抛物线 F2 对应函数的二次项系数始终为 14设 MN 离 AB 的距离为 m，抛物线 F2 的顶点离地面距离为 k，当 2k2.5 时，求 m 的取值范围18. 如图，有长
17、为 24m 的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度 a 为 10m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽 AB 为 xm，面积为 Sm2(1) 求 S 与 x 的函数关系式及 x 值的取值范围；(2) 要围成面积为 45m2 的花圃，AB 的长是多少米？(3) 当 AB 的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？19. 用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图 1）科学原理：如图 2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为 H（单位：cm），如果在离水面竖直距离为 （单位：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：cm）与 的关系式
18、为 s2=4H应用思考：现用高度为 20cm 的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离 cm 处开一个小孔(1) 写出 s2 与 的关系式；并求出当 为何值时，射程 s 有最大值，最大射程是多少？(2) 在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为 a，b，要使两孔射出水的射程相同，求 a，b 之间的关系式；(3) 如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加 16cm，求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离20. “扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为 30 元/件，每天销售 y（件）与销售单价 x（元）之间存在一次
19、函数关系，如图所示(1) 求 y 与 x 之间的函数关系式；(2) 如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于 240 件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？(3) 该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出 150 元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于 3600 元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围答案1. 【答案】(1) 0；360；1080(2) 当 x90 时，w=y+90x， w=360x+1080+90x， w=90x22+720 当 x=2 时，即 x=4 时，w最小=720当 x9，w=90x，当 x=9 时，w最小=810综上，当 x=4 时，
20、w 有最小值，w最小=720(3) 由题意得，w=360x+1080+mx675x9，即 mx2360x+1080675， x9， x3 x=b2a=180m3， w=4acb24a=4320m36024m675， 600,81.5x0, 0x163(3) y=94x2+12x=94x832+16， 940，且 0x163， 抛物线开口向下 当 x=83 时，y 有最大值，最大值是 16 平方米3. 【答案】(1) w=x2025010x25=x2025010x+250=10x2+700x10000， w 与 x 之间的函数表达式是 w=10x2+700x10000(2) w=10x2+700
21、x10000=10x270x+1000=10x270x+3521225+1000=10x352+2250. a=100， w 有最大值，当 x=35 时，w最大=2250 当销售单价为 35 元时，该文具每天的销售利润最大(3) 方案 A：由题意可知 20x30 a=101250元， 方案 A 的最大利润更高4. 【答案】(1) 甲经销商库存有 1200 套 A 品牌服装，每套售价 500 元，转让 x 套给乙， Q1=5001200x=500x+600000100x1200(2) 转让价格 y（元/套）与转让数量 x（套）之间的函数关系式 y=110x+360100x1200，B 品牌服装，
22、每套进价 300 元， 转让后可以订购 B 品牌服装 x110x+360300 套， Q2=x110x+360300600=15x2+720x100x1200(3) 由（1），（2）知，Q1=500x+600000，Q2=15x2+720x， w=Q1+Q21200400=500x+60000015x2+720x480000=15x5502+180500，当 x=550 时，w 有最大值，最大值为 180500 元5. 【答案】(1) 由题意可得y=30010x0x30,30020x20x0;(2) 由题意可得w=20+x30010x0x30,20+x30020x20x0.化简得w=10x2+
23、100x+60000x30,20x2100x+600020x0.即w=10x52+62500x30,20x+522+612520x0.由题意可知 x 应取整数，故当 x=2 或 x=5 时，w61256250，故当销售价格为 65 元时，利润最大，最大利润为 6250 元；(3) 由题意 w6000，如图，令 w=6000，即6000=10x52+6250,6000=20x+522+6125,解得x1=5,x2=0,x3=10,所以5x10,故将销售价格控制在 55 元到 70 元之间（含 55 元和 70 元）才能使每月利润不少于 6000 元6. 【答案】(1) y=400x2600,51
24、0(2) 当 510 时，y=40x2+1000x4600=40x12.52+1650，当 x=12 时，y=1640，当 x=13 时，y=1640， 要吸引顾客，使每天销售量较大，又要有较高的日纯收入， 每份套餐的售价应定为 12 元，日纯收入为 1640 元7. 【答案】(1) 设 y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+b，根据题意得 120k+b=50,140k+b=30, 解得 k=1,b=170, y 与 x 之间的函数关系式 y=x+170(2) W=x90x+170=x2+260x15300=x1302+1600, 而 a=10， 当 x=130 时，W 有最大值 1600
25、答：售价定为 130 元时，每天获得的利润最大，最大利润是 1600 元8. 【答案】(1) y=50x,0x50,且x为整数；(2) W=120+10x2050x=10x2+400x+5000=10x202+9000, a=1040,25x+8860, 解得：70x120， 应控制该道路上的车流密度在 70x120 范围内(3) 设车流量 y 与 x 之间的关系式为 y=vx，当 20x220 时，y=25x+88x=25x1102+4840， 当 x=110 时，y最大=4840，此时 v=25110+88=44 千米/时 当车流密度是 110 辆/千米时，车流量 y 取得最大值是每小时
26、4840 辆，此时车流速度是 44 千米/时11. 【答案】(1) 当 0x5 时，设 AB 的解析式为：y=kx+bk0，把 A0,14 和 B5,9 代入得：b=14,5k+b=9. 解得：k=1,b=14. AB 的解析式为：y=x+14k0；综上，y 与 x（x 为整数）的函数关系式为：y=x+14,0x5y=9,5x15(2) 由表格规律可知：p 与 x 的函数关系是一次函数， 当 1x10 时，设解析式为：p=kx+b，把 1,230 和 3,290 代入得：k+b=230,3k+b=290. k=30,b=200. p=30x+200，同理得 10x15 时的解析式为：p=100
27、x+1500，综上，p 与 x 的函数关系式为：p=30x+200,1x10p=100x+1500,10x15(3) 设销售额为 w 元，当 0x5 时， w=py=x+1430x+200=30x220x+4200=30x1132+96103, x 是整数， 当 x=4 时，w 有最大值为：3041132+96103=3200，当 50， 当 5x10 时，w 随 x 的增大而增大， 当 x=10 时，w 有最大值为：27010+1800=4500，当 10x15 时，w=9100x+1500=900x+13500， 9003， 7b24524， b352415. 【答案】(1) 当 x=20
28、 时，y=10x+500=1020+500=300， 3001210=3002=600，即政府这个月为他承担的总差价为 600 元(2) 依题意得 w=x1010x+500=10x2+600x5000=10x302+4000 a=100， 当 x=30 时，w 有最大值 4000即当销售单价定为 30 元时，每月可获得最大利润 4000(3) 由题意得 10x2+600x5000=3000，解得 x1=20，x2=40 a=100，抛物线开口向下， 结合图象可知，当 20x40 时，w3000 x25， 当 20x25 时，w3000设政府每个月为他承担的总差价为 p 元， p=121010x
29、+500=20x+1000 k=200， p 随 x 的增大而减小， 当 x=25 时，p 有最小值 500即销售单价定为 25 元时，政府每个月为他承担的总差价最少为 500 元16. 【答案】(1) 由图象可知，y 是关于 x 的一次函数 设其解析式为y=kx+b. 图象经过点 2,12，8,9 两点， 所以2k+b=12,8k+b=9.解得k=12,b=13 一次函数的解析式为y=12x+13.当 x=6 时，y=10 答：若杨梅的销售量为 6 吨时，它的平均销售价格是每吨 10 万元(2) 根据题意得，w=y4x=12x+134x=12x2+9x.当 x=b2a=9 时，x=9 不在取
30、值范围内， 当 x=8 时，此时 W最大值=12x2+9x=40 万元；(3) 由题意得：12x2+9x=9x12x+3.解得x=2舍去,x=3.答该公司买入杨梅 3 吨； 当该公司买入杨梅吨数在 3x8 范围时，采用深加工方式比直接包装销售获得毛利润大些故答案为：30， 抛物线顶点为最低点 y=110x245x+3=110x42+75 绳子最低点离地面的距离为 75 米(2) 由（1）可知，BD=8令 x=0 得 y=3 . A0,3，C8,3由题意得：抛物线 F1 的顶点坐标为 2,1.8，设 F1 的解析式为：y=ax22+1.8将 0,3 代入，得：4a+1.8=3，解得：a=0.3，
31、 抛物线 F1 为：y=0.3x22+1.8当 x=3 时，y=0.31+1.8=2.1， MN 的长度为 2.1 米(3) MN=CD=3， 根据抛物线的对称性可知抛物线 F2 的顶点在 ND 的垂直平分线上， 抛物线 F2 的顶点坐标为 12m+4,k， 抛物线 F2 的解析式为：y=14x12m42+k把 C8,3 代入，得：14412m2+k=3， k=14412m2+3， k=116m82+3 k 是关于 m 的二次函数 m8，在对称轴的左侧， k 随 m 的增大而增大 当 k=2 时，116m82+3=2，解得：m1=4，m2=12（不符合题意，舍去）当 k=2.5 时，116m8
32、2+3=2.5，解得：m1=822，m2=8+22（不符合题意，舍去） m 的取值范围是 4m82218. 【答案】(1) 根据题意，得 S=x243x，即所求的函数解析式为：S=3x2+24x，又 0243x10， 143x10 不成立，当 x=5 时，BC=2415=910 成立， AB 长为 5m；(3) S=24x3x2=3x42+48 墙的最大可用长度为 10m，0BC=243x10， 143x8， 对称轴 x=4，开口向下， 当 x=143m，有最大面积的花圃即：x=143m，最大面积为：=2414331432=46.67m219. 【答案】(1) s2=4H， 当 H=20cm
33、时，s2=420=4102+400， 当 =10cm 时，s2 有最大值 400， 当 =10cm 时，s2 有最大值 20cm， 当 为 10cm 时，射程 s 有最大值，最大射程是 20cm(2) s2=420，设存在 a，b，使两孔射出水的射程相同，则有：4a20a=4b20b， 20aa2=20bb2， a2b2=20a20b， a+bab=20ab， aba+b20=0， ab=0 或 a+b20=0， a=b 或 a+b=20(3) 设垫高的高度为 m，则 s2=420+m=420+m22+20+m2， 当 =20+m2cm 时，smax=20+m=20+16， m=16cm，此时
34、 =20+m2=18cm， 垫高的高度为 16cm，小孔离水面的竖直距离为 18cm20. 【答案】(1) 设 y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+b，将点 40,300，55,150 代入可得 40k+b=300,55k+b=150, 解得 k=10,b=700, y 与 x 之间的函数关系式为 y=10x+700，当 y=0 时，x=70，又 成本为 30 元/件 x 的取值范围为 30x70(2) 设利润为 w 元，则 w=x3010x+700=10x2+1000x21000=10x502+4000, 每天漆器笔筒的销售量不低于 240 件， y240，即 10x+700240，解得 x46， 100，4650 当 x=46 时，w 有最大值，最大值为 1046502+4000=3840（元） 当销售单价为 46 元时，每天获取的利润最大，最大利润为 3840 元(3) 捐款后每天的剩余利润为 w150=10x2+1000x21000150=10x2+1000x2115010x2+1000x211503600, 解得 45x55， 该漆器笔筒销售单价的范围在 45x55 时，捐款后每天剩余利润不低于 3600 元学科网（北京）股份有限公司