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1、2012 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试题共4页， 21 小题，满分150 分，考试用时120 分钟。注意事项：1、 答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号，填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2、 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3、 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然
2、后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求做大的答案无效。4、 作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5、 考生必须保持答题卡得整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。参考公式： 柱体的体积公式VSh，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高 . 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题5 分，满分 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 设i为虚数单位，则复数56ii=( ) ()A65i()B65i()Ci()Di【解析】选D依题意：256(56 )65ii iiii，故选D.2设集合1,2,3,4,
3、5,6,1,2,4UM；则UC M( ) ()AU()B 1,3,5()C , , ()D , , 【解析】选CUC M , , 3. 若向量(2,3),(4,7)BACAuu u ru uu r；则BCuu u r( )()A ( 2, 4)()B(2, 4)()C ( ,)()D(,)【解析】选A( 2, 4)BCBACAuu u ruu u ru uu r4.下列函数中，在区间(0,)上为增函数的是( )()Aln(2)yx()B1yx()C( )xy()Dyxx【解析】选Aln(2)yx区间(0,)上为增函数，1yx区间(0,)上为减函数()xy区间(0,)上为减函数，yxx区间(1,
4、)上为增函数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 5.已知变量, x y满足约束条件241yxyxy，则3zxy的最大值为 ( ) ()A12()B11()C()D【解析】选B约束条件对应ABC边际及内的区域：5 3(2,2),(3,2),(,)2 2ABC则38,11zxy6.某几何体的三视图如图1 所示，它的体积为( )()A12()B45()C()D【解析】选C几何体是圆柱与圆锥叠加而成它的体积为22221353
5、53573V7. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是 ( ) ()A49()B13()C()D【解析】选D个位数为1,3,5,7,9时，十位数为2,4,6,8，个位数为0,2,4,6,8时，十位数为1,3,5,7,9，共45个个位数为0时，十位数为1,3,5,7,9，共5个别个位数为0的概率是514598. .对任意两个非零的平面向量和，定义gog；若平面向量,a br r满足0abrr，ar与br的夹角(0,)4，且,a b barr rroo都在集合2nnZ中，则a brro( )()A12()B1()C()D【解析】选C21cos0,cos0()()cos
6、(,1)2aba bb aa bb abarrrrrrrrrroooorr,a b b arr rroo都在集合2nnZ中得：*12123()()(,)42n na bban nNa brrrrrrooo名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答6 小题，每小题5 分，满分30 分。 ( 一）必做题（9-13 题）9. 不等式21xx的解集为 _【解析】解集为_1(,2原不等式2(2
7、)1xxx或2021xxx或021xxx, 解得12x, 10. 261()xx的展开式中3x的系数为 _。 （用数字作答）【解析】系数为_20261()xx的展开式中第1k项为2(6)12 3166(0,1,2,6)kkkkkkTC xxC xkK令12333kk得：3x的系数为3620C11. 已知递增的等差数列na满足21321,4aaa，则_na【解析】_na21n221321,412(1)4221naaadddan12.曲线33yxx在点(1,3)处的切线方程为【解析】切线方程为210 xy3213312xyxxyxky切线方程为32(1)yx即210 xy13. 执行如图2 所示的
8、程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为【解析】输出s的值为8S1248i2468k1234（二）选做题（14 - 15题，考生只能从中选做一题）14.( 坐标系与参数方程选做题) 在平面直角坐标系xOy中，曲线1C和2C的参数方程分别为1:(xtCtyt是参数）和22 cos:(2 sinxCy是参数），它们的交点坐标为_. 【解析】它们的交点坐标为_(1,1)22212:(0),:2Cyx yCxy解得：交点坐标为(1,1)15.( 几何证明选讲选做题）如图3，圆O的半径为1,A B C是圆周上的三点，满足，30ABC，过点A做圆O的切线与OC的延长线交于点P，则_PA【解析】_PA3连
9、接OA，得2601,AOCABCAC30301PACABCAPCPC22233PAPOOAPA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 三、解答题：本大题共 6 小题，满分80 分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。16. (本小题满分12 分) 已知函数( )2cos()(0,)6f xxxR的最小正周期为10（ 1）求的值；（ 2）设,0,2，56516(5),(5)35617ff；求cos()的值【解析】（1）
10、21105T（2）56334(5)cos()sin,cos352555f516815(5)cos,sin6171717f4831513cos()coscossinsin5175178517. (本小题满分13 分) 某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图 4 所示，其中成绩分组区间是：40,5050,6060,7070,8080,9090,100。（ 1）求图中x的值；（ 2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求的数学期望。【解析】（1）0.006 10 30.01 100.054 101010.018xx（2） 成绩不低于
11、80分的学生有(0.0180.006)105012人，其中成绩在90分以上（含90分）的人数为0.06 10503随机变量可取0,1,221129933222121212691(0),(1),(0)112222CC CCPPPCCC69110121122222E答： （1）0.018x（ 2）的数学期望为12名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 18.( 本小题满分13 分) 如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABC
12、D为矩形，PA平面ABCD，点E在线段PC上，PC平面BDE。（1）证明：BD平面PAC；（2）若1,2PAAD，求二面角BPCA的正切值；【解析】（1）PC平面BDE，BD面BDEBDPCPA平面ABCD，BD面ABCDBDPA又PAPCPBDI面PAC（2）ACBDOI由（ 1）得：BDACABAD，1,22PAADAB，PC平面,BDEBFPC OFPCBFO是二面角BPCA的平面角在PBC中，2 55,2,3903BPBCPBBCPCPBCBEPC在Rt BOF中，2222,tan33BOBOOEBFBOBFOOF得：二面角BPCA的正切值为319.( 本小题满分14 分) 设数列na
13、的前n项和为nS，满足1*1221()nnnSanN，且123,5,a aa成等差数列。（1）求1a的值；（2）求数列na的通项公式。（3）证明：对一切正整数n，有1211132naaaL【解析】（1）12112221,221nnnnnnSaSa相减得：12132nnnaa12213212323,34613Saaaaaa123,5,a aa成等差数列13212(5)1aaaa（2）121,5aa得132nnnaa对*nN均成立1113223(2 )nnnnnnnaaaa得：122112123(2)3 (2)3(2)32nnnnnnnnnnaaaaaL（3）当1n时，11312a当2n时，233
14、11()()23222222nnnnnnnaa231211111111311222222nnnaaaLL由上式得：对一切正整数n，有1211132naaaL名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 20.( 本小题满分14 分) 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率23e，且椭圆C上的点到(0, 2)Q的距离的最大值为3；（ 1）求椭圆C的方程；（ 2）在椭圆C上，是否存在点(, )M
15、 m n使得直线:1lmxny与圆22:1Oxy相交于不同的两点,A B，且AOB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的AOB的面积；若不存在，请说明理由。【解析】（1）设22cab由222233cecaa，所以222213baca设( , )P x y是椭圆C上任意一点，则22221xyab，所以222222(1)3yxaayb2222222|(2)3(2)2(1)6PQxyayyya当1b时，当1y时，|PQ有最大值263a，可得3a，所以1,2bc当1b时，226363PQab不合题意故椭圆C的方程为：2213xy（2）AOB中，1OAOB，11sin22AOBSOAOBAOB当且
16、仅当90AOB时，AOBS有最大值12，90AOB时，点O到直线AB的距离为22d2222212222dmnmn又22223133,22mnmn，此时点62(,)22M名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 21. （本小题满分14 分）设1a，集合|0AxR x，2| 23(1)60BxRxa xa，DABI。（1）求集合D（用区间表示）（2）求函数32( )23(1)6fxxa xax在D内的极值点。【解析】（1）对
17、于方程223(1)60 xa xa判别式29(1)483(3)(31)aaaa因为1a，所以30a当113a时，0，此时BR，所以DA；当13a时，0，此时|1 Bx x，所以(0,1)(1,)DU；当13a时，0，设方程223(1)60 xa xa的两根为12,x x且12xx，则13(1)3(3)(31)4aaax，23(1)3(3)(31)4aaax12|Bx xxxx或当103a时，123(1)02xxa，1230 x xa，所以120,0 xx此时，12( ,)(,)Dx xxU3(1)3(3)(31)3(1)3(3)(31)(0,)(,)44aaaaaaU当0a时，1230 x x
18、a，所以120,0 xx此时，23(1)3(3)(31)(,)(,)4aaaDx（2）2( )66(1)66(1)()fxxa xaxxa，1a所以函数( )f x在区间 ,1a上为减函数，在区间(, a和1,)上为增函数1x是极点1113Baxa是极点,01aA aBa得：0a时，函数无( )f x极值点，103a时，函数( )f x极值点为a，113a时，函数( )f x极值点为1与a名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -