2022年圆锥曲线经典教案 .pdf

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1、名师精编优秀教案圆锥曲线1. 圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F ，F 的距离的和等于常数， 且此常数一定要大于， 当常数等于时，轨迹是线段 F F ，当常数小于时，无轨迹；双曲线中， 与两定点 F ，F 的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于 |F F | ，定义中的“绝对值”与|F F | 不可忽视。若|F F | ，则轨迹是以F ，F 为端点的两条射线，若|F F | ，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。比如：已知定点，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是A BC D（答： C ） ；方程表示的

2、曲线是 _（答：双曲线的左支）（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母” ，其商即是离心率。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。如已知点及抛物线上一动点 P（x,y ）, 则 y+|PQ| 的最小值是_（答： 2）(2. 圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程） ：（1）椭圆：焦点在轴上时（）（参数方程，其中为参数），焦点在轴上时1（） 。方程表示椭圆的充要条件是什么？（ABC 0，且 A，B，C同号，AB） 。精选学习资料

3、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页名师精编优秀教案比如：已知方程表示椭圆，则的取值范围为_（答：） ；若，且，则的最大值是 _，的最小值是_（答：）（2）双曲线：焦点在轴上： =1 ，焦点在轴上：1（） 。方程表示双曲线的充要条件是什么？（ABC 0，且 A，B异号） 。比如：双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，则该双曲线的方程 _（答：） ；设中心在坐标原点，焦点、在坐标轴上，离心率的双曲线 C过点，则 C的方程为 _（答：）（3）抛物线：开口向右时，开口向左时，开口向上时，开口向下时。3. 圆锥曲线焦点位置的判断（首先

4、化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程表示焦点在 y 轴上的椭圆，则m的取值范围是_（答：）（2） 双曲线：由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页名师精编优秀教案特别提醒： （1）在求解椭圆、 双曲线问题时， 首先要判断焦点位置， 焦点 F ，F 的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数，确定椭圆、双曲线的形

5、状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件； 在求解抛物线问题时， 首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，最大，在双曲线中，最大，。4. 圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以（） 为例） ：范围：；焦点：两个焦点；对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0 ） ，四个顶点，其中长轴长为 2，短轴长为 2；准线：两条准线； 离心率：，椭圆， 越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。比如：若椭圆的离心率，则的值是 _（答： 3 或） ；以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1 时，则椭圆长轴的最小值为 _（答：）（2） 双曲线 （以（） 为例） ： 范围：或；焦点：两个焦点；对称性：两条对称轴，一个对称中

6、心（0,0 ） ，两个顶点，其中实轴长为2，虚轴长为2，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；准线：两条准线； 离心率：，双曲线，等轴双曲线，越小，开口越小，越大，开口越大；两条渐近线：。比如：双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率等于_（答：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页名师精编优秀教案或） ；双曲线的离心率为，则= （答： 4 或） ；设双曲线（a0,b0）中，离心率e,2, 则两条渐近线夹角的取值范围是 _（答：） ；（3）抛物线（以为例） ：范围：；焦点：一个焦点，其中的几何意

7、义是：焦点到准线的距离；对称性：一条对称轴，没有对称中心，只有一个顶点（ 0,0 ） ；准线：一条准线； 离心率：，抛物线。如设，则抛物线的焦点坐标为 _ （答：） ；5、点和椭圆（）的关系：（1）点在椭圆外； （2）点在椭圆上1； （3）点在椭圆内6直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交：直线与椭圆相交；直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；直线与抛物线相交， 但直线与抛物线相交不一定有，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故也仅是直线与抛物线相交的充

8、分条件，但不是必要条件。比如：若直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2=6的右支有两个不同的交点， 则 k 的取值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页名师精编优秀教案范围是 _（答： (-,-1) ） ；直线 ykx1=0 与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是 _（答： 1 ，5）（5，+） ） ；过双曲线的右焦点直线交双曲线于A、B 两点，若 AB 4，则这样的直线有 _条（答： 3） ；（2）相切：直线与椭圆相切；直线与双曲线相切；直线与抛物线相切；（3）相离：直线与椭圆相离；直线与双曲线相离；直线与抛物线相离。

9、特别提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时, 直线与双曲线相交 , 但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时, 直线与抛物线相交 , 也只有一个交点；（2）过双曲线1 外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下： P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时， 有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；P为原点时

10、不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。比如：过点作直线与抛物线只有一个公共点， 这样的直线有 _（答： 2） ；过点 (0,2) 与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为_（答：） ；过双曲线的右焦点作直线交双曲线于 A、B两点，若4，则满足条件的直线有_条（答： 3） ；对于抛物线 C：，我们称满足的点在抛物线的内部，若点在抛物线的内部，则直线：与抛物线 C的位精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页名师精编优秀教案置关系是 _（答：相

11、离）；过抛物线的焦点作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段 PF与FQ的长分别是、，则_（答： 1） ；设双曲线的右焦点为，右准线为，设某直线交其左支、右支和右准线分别于，则和的大小关系为 _(填大于、小于或等于 ) （答：等于）；求椭圆上的点到直线的最短距离（答：） ；直线与双曲线交于、两点。当为何值时，、分别在双曲线的两支上？当为何值时，以 AB为直径的圆过坐标原点？ （答：；） ；7、焦半径（圆锥曲线上的点P 到焦点 F 的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径，其中表示 P到与F所对应的准线的距离。比如：已知椭圆上一点 P到椭圆左焦点的距离为3， 则点

12、P到右准线的距离为 _（答：） ；已知抛物线方程为，若抛物线上一点到轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于_；若该抛物线上的点到焦点的距离是 4，则点的坐标为 _（答：） ；点 P在椭圆上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点 P的横坐标为 _（答：） ；抛物线上的两点 A、 B到焦点的距离和是5， 则线段 AB的中点到轴的距离为 _（答： 2） ；椭圆内有一点，F 为右焦点，在椭圆上有一点M ，使精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页名师精编优秀教案之值最小，则点 M的坐标为 _（答：） ；8、焦点三角

13、形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点到两焦点的距离分别为， 焦点的面积为， 则在椭圆中， ，且当即为短轴端点时，最大为；，当即为短轴端点时，的最大值为 bc；对于双曲线的焦点三角形有： ； 。 比如：短轴长为，离心率的椭圆的两焦点为、，过作直线交椭圆于 A、B两点，则的周长为 _（答： 6） ；设 P 是等轴双曲线右支上一点， F1、F2是左右焦点，若，|PF1|=6 ，则该双曲线的方程为（答：） ；双曲线的虚轴长为4，离心率 e，F1、F2是它的左右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且是与等差中项，则

14、_（答：） ；已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点， P 为双曲线上一点，且，求该双曲线的标准方程（答：） ；9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切； （2）设 AB为焦点弦， M 为准线与 x 轴的交点，则 AMFBMF ； （3）设 AB为焦点弦， A、B在准线上的射影分别为A ，B ，若 P为 AB 的中点，则 PA PB ； （4）若 AO的延长线交准线于C ，则 BC平行于 x 轴，反之，若过 B点平行于 x 轴的直线交准线于C点，则 A，O ，C三点共线。10、弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别精选学习资料 -

15、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页名师精编优秀教案为 A、 B的横坐标，则222212121221(1)()41ABkxxkxxx xka，若分别为 A、B的纵坐标，则，比如：过抛物线 y2=4x的焦点作直线交抛物线于A （x1，y1） ，B （x2，y2）两点，若 x1+x2=6，那么 |AB| 等于_（答： 8） ；过抛物线焦点的直线交抛物线于A、B 两点，已知 |AB|=10 ，O为坐标原点，则 ABC 重心的横坐标为 _（答： 3） ；11、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中，以为

16、中点的弦所在直线的斜率k=；在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=。比如：如果椭圆弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是（答：）已知直线 y=x+1 与椭圆相交于 A、B两点，且线段 AB的中点在直线 L：x2y=0 上，则此椭圆的离心率为_（答：） ；试确定m 的取值范围，使得椭圆上有不同的两点关于直线对称（答：） ；特别提醒：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验！12你了解下列结论吗？（1）双曲线的渐近线方程为；（2）以为渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为为参数，0）。如与

17、双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线方程为 _ 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页名师精编优秀教案（答：）（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、 双曲线方程可设为；（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为，焦准距（焦点到相应准线的距离）为，抛物线的通径为，焦准距为；（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；（6）若抛物线的焦点弦为 AB ，则；（7）若 OA 、OB是过抛物线顶点 O的两条互相垂直的弦，则直线 AB恒经过定点13动点轨迹方程：（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定

18、点的范围；（2）求轨迹方程的常用方法：直接法：直接利用条件建立之间的关系；如已知动点 P到定点 F(1,0) 和直线的距离之和等于 4，求 P的轨迹方程（答：或）；待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。如线段 AB过 x 轴正半轴上一点M （m ，0），端点 A、B到 x 轴距离之积为2m ，以x 轴为对称轴，过A、O 、B 三点作抛物线，则此抛物线方程为（答：） ；定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；如(1) 由动点 P向圆作两条切线 PA 、 PB ， 切点分别为 A、 B， APB

19、=600，则动点 P的轨迹方程为（答：）；（ 2）点 M与点 F(4,0) 的距离比它到直线的距离小于 1，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页名师精编优秀教案则点 M的轨迹方程是 _ （答：） ； (3) 一动圆与两圆 M ：和N ：都外切，则动圆圆心的轨迹为（答：双曲线的一支）；代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨迹方程；如动点 P是抛物线上任一点，定点为, 点 M分所成的比为 2，则 M的轨迹方程为 _（答：）；参数法：当动点坐标之间

20、的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。如（1）AB是圆 O的直径，且 |AB|=2 a，M为圆上一动点，作MN AB ，垂足为N，在 OM 上取点，使，求点的轨迹。（答：）；（2）若点在圆上运动，则点的轨迹方程是 _（答：）；（3）过抛物线的焦点 F作直线交抛物线于 A、B两点，则弦 AB的中点 M的轨迹方程是 _（答：）；注意：如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行 “摘帽子或脱靴子” 转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。如已知椭圆的左、右焦点分别是F

21、1（c，0） 、F2（c，0） ，Q是椭圆外的动点，满足点 P 是线段 F1Q与该椭圆的交点，点T 在线段 F2Q 上，并且满足（1）设为点P 的横坐标，证明； （2）求点 T的轨迹 C的方程； （3）试问：在点 T的轨迹 C上，是否存在点 M ，使 F1MF2的面积 S=若存在，求 F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由 . （答： （1）略； （2）； （3）当时不存在；当时精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页名师精编优秀教案存在，此时 F1MF22）曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或

22、轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响. 在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份对称性、利用到角公式 )、 “方程与函数性质” 化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、 “求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等. 如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化 . 14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：（1） 给出直线的方向向量或；（2）给出与相交, 等于已知过的中点 ; （3）给出, 等于已知是的中点 ; （4）给出, 等于已知与的中点三点共线 ; （5） 给

23、出以下情形之一：；存在实数；若存在实数, 等于已知三点共线 . （6） 给出，等于已知是的定比分点，为定比，即（ 7）给 出, 等 于 已 知, 即是 直 角 , 给出, 等于 已知是钝 角, 给 出, 等于 已 知是锐角。（8）给出, 等于已知是的平分线 / （9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形 ; （10） 在平行四边形中， 给出， 等于已知精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页名师精编优秀教案是矩形 ; （11）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（12） 在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（13） 在中， 给出， 等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；（14）在中，给出等于已知通过的内心；（15）在中，给出等于已知是的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；（16） 在中，给出, 等于已知是中边的中线 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页