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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案圆锥曲线1. 圆锥曲线的两个定义:(1)第肯定义中要重视“ 括号” 内的限制条件:椭圆中,与两个定点 F ,F 的距离的和等于常数,且此常数 肯定要大于,当常数等于 时,轨迹是线段 F F ,当常数小于时,无轨迹;双曲线中, 与两定点 F ,F 的距离的差的肯定值等于常数,且此常数 肯定要小于 |F F | ,定义中的“ 绝对值” 与|F F | 不行忽视;如|F F | ,就轨迹是以 F ,F 为端点的两条射线,如 |F F | ,就轨迹不存在;如去掉定义中的肯定值就轨迹仅表示双曲线的一支;比如:已知定点,在满意以下条件的平
2、面上动点P的轨迹中是椭圆的是A B D(答: C);C方程表示的曲线是 _(答:双曲线的左支)(2)其次定义中要留意定点和定直线是相应的焦点和准线,且“ 点点距为分子、点线距为分母”,其商即是离心率;圆锥曲线的其次定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系,对它们进行相互转化;要善于运用其次定义如已知点及抛物线上一动点 P(x,y ), 就 y+|PQ| 的最小值是 _(答: 2)2. 圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为 对称轴时的标准位置的方程) :(1)椭圆:焦点在轴上时轴上时()(参数方程,其中为参数) ,焦点在 1();方程表示椭圆的充要
3、条件是什么?(ABC 0,且 A,B,C同号,A B);名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案比如:已知方程表示椭圆,就的取值范畴为_(答:);如,且,就的最大值是 _,的最小值是_(答:)轴上: =1 ,焦点在轴上:1( 2)双曲线:焦点在();方程表示双曲线的充要条件是什么?(ABC 0,且 A,B 异号);比如:双曲线的离心率等于,且与椭圆有公共焦点,就该双曲线的方程 _(答:);设中心在坐标原点,焦点、在坐标轴上,离心率 的双曲线 C过点,就 C的方程为 _(答:)(3)抛物线:开口向右时,开
4、口向左时,开口向上时,开口向下时;3. 圆锥曲线焦点位置的判定(第一化成标准方程,然后再判定):(1)椭圆:由 , 分母的大小打算,焦点在分母大的坐标轴上;如已知方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆,就 m的取值范畴是_(答:,)项系数的正负打算, 焦点在系数为正的坐标轴上;(2)双曲线:由(3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号打算开口方向;名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案特殊提示:(1)在求解椭圆、 双曲线问题时, 第一要判定焦点位置, 焦点 F ,F 的位置,是椭圆、双曲线的定位条件
5、,它打算椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参数,确定椭圆、双曲线的外形和大小,是椭圆、双曲线的定形条件; 在求解抛物线问题时, 第一要判定开口方向;(2)在椭圆中,最大,在双曲线中,最大,;4. 圆锥曲线的几何性质:(1)椭圆(以()为例):范畴:;焦点:两个焦点;对称性:两条对称轴,一个对称中心(0,0 ),四个顶点,其中长轴长为 2,短轴长为 2;准线:两条准线; 离心率:,椭圆, 越小,椭圆越圆;越大,椭圆越扁;比如:名师归纳总结 如椭圆的离心率,就的值是 _(答: 3 或);第 3 页,共 12 页以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1 时,就椭圆长轴的最小值为
6、 _(答:)(2)双曲线(以()为例):范畴:或;焦点:两个焦点;对称性:两条对称轴,一个对称中心(0,0 ),两个顶点,其中实轴长为2,虚轴长为2,特殊地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为;准线:两条准线; 离心率:,双曲线,等轴双曲线,越小,开口越小,越大,开口越大;两条渐近线:;比如:双曲线的渐近线方程是,就该双曲线的离心率等于_(答:- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 或);名师精编优秀教案 双 曲 线 的 离 心 率 为,就= (答: 4 或);设双曲线(a0,b0)中,离心率 e ,2, 就两条渐近线夹角 的取值范畴是 _
7、(答:);(3)抛物线(以 为例):范畴:;焦点:一个焦点,其中 的几何意义是:焦点到准线的距离;对称性:一条对称轴,没有对称中心,只有一个顶点( 0,0 );准线:一条准线; 离心率:,抛物线;如设,就抛物线 的焦点坐标为 _(答:);5、点 和椭圆()的关系:( 1)点 在椭圆外;(2)点 在椭圆上 1;(3)点 在椭圆内6直线与圆锥曲线的位置关系:(1)相交:直线与椭圆相交;直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不肯定有 线相交且只有一个交点,故,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲 是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要名师归纳总结 条件;直线与抛物线相交, 但直线与抛物线相交不肯
8、定有,当直线第 4 页,共 12 页与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件;比如:如直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2=6 的右支有两个不同的交点, 就 k 的取值- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 范畴是 _(答: -名师精编优秀教案,-1 );直线 ykx1=0 与椭圆恒有公共点,就m 的取值范畴是 _(答: 1 ,5)( 5,+);过双曲线的右焦点直线交双曲线于A、B 两点,如 AB 4,就这样的直线有 _条(答: 3);(2)相切:直线与椭圆相切;直线与双曲线相切;直线与抛
9、物线相切;(3)相离:直线与椭圆相离;直线与双曲线相离;直线与抛物线相离;特殊提示:(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交;假如直线与双曲线的渐近线平行时, 直线与双曲线相交 , 但只有一个交点;假如直线与抛物线的轴平行时 , 直线与抛物线相交 , 也只有一个交点;(2)过双曲线1 外一点 的直线与双曲线只有一个公共点的情形如下: P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条; P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时, 有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;P
10、在两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线; P为原点时不存在这样的直线;(3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线;比如:过点作直线与抛物线只有一个公共点, 这样的直线有 _(答: 2);过点 0,2 与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范名师归纳总结 围为 _(答:);第 5 页,共 12 页过双曲线的右焦点作直线交双曲线于 A、B两点,如4,就满意条件的直线有_条(答: 3);对于抛物线 C:,我们称满意的点在抛物线的内部,如点在抛物线的内部,就直线:与抛物线 C的位- - - - - - -精选学
11、习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案置关系是 _(答:相离);过抛物线,就的焦点作始终线交抛物线于P、Q两点,如线段 PF与FQ的长分别是、_(答: 1);设双曲线的右焦点为,右准线为,设某直线交其左支、右支和右准线分别于,就和的大小关系为 _填大于、小于或等于 (答:等于);求椭圆上的点到直线、的最短距离(答:);直线与双曲线交于两点;当为何值时,、分别在双曲线的两支上?当 为何值时,以 AB为直径的圆过坐标原点? (答:;);7、焦半径(圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离)的运算方法:利用圆锥曲线的其次定义,转化到相应准线的距离,即焦半径,其中表示 P到与F
12、所对应的准线的距离;比如:已知椭圆上一点 P到椭圆左焦点的距离为3,就点 P 到右准线的距离为 _(答:);,如抛物线上一点到轴的距离等于5,就它已知抛物线方程为到抛物线的焦点的距离等于_;的坐标为 _(答:如该抛物线上的点到焦点的距离是 4,就点);点 P在椭圆 上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,就点 P 的横坐标为 _(答:);抛物线 上的两点 A、B到焦点的距离和是 5,就线段 AB的中点到 轴的距离为 _(答: 2);名师归纳总结 椭圆内有一点,F 为右焦点,在椭圆上有一点M,使第 6 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - -
13、 名师精编 优秀教案之值最小,就点 M的坐标为 _(答:);8、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题:常利用第肯定义和正弦、余弦定理求解;设椭圆或双曲线上的一点 到两焦点 的距离分别为,焦点 的面积为,就在椭圆 中, ,且当 即 为短轴端点时,最大为;,当 即 为短轴端点时,的最大值为 bc;对于双曲线 的焦点三角形有: ;比如:短轴长为,离心率 的椭圆的两焦点为、,过 作直线交椭圆于 A、B 两点,就 设 P 是等轴双曲线的周长为 _(答: 6);右支上一点, F1、F2 是左右焦点,如, |PF1|=6 ,就该双曲线的方程为(答:);双曲线的虚轴长为4,离心率 e,
14、F1、F2是它的左右焦点,如过F1的直线与双曲线的左支交于A、B 两点,且是与等差中项,就_(答:);已知双曲线的离心率为2,F1、F2 是左右焦点, P 为双曲线上一点,且,求该双曲线的标准方程(答:);9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质:(1)以过焦点的弦为直径的圆和准线相切; (2)设 AB为焦点弦, M 为准线与 x 轴的交点,就 AMF BMF;(3)设 AB为焦点弦, A、B在准线上的射影分别为 A ,B ,如 P为 AB 的中点,就 PAPB;(4)如 AO的延长线交准线于C,就 BC平行于 x 轴,反之,名师归纳总结 如过 B 点平行于 x 轴的直线交准线于C点,就
15、A,O,C三点共线;分别第 7 页,共 12 页10、弦长公式:如直线与圆锥曲线相交于两点A、B,且- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 为 A、B 的横坐标,就AB1k名师精编优秀教案2x 1x 224x x 21k2a2,2x 1x 21k如分别为 A、B的纵坐标,就,比如:过抛物线 y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于如 x1+x2=6,那么 |AB| 等于 _(答: 8);A(x1,y1),B(x2,y2)两点,过抛物线焦点的直线交抛物线于A、B 两点,已知 |AB|=10 ,O为坐标原点,就 ABC重心的横坐标为 _(答: 3);11、圆锥曲线的
16、中点弦问题:遇到中点弦问题常用“ 韦达定理” 或“ 点差法” 求解;在椭圆 中,以 为中点的弦所在直线的斜率 k=;在双曲线 中,以 为中点的弦所在直线的斜率 k=;在抛物线中,以 为中点的弦所在直线的斜率 k=;比如:假如椭圆 弦被点 A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是(答:)已知直线 y=x+1 与椭圆相交于 A、B 两点,且线段 AB的中点在直线 L:x2y=0 上,就此椭圆的离心率为 _(答:);试确定 m 的取值范畴,使得椭圆 上有不同的两点关于直线对称(答:);特殊提示:由于是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验!12你明白以下
17、结论吗?名师归纳总结 (1)双曲线的渐近线方程为;第 8 页,共 12 页(2)以为渐近线(即与双曲线共渐近线)的双曲线方程为为参数, 0);的双曲线方程为 _ 如与双曲线有共同的渐近线,且过点- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - (答:)名师精编优秀教案(3)中心在原点, 坐标轴为对称轴的椭圆、 双曲线方程可设为,焦准距;(4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为(焦点到相应准线的距离)为,抛物线的通径为,焦准距为;(5)通径是全部焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦;(6)如抛物线;的焦点弦为 AB,就(7)如 OA、OB是过抛物线 直线 AB恒
18、经过定点 13动点轨迹方程:顶点 O的两条相互垂直的弦,就(1)求轨迹方程的步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范畴;(2)求轨迹方程的常用方法:直接法:直接利用条件建立之间的关系;如已知动点 P到定点 F1,0 和直线的距离之和等于 4,求 P 的轨迹方程(答:或);待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程先依据条件设出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数;如线段 AB过 x 轴正半轴上一点 M(m,0),端点 A、B 到 x 轴距离之积为 2m,以 x 轴为对称轴,过 A、 O、 B 三点作抛物线,就此抛物线方程为(答:);定义法:先依据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定
19、义直接写出动点的轨迹方程;如1 由动点 P向圆作两条切线 PA、PB,切点分别为 A、B,APB=60 0,名师归纳总结 就动点 P 的轨迹方程为(答:第 9 页,共 12 页);( 2)点 M与点 F4,0 的距离比它到直线的距离小于 1,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案就点 M的轨迹方程是 _ (答:);3 一动圆与两圆 M:和N:都外切,就动圆圆心的轨迹为(答:双曲线的一支);代入转移法:动点 依靠于另一动点 的变化而变化,并且又在某已知曲线上,就可先用 的代数式表示,再将 代入已知曲线得要求的轨迹方程;如动点 P是抛物线 上
20、任一点, 定点为 , 点 M分 所成的比为 2,就 M的轨迹方程为 _(答:);参数法: 当动点 坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将 均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得一般方程);如(1)AB是圆 O的直径,且 |AB|=2 a,M为圆上一动点,作 MNAB,垂足为N,在 OM上取点,使,求点 的轨迹;(答:);(2)如点 在圆 上运动,就点 的轨迹方程是 _(答:);( 3)过抛物线 的焦点 F 作直线 交抛物线于 A、B 两点,就弦 AB的中点 M的轨迹方程是 _(答:);留意:假如问题中涉及到平面对量学问,那么应从已知向量的特点动身,考虑挑选向量
21、的几何形式进行 “ 摘帽子或脱靴子”式进行“ 摘帽子或脱靴子” 转化;转化,仍是挑选向量的代数形如已知椭圆 的左、右焦点分别是 F1( c,0)、F2(c,0),Q是椭圆外的动点,满意 点 P 是线段 F1Q与该椭圆的交点,点 T 在线段 F2Q 上,并且满意( 1)设 为点 P 的横坐标,证明;(2)求点 T 的轨迹 C的方程;(3)试问:在点 T 的轨迹 C上,是否存在点 M,使 F1MF2 的面积 S=如存在,求 F1MF2的正切值;如不存在,请说名师归纳总结 明理由 . (答:(1)略;(2);(3)当时不存在;当时第 10 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 -
22、- - - - - - - - 名师精编 优秀教案存在,此时 F1MF22)曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,寻求轨迹或轨迹方程时应留意轨迹上特殊点对轨迹的“ 完备性与纯粹性” 的影响 . 在与圆锥曲线相关的综合题中,常借助于“ 平面几何性质” 数形结合 如角平分线的双重身份对称性、利用到角公式 、“ 方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“ 分类争论思想” 化整为零分化处理、 “ 求值构造等式、求变量范畴构造不等关系” 等等 . 假如在一条直线上显现“ 三个或三个以上的点” ,那么可挑选应用“ 斜率或向量” 为桥梁转化 . 14、解析几何与向量综合时可能显现的向量内容:(1
23、) 给出直线的方向向量 或;(2)给出 与 相交 , 等于已知 过 的中点 ; (3)给出 , 等于已知 是 的中点 ; (4)给出 , 等于已知 与 的中点三点共线 ; (5) 给出以下情形之一:;存在实数;如存在实数 , 等于已知 三点共线 . (6) 给出,等于已知 是 的定比分点,为定比,即( 7 )给 出 , 等 于 已 知 , 即 是 直 角 , 给 出, 等 于 已 知是 钝 角 , 给 出, 等 于 已 知是锐角;(8)给出, 等于已知是的平分线 / ,等于已知(9)在平行四边形中,给出是菱形 ; 名师归纳总结 (10) 在平行四边形中,给出,等于已知第 11 页,共 12 页
24、- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案是矩形 ; (11)在中,给出,等于已知是的外心(三角形外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点);(12) 在中,给出,等于已知是的重心(三角形的重心是三角形三条中线的交点);(13)在中,给出;,等于已知是的垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点)等于已知通过(14)在中,给出的内心;(15)在中,给出等于已知是;的内心(三角形内切圆的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点)(16) 在中,给出, 等于已知是中边的中线 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页