《2022年圆锥曲线笔记.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年圆锥曲线笔记.pdf（13页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、圆锥曲线笔记D D、解析圆锥曲线 (上)(用解析几何研究圆锥曲线) 1、圆锥曲线的准圆a.椭圆的内准园与外准圆y P A o x B 设椭圆的方程为),0( 12222babyax内准圆定义 :在椭圆内部存在使与其相切的椭圆的弦的中心角都为 90 度称为内准圆22222222222222222222222222222222222222oooooobaba1baabbaba)cos()sin(aba)cos()sin(aba1b)sin(acos1b)sin(acos)sin,cos(),sin,cos(,),90,900,900(90yxbyaxABrrrrBbBrAbArBrBrArArBr
2、BrBArArArBOrAOBABABBOXAAOXAOBABBABABABBAABBAABA的内准圆方程为椭圆到椭圆中心的距离为）（，）（代入椭圆的方程得到记为椭圆的弦，且中心角外准圆定义 :椭圆两条垂直切线交点的轨迹精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 圆锥曲线笔记D 22222222202020220220200220220022222002002222200002200ba1-1-020(00)()(2a(0)(baba,ba
3、yxPbayxxaybPybkyxkxakxybkabkxyaxkxykaxbkkxyykxyyxxkPPPPyxP且方程为综上椭圆的外准圆存在点到椭圆中心的距离为即当斜率存在时两斜率乘积为两切线斜率的二次方程此方程即为过）（）又因为是切线故）代入椭圆的方程即点椭圆的切线为当斜率存在时设过距离都为）这四点到椭圆中心的，点在（点的切线斜率不存在时当垂直作椭圆的两条切线相互满足，过）为椭圆外的一点，且（如图b、双曲线的虚实准圆设双曲线的方程为0)b0,1(ab-a2222yx虚准圆定义 :与椭圆的内准圆相似一个以双曲线的中心为圆心使与其相切的双曲线的弦的中心角为90的圆被称为双曲线的虚准圆(必须有
4、ba0,否则不存虚准圆 ) 设双曲线弦 AB 方程为 y=kx+m 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 圆锥曲线笔记D 圆一样引入三角参数）（也可像证明椭圆内准的虚准圆为所以双曲线一定值直线到双曲线的距离为又）（）（得方程代入双曲线的方程222222222222222222221122222222222211222222222222222222211)0(11090,)()(0)(20)(2),(),(abbayxabbyaxaba
5、bABabbakmyxyxAOBbkamkabbmayxyxmkabmybybkabmakmxaxbkaAByxByxAo实准圆定义 :类似与椭圆的外准圆,双曲线两条相互垂直的切线 交 点 的 轨 迹 ( 必 须 有 :ab0, 否 则 不 存 在 实 准圆)精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 圆锥曲线笔记D ）（在且方程为综上双曲线的实准圆存为点到双曲线中心的距离即两斜率乘积为两切线斜率的二次方程此方程即为过）（）又因为是切线故）
6、代入双曲线的方即点双曲线的切线为当斜率存在时设过互垂直作双曲线的两条切线相且满足，过）为双曲线外的一点，（如图0-b-a-1-1-020(00)()(2-a(0)(,222222222020202202202002202200222220020022222000000babayxPbayxxaybPybkyxkxakxybkabkxyaxkxykaxbkkxyykxyyxxkPPyxPC、抛物线的准线就是特殊的准圆准确来说抛物线并没有类似于有心圆锥曲线的准圆存在,但就是抛物线两条垂直的切线的交点的轨迹为其准线,可以理解为半径无大的圆结合上节几何中的抛物线结论容易的出这一结论此处便不再赘述 (用
7、解析法同样可以轻松得到) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 圆锥曲线笔记D 2.圆锥曲线直线过定点问题圆锥曲线的定点问题就是让很多人感到头疼的问题,以至于对此类问题形成畏惧心理,观其本质其实并不复杂,主要问题就是在于计算量过大,本节将介绍圆锥曲线几个典型过定点问题希望能对大家有所帮助。对于直线过定点我们其实应该知晓其在解析几何上的表现形式 ,一般将直线设为斜截式y=kx+m 或 x=ky+n 只要找出斜率与截距的一次线性关系即可确
8、定直线过定点,明确此节我们寻找定点也就转化成了在方程变换中找到一个关于斜率与截距的关系式(例如 :y=kx+m若有 m=-3k+3 则直线过 (3,3)点) a.斜率定积精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 圆锥曲线笔记D 当圆锥曲线上一定点于两动点满足定点与两动点的连线的斜率乘积 (乘积不等于0,以及2-1 e)为一定值时 ,两动点的连线必然过定点1.椭圆定向但不过定点时时没有意义当过椭圆中心，时特别地当过定点点不符题意舍过此式成立
9、则当化简遇到瓶颈时注意当作方程的主元化简或的关系，应将与得到下式后为得出）（）（代入椭圆方程：，且有点异于为椭圆上的两动点）为其上一定点（设：椭圆方程为ABabeABabeybabaxbabaABybabaxbabaxkyPABymkxmbybyamakbxxambybyamakbxxaymkxymmbybyamakmxakxbxaxymbymakmxakxbxaxymbymakmxakxbxaxymbyamakmxakxbxaxymbmaxbbakmxakxbxaxxbmabaybmbmybkmxakbayaxabayaxbmkmkxxxxyyyykkbkakambyybkabmaxxbka
10、mybyybkakmaxxkambmybybkabmakmxaxbkamkxyABekkyxByxAbayaxbyxPbabyaxBPAPBPAP22222202222022220222202222002020220022020220020002020220220202020220220220202020220220220202020220222022020202022220222022020202022222202220202222202202222202202020102012222222212222222122222122222122222222222222222222112220220
11、2002222-1,01),()()(0)( ,0)(0)()(0)(2)(0)()(2)(0)()(2)(0)()(2)(0)()(2)(022)()()()()(,)(2,20)(20)(2:)10()P(),(),(,)0(12、双曲线精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 圆锥曲线笔记D 定向但不过定点时时没有意义当过双曲线的中心时特别的当），（过定点）（当作方程的主元化简或的关系，应将与得到下式后为得出）（）（代入椭圆方程：，
12、且有点异于为双曲线上的两动点）为其上一定点（，设：双曲线方程为ABabeABabeabeybabaxbabaABybmbyamamakxbxaymkxymbyamakmxakxbxaxbmabaybmbmybkmxakbayaxamkmkxxxxyyyykkbkakambyybkabmaxxbkamybyybkakmaxxkambmybybkabmakmxaxbkamkxyABekkyxByxAbayaxbyxPbabyaxBPAPBPAP222222222022220222220222202222202020020202220222020220222222022202022222022022
13、0201020122222222122222221222221222221222222222222222222221122202202002222-1,0110)-,-(0)()(0)(-2-022)()()()()(,)(2,20)(-2-0)(2-:)10()P(),(),(,)00( 1-3、抛物线)01)(,20)2)(0)(2)(222220)(2022)2)()(0(2200000000022020002220022220202eypxpmxkyxmkymxpmxkpykyxmxxpkmypkypmkkmxmpkxpmpkyymkyxABpxyppxyBPAP定点（代入抛物线方程方
14、程为设其余同上抛物线设：方程为附加 :圆锥曲线的共轭性质1、直线定向精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 圆锥曲线笔记D 本节中证明了当斜率乘积为定值(不等于 0,不等于2-1 e) 对于定值等于2-1 e时,有心圆锥曲线会使上节中两动点的连线定向 (斜率为定值 )而不过定点。 (以椭圆为例 ) 下证明之 (条件同上节 ,只就是2-1 e) 直线定向方程代入曲线方程得将且方程为为设：椭圆方程0000000200220022202202
15、22202202220222202202222022022222222020222222222220202222222222220022222222002222222202102120210212020102012122222222122222122222221222222222222222222222221122222022022220)(00222202)(2)()(2)()(2)()(2)()(2)()()(1)()()(,2)(,20)(2)(0)(2)(),(),(,1)1( ,1xykymkxykxmyykmxkxmybaybakmxbakxbamybayabaxbbkmxbaky
16、axbbaabkayamybakambabkaxbkmxbabmbaabbkaxkmxabmabkaymybkambabxxxxxxyyyyyyexxxxyyyykkyybkakambyybkambxxbkabmaxxbkakmakambmybybkabmakmxaxbkaAByxByxAabekkbyaxmkxyABbyaxBPAPBPAP双曲线证明过程几乎一样不再赘述(也可以曲线方程为一般的有心圆锥曲线直接证明) 2.中垂定理于圆锥曲线的推广圆的任意一条弦中点于圆心的连线必与弦垂直,椭圆其实被压扁的圆 ,也该存在类似的性质,进而推广至其她圆锥曲线。精品资料 - - - 欢迎下载 - - -
17、 - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 圆锥曲线笔记D Dfijf 事实证明也确实如此同样有此性质）切线是切点即变为中点（当弦的极限位置变成）（两式作差则必有中点为的两点为圆锥曲线上异于顶点，），（中心坐标（离心率为设一般圆锥曲线的方程11)(2)(202)()(2)(022022),(),(-,1022222121212121212121222222112121221122eKKeBAACxxBDyyxxyyDyyByyCxxAxxEDyCxByAxEDyCxByAxTABy
18、xByxABDACOBAeEDyCxByAxABTO椭圆12222byax双曲线12222byax抛物线pxy22圆222ryx22-ab22ab0 -1 由此我们还可以得到另一性质P T B O A 如图 :T 为 PB 的中点 ,AB 过圆锥曲线的中心我们已经证明了1/, 122eKKPATOeKKPAPBPBOT那么(抛物线无中心)这与斜率乘积为定值中定值=2-1 e不谋而合！精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 圆锥曲线笔记D
19、 3.圆锥曲线共轭弦性质y P O x A B 过圆锥曲线上一定点P 引两条动弦PA,PB,若有0PBPAKK则AB 定向且0点切线的斜率过PKAB(下以椭圆 ,抛物线为例以不同的方法证之) a.椭圆0)(0)(222202)()(0)()(0)()()()(02)(,)(2,20)(2)(0)(2)(),(,),()0( 1:00202202200222200020222002102102121010202010202010122222212122222222122222221222221222221222222222222222222211002222yxbmxbkbmyakyxabkay
20、xmxbkmyakbayxyyxxxyxyyxxxyyxxyyyxyyxxyyKKbkabaxyyxbkakambyybkabmaxxbkambyybkakmaxxkambmybybkabmakmxaxbkamkxyAByxByxAyxPbabyaxPBPA代入椭圆方程直线方程为，）（椭圆上一定点，椭圆的方程为法一：设002xya222222002)(baxbyaymxb注意点切线斜率的相反数Pyaxbkymkxxbkya02020002020)(-(P T H 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - -
21、-第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 圆锥曲线笔记D A S O Q B 法二 :如图 T,H,S 分别为 AP,BP,AB 的中点002200212100000220200202022222200222222121002121002102102121002102102121020201010202010122-1)5(0)2)(1 (0)(-()4(2)3(0202)()(02)()(00)2)(1()2)(0) 1(0 xyKabKKKKxyKxxyyxyxyyaxbkykxxbkyakbabkayxbkakbaxyyxyxxyyxyxyyxxxyxyyxy
22、xyyxxxyxyyxxxyyxxyyxxyyxxyyabKKKKKKKKABSOABSOABABHOBPTOAPTOHOBPAP故而我们知道则若又由或）（又法三 :如图 P 点关于椭圆对称轴的对称点为Q(00,yx) 或(00,-yx)00 xyKQO但是02022200222121000)5(0yaxbKabKxyKKabKKKKKKxxyyxyABABABQOABSOQOSOSOPO又精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 圆锥
23、曲线笔记D 2.双曲线与抛物线)( )0(2,2)0(2,2)(000020200运算参考椭圆）抛物线过定点（）可以得到直线过定点（真还是用韦达定理去伪存与椭圆相同经过运算yxypyaxbyx圆锥曲线中直线过定点问题还有另一种Y 1T2To 定点x 3T如图所示 :圆锥曲线 (椭圆为图例 )外有一定直线t,T 为 t上一动精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 圆锥曲线笔记D 点过 t 作圆锥曲线的两条切线,连接切点形成圆锥曲线的弦称为 T 关于的圆锥曲线的切点弦,当 T 点在 t 上运动时切点弦也随之变化 ,但无论如何T 点的切点弦必然过一定点。这种问题乍一瞧会感到特别复杂,其实弄清楚了其中的原委后,更会让我们感受到圆锥曲线中蕴含几何性质的魅力！(在解析圆锥曲线(下)中讲解 ) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - - -