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1、三角函数一、任意角1. 角的概念的推广“旋转”形成角ABO“正角”与“负角”“0 角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角 210， 150， 660。2100-15006600特别地， 当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角。记法：角或可以简记成。2. “象限角”角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴， 这样一来， 角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）3. 终边相同的角所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合。ZkkS
2、,360|二、弧度制1.定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1 弧度的角 它的单位是rad ，读做弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制说明： （ 1）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0（2）角的弧度数的绝对值公式：lr（l 为弧长， r为半径）2. 角度制与弧度制的换算：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 25 页 - - - - - - - - - 360 2 rad 180 rad 1 radrad01745.018
3、0185730.571801rad3. 两个公式1）弧长公式：rl由公式：rlrl比公式180rnl简单弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积2）扇形面积公式lRS21其中l是扇形弧长，R是圆的半径4. 一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住：角度030456090120135150180弧度0 /6 /4 /3 /2 2/3 3/4 5/6 角度210225240270300315330360弧度7/6 5/4 4/3 3/2 5/3 7/4 11/6 25. 应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系正角零
4、角负角正实数零负实数任意角的集合实数集 R 三、任意角三角函数的定义1. 设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x，y）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 25 页 - - - - - - - - - 则 P与原点的距离02222yxyxrry)(x,（1）把比值ry叫做的正弦记作：rysin（2）把比值rx叫做的余弦记作：rxcos（3）把比值xy叫做的正切记作：xytan上述三个比值都不会随P点在的终边上的位置的改变而改变. 当角的终边在纵轴
5、上时，即Z)(2kk时，终边上任意一点P的横坐标x都为 0，所以 tan无意义；它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.三角函数。三角函数值的定义域：rysin R rxcos R xytanZkk,2|2. 三角函数的符号sin为正全正tan为正cos为正3. 终边相同的角的同一三角函数值相等例如 390和 330都与 30终边位置相同，由三角函数定义可知它们的三角函数值相同，即名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 25 页 - - - - - - - -
6、 - sin390 sin30 cos390 cos30sin （ 330） sin30 cos（330） cos30诱导公式一（其中Zk）: 用弧度制可写成sin)360sin(ksin)2sin(kcos)360cos(kcos)2cos(ktan)360tan(ktan)2tan(k这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为02间角的三角函数值问题。4. 三角函数的集合表示：sin1yyyMPrcos1xxxOMrtanyMPATATxOMOAP x y A 1 1 11T O M 例 1. 在 0 到 360 度范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角(1) 1
7、20(2)640(3)950 12例 2. 写出终边在y 轴上的角的集合（用0 到 360 度的角表示）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 25 页 - - - - - - - - - 例 3. 用集合的形式表示象限角第一象限的角表示为|k 360 0 且 A 1，0） 的图象（一）函数图象的三种变换1. 振幅变换y=Asinx ，x R（A0 且 A 1）的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标变为原来的A 倍而得到。 A 称为振幅（物体振动时离开平衡位置
8、的最大距离）。2. 周期变换 :函数 y=sinx，xR（0 且 1）的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标变到原来的1倍（纵坐标不变） 。决定了函数的周期。3. 相位变换 : 函数 ysin（x） ，xR（其中0）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左（当0 时）或向右（当0 时）平行移动个单位长度而得到。例 1. 比较413tan与517tan的大小例 2. 求函数33tanxy的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15
9、 页，共 25 页 - - - - - - - - - 巩固练习1. 判断正误yAsin x 的最大值是A，最小值是 A yAsin x 的周期是2y-3sin4x 的振幅是 3，最大值为3，最小值是 -3 2. 函数 ytan（ax6） （a0）的最小正周期为（）aaaaD.|C.|2B.2A.3. 已知函数yAsin（x） （A0，0，02图象的一个最高点是（2，3） ，由这个最高点到相邻最低点的图象与x 轴交于点（ 6，0） ，试求函数的解析式。4. 如图，某地一天从6 时到 14 时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin （x+）+B。（1）求这段时间的最大温差；（2）写出这段曲线的函
10、数解析式。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 25 页 - - - - - - - - - 八、两角和与差的余弦设向量)sin(cos1，OPa)sin(cos2，OPb所以)cos()cos(|baba又sinsincoscosba所以sinsincoscos)cos(以代得：sinsincoscos)cos(两角和与差的余弦公式: sinsincoscos)cos(sinsincoscos)cos(九、两角和与差的正弦sin(+ ) cos2(+ ) c
11、os(2) cos(2)cos+sin(2)sinsincos +cos sin即：sincoscossin)sin( S（+ ）以代得：sincoscossin)sin( S（）两角和与差的正弦公式sincoscossin)sin(sincoscossin)sin(名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 25 页 - - - - - - - - - 十、两角和与差的正切tan(+ ) 公式的推导cos (+ )0 tan(+ ) sinsincoscossin
12、coscossin)cos()sin(当 cos cos0 时,分子分母同时除以coscos 得：tantan1tantan)tan(以代得：tantan1tantan)tan(其中,RR都不等于Zkk,2两角和与差的正切公式tantan1tantan)tan(tantan1tantan)tan(小结：两角和与差的正、余弦、正切公式sinsincoscos)cos(sinsincoscos)cos(sincoscossin)sin(sincoscossin)sin(tantan1tantan)tan(tantan1tantan)tan(例 1. 计算 cos105cos15cos5cos103
13、sin5sin103名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 25 页 - - - - - - - - - 例 2.已知 sin(+ ) 32,sin() 52求tantan的值巩固练习1. 已知2,0 x，求函数)125cos()12cos(xxy的值域2. 求20cos20sin10cos2的值十一、二倍角公式的推导在公式)(S，)(C，)(T中，当时，得到相应的一组公式：cossin22sin；)(2S22sincos2cos；)(2C2tan1tan22t
14、an；)(2T名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 25 页 - - - - - - - - - 因为1cossin22，所以公式)(2C可以变形为1cos22cos2或2si n212c o s)(2C公式)(2S，)(2C，)(2C，)(2T统称为二倍角的三角函数公式，简称为二倍角公式 。二倍角公式cossin22sin2222sin211cos2sincos2cos2tan1tan22tan注意：（1）二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三
15、角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题。（2）二倍角公式为仅限于2是的二倍的形式，尤其是“倍角”的意义是相对的。（3）二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出，记忆时可联想相应角的公式。（4）熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角降次，降角升次）（5）特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：22cos1sin,22cos1cos22这两个形式今后常用。几个三角恒等式1、积化和差公式的推导sin( + ) + sin() 2sincossin cos12sin( + ) + sin() sin( + ) sin() 2cos sincos sin12sin( + )
16、sin() cos( + ) + cos() 2cos coscos cos12cos( + ) + cos() cos( + ) cos() 2sin sin sin sin12cos( + ) cos() 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 25 页 - - - - - - - - - 2、和差化积公式的推导若令 + ， ，则2，2代入得：)sin(sin21)22sin()22sin(212cos2sin2cos2sin2sinsin2s i n2c
17、o s2s i ns i n2c o s2c o s2c o sc o s2s i n2s i n2c o sc o s例 1. 已知),2(,135sin，求 sin2 ，cos2 ，tan2 的值。例 2. 求 sin10sin30sin50sin70的值。例 3. 若 270 360，则2cos21212121等于 （）A. sin2B. cos2C. sin2D. cos2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 25 页 - - - - - - - -
18、- 巩固练习1、不查表，求下列各式的值（1）)125cos125)(sin125cos125(sin（2）2sin2cos44（3）tan11tan11（4）2coscos2122、求值： cos280 sin250 sin190cos3203、化简： cos20 cos40 cos804、化简下列各式： （可直接写答案）（1）4cos4sin4（2）40tan140tan2（3）2sin2157.5 1 （4）125sin12sin名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2
19、2 页，共 25 页 - - - - - - - - - 课后作业一、选择题1、0105sin的值为（）A、32 B 、32 C 、426 D、4262、若0cos,0tanxx，则 2x在（）A、第一、二象限 B、第三、四象限 C、第二、三象限 D、第二、四象限3、在ABC中，已知030,23,6Aba则 B为（）A450 B、600 C、600或 1200 D 450或 13504、已知,为锐角，1010sin55sin则为（）A、450 B 、1350 C 、2250 D 、450或 13505、已知0306,8Cba且则ABCS为（）A、48B、24C、316D、3246、在ABC中，
20、0coscosAbBa则这个三角形为（）A、直角三角形 B、锐角三角形 C等腰三角形 D等边三角形、7、下列与)45sin(0 x相等的是（）A、)45sin(0 x B 、)135sin(0 x C 、)135cos(0 x D 、)135sin(0 x8、在ABC中，若222cba则ABC一定为（）A直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D 、无法确定10、若)sin(2sincosxxx，则tan为（）A、 1 B、C、22 D 、22二、填空题11、0075sin15sin= 12、在ABC中，已知54cosA，则A2sin名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - -
21、 - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 23 页，共 25 页 - - - - - - - - - 13、在ABC中，已知则7c,3,2 baABC的面积为14 在，则三角形的最大角为中，已知7, 5, 3cbaABC度15、在ABC中，已知0222abcba，那么 C= 。16、已知31)4sin(x，24x，则)4sin(x17、已知sincosyx则yx的最大值为18、在ABC中，已知2cossinBB，则那么内角B = 19、已知直线22:xyl，则直线l绕着它与x轴的交点旋转450后的直线的斜率为20、计算)32cos(
22、2sin3cos= 三、解下列各题21 计算12sin12cos22、已知，2354sin，求：)4tan(的值23、在ABC中，已知A=4，AC=1，ABC的面积为21，求BC边的长24、若135)cos(,54sin（,为第一象限角）求cos的值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 24 页，共 25 页 - - - - - - - - - 25 若角的终边经过点P（-3 ，4） ，求)3sin(和2sin+2cos的值26、在ABC中，已知：25sinsinCA，060B，ABC的面积为310，求AC的长27 在ABC中，角 A 、C、B成等差数列，5b，4a，求：（6 分）(1)c的长；(2)ABC的面积 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 25 页，共 25 页 - - - - - - - - -