2022年高等数学考研知识点总结 .pdf

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1、1 第四讲定积分与反常积分一、 考试要求1 理解(了解)定积分的概念。2 掌握定积分的性质及换元积分法与分部积分法,掌握(了解)定积分中值定理。3 会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分。4 理解积分上限的函数,会求它的导数,掌握牛顿一莱布尼茨公式。5 了解反常积分的概念,会计算反常积分。二、内容提要 1 定义 2 若 f(x) 在a,b 上连续,则存在,特别 3 4 性质: (1) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 18 页 - - - - -

2、- - - - 2 (2) (3) (4) 不等式性质 (5) 估值定理, 则 (6) 积分中值定理:若f(x) 在a,b 上连续,则,注:可在开区间( a,b )内取到 . 一般地, f(x) 在a,b 上连续 , g(x)在a,b 上可积且不变号,则 5 定积分的计算 (1) 牛顿莱布尼兹公式 (2) 换元积分法 (3) 分部积分法 6 反常积分(1)无界区域上的反常积分:设)(xF是)(xf在),(a上的一个原名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 18 页

3、 - - - - - - - - - 3 函数,且)()(),0(limAFFaFA均存在,则称adxxf)(收敛,且定义adxxf)(=)0()(aFF;如果)()(),0(limAFFaFA中有一个不存在,则称adxxf)(发散。同样可定义的收敛,发散,及其值。如果存在c使得cdxxf)(和cdxxf)(都收敛,则称dxxf)(收敛,且定义dxxf)(=cdxxf)(+cdxxf)(。(2)无界函数的反常积分: 设)(xf在,(ba上连续但无界, 而)(xF是)(xf在,(ba上的一个原函数,且)0(aF存在,则称badxxf)(收敛,且定义badxxf)(=)0()(aFbF;如果)0(

4、aF不存在,则称adxxf)(发散。如果)(xf在),ba上连续但无界,同样可定义的收敛,发散,及其值。设存在c使得)(xf在),ca和,(bc上均连续但无界,如果bcdxxf)(和cadxxf)(都收敛,则称badxxf)(收敛,且定义badxxf)(=cadxxf)(+bcdxxf)(。(3)几个重要的反常积分(i )若, 1a则apxdx1;1,11pppap发散收敛;(ii )若, 1a则apxxdxln1;1,1ln1pppap发散收敛;(iii)若,bac则名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理

5、 - - - - - - - 第 3 页,共 18 页 - - - - - - - - - 4 bakdxcx)(1, 0k1时收敛;当 k 1 发散。(iv )dxex2;202dxex三 、重要公式与结论1、若)(xf在,ba上可积(特别它在其上只有有限个第一类间断点),则xadttfx)()(在,ba上连续;若)(xf在,ba上连续,则xadttfx)()(在,ba可微,它是)(xf在,ba上的一个原函数。(变限积分求导)若)(xf连续,而)(),(xbxa可微,则)()()(xbxadttf可微,且)()()()()()()(xaxafxbxbfdttfxbxa2、=)()()()(,

6、)(2,00 xfxfxfxfdxxfa3、 设 f(x+T)=f(x),则特别,aadxxdxx0sinsin,.coscos0aadxxdxx四、 典型题型与例题题型一、定积分的概念及性质 解题提示 1 )利用定积分定义求数列极限;2)积分badxxf)(为常数. 例 1、设,)cos(sin,cos1sin11434112dxxxNxdxxxMdxxxxP)cossin(43112,则(A) MNP (B) NMP (C) PMN (D) PN0时连续,f(1)=3 且xyyxdttfydttfxdttf111)()()(,)0,0(yx,试求 f(x). 名师资料总结 - - -精品资

7、料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页,共 18 页 - - - - - - - - - 8 题型三、定积分的计算方法:1、定积分的计算与不定积分的计算类似,要熟练掌握如下几种基本方法分项积分法,凑微分法,换元积分法,分部积分法。2、与不定积分不同的是作变量替换时相应地要换积分限,不必变量还原了。同时,要注意定积分计算的一些特点,如(1)奇(偶)函数在对称区间上的积分。(2)周期函数的积分,定积分的几何意义等。3、如果被积函数的原函数可求出,一般可用牛顿莱布尼兹公式求定积分。1、利用常用的方法计算

8、定积分(1) 基本方法:牛莱公式,换元积分法,分部积分法例 12、求342cos2sin2dxxxxI例 13、 求2ln021dxeIx ,或,texsin 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页,共 18 页 - - - - - - - - - 9 例 14、求3222)1(23dxxxxI例 15、求dxxx102)2()1ln(2、利用被积函数的奇偶性及积分区间的对称性方法:利用公式例 16、求xxIx(x)( ee)dx12007113、利用被积函数的周期性

9、例 17、求4021sinsindxxxI例 18、设 n 为自然数,求 I=xxdxnsin0名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页,共 18 页 - - - - - - - - - 10 4、利用定积分的几何意义计算积分例 19、求222|4dxxxI5、 循环计算法例 20、求 (注:上限不一样)解:令 x=2-t,dx=-dt,x:02时,t :20, 则I=022002ln sinln cos ()ln cos.x xttx xddd于是0220022200

10、2022200sin 22(ln sinln cos )ln(sincos )ln2ln 21ln(sin 2 )ln 2ln sin222ln 21ln sinln sin22ln 21ln sinln sin22x uxIxxxxxxxxxu uu uu uu uy yu令ddddddddd ( 令20ln 2ln 2ln sin.22yu uI)d名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页,共 18 页 - - - - - - - - - 11 故 I=ln 22

11、. 例 21、求解对右边第二个积分:作代换,令名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页,共 18 页 - - - - - - - - - 12 6、作变换tbaxbabadttbafdxxfI)()(则dxxbafxfIba)()(21用此方法可以方便的求一些定积分例 22、求4421cosdxexIx分析相当于4,4ba,令ttbax解:令tx,则4421cosdtetIt从而4182sin41822cos1coscos)1)(1(11()1cos1cos(21|4

12、0404024024422xdxxxdxxdxeeeedxexexIxxxxxx例 23、求203cossinsindxxxxI分析相当于0,2ba,令ttbax2解:令tx2,则203023cossincoscossincosdttttdttttI从而412cos814)2sin211(21)coscossin(sin21cossincossin21|202020222033xdxxdxxxxxdxxxxxI评注:利用变换tx2,20)sin,(cosdtttfI,则2020)sin,(cos)cos,(sin21)cos,(sindxxxfxxfdxxxfI名师资料总结 - - -精品资料

13、欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页,共 18 页 - - - - - - - - - 13 例 24、求02cos1sindxxxxI分析相当于0,ba,令ttbax解:令tx,则IdtttdttttdtttdttttI02020202cos1sincos1sincos1sincos1sin)(4cosarctan2cos1sin22002|xdtxxI评注:一般地IdttfdttfttxdxxxfI000)(sin)(sin)()(sin0)(sin2dttfI7、利用分部积分法例 25、设

14、xdtttxf0sin)(,求0)(dxxf例 26、(101)20cosxxdx. . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页,共 18 页 - - - - - - - - - 14 8、 几类特殊问题 1) 分段函数求积分例 27、(043,4 分) 设11,22( )11,2xxexf xx, 则212(1)f xdx 2) 含有绝对值的积分例 28、求10|)(dtxttxf分析注意到关于 t 的被积函数中含有参数x,积分应对x的取值分情况讨论。但10t,x

15、的取值分三种情形,0 x、1x、10 x解:( 1)当0 x时,231)()(10 xdtxttxf,(2)当1x时,312)()(10 xdttxtxf,(3)当10 x时,令0|xt,得分界点xt,3123)()()(310 xxdtxttdttxtxfxx注:在被积函数中若有参数,一定要讨论参数的取值,再积分。 3) 含有抽象函数的积分例 29、已知 f()=2, 4)反常积分的计算反常积分是变限积分的极限,因此由定积分的运算法则及极限名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - -

16、 第 14 页,共 18 页 - - - - - - - - - 15 运算法则就可得到反常积分的运算法则。下对无穷积分作一说明,无界函数的积分类似。1、设)(xf在),a连续,)(xF在),a连续,),()()( axxfxF。若)()(limFxFx存在,则)()()()(|aFFxFdxxfaa2、设dxxfa)(,dxxga)(收敛,则dxxgkdxxfkdxxgkxfkaaa)()( )()(2121,其中21,kk为常数;3、设)(xf,)(xg在),a有连续的导数,若)()(limxgxfx存在,dxxgxfa)()( 收敛,则dxxgxfxgxfdxxgxfaaa)()( )(

17、)()( )(|,这里)()()()(lim)()(|agafxgxfxgxfxa例 30、(002)22)7(xxdx例 31、(011)exxdx2ln例 32、求 ( 混合型反常积分 ) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页,共 18 页 - - - - - - - - - 16 例 33、利用幂级数计算积分解于是题型四、定积分有关命题的证明 (1) 定积分等式的证明方法: 1) 换元积分法; 2) 分部积分法; 3) 参数变易法定积分等式的证明常用如下几种

18、方法1. 换元积分法(由积分限及被积分函数确定变量代换的形式)2. 分部积分法3. 转化为函数恒等式,如可把()abf x dx中的 b 或 a 换为 x,另外还应掌握一些积分技巧。例 34证明222211()()aaadxadxfxf xxxxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页,共 18 页 - - - - - - - - - 17 例 35、设)(xf在,ba有二阶连续导数,又0)( )(afaf,求证:21( )()()2bbaaf x dxfxxb d

19、x (2) 定积分不等式的证明基本方法:积分估值定理;单调性( 参数变易法 );微分、积分中值定理;泰勒公式;题设条件: f(x) 在a,b 上 1) 连续;2) 一阶可导; 3)二阶以上可导定积分不等式的证明常用如下几种方法1、定积分的性质(估值等)2、分部积分法3、引进辅助函数(如dttfba)(变为dttfxa)(等)转化为函数不等式。4、积分中值定理或微分中值定理、泰勒公式*例 36、设 f(x) 在0,1 上连续,且对x y, ,有f xfyM xy M( )( ),0证明:f x dxnfknMnkn( )()12101证f x dxnfknf x dxfkndxknknknknk

20、nknkn( )()( )()11011111f xfkndxM xkndxknknknknknkn( )()111Mknx dxMnknknkn()211*例 37、设 f(x) 在0 ,)上连续且单调增加,试证对0b,恒有babadxxfadxxfbdxxxf00)()(21)(证令xdttfxxF0)()(名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页,共 18 页 - - - - - - - - - 18 babaxdxxxfdttfdxxFaFbF0)()()()()(babadxxxfdxxxfxxf.)(2)()(结论. 或:令xaxadttfadttfxdtttfxF00)()(21)()(xaxxxfxxfdttfxxfxF0,0)()(21)()(21)(又 F(a)=00)(, 0)(bFaxxF结论. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页,共 18 页 - - - - - - - - -

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