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1、1 北京市西城区 2016 2017 学年度第一学期期末试卷高二数学（理科）2017.1 试卷满分： 150 分考试时间： 120 分钟题号一二三本卷总分15 16 17 18 19 20 分数一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 双曲线2213xy的一个焦点坐标为（）（A）(2,0)（B）(0,2)（C）(2,0)（D）(0, 2)2. 已知椭圆的短轴长是焦距的2倍，则椭圆的离心率为（）（A）12（B）22（C）15（D）553. 设,是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）（A）若/，/l，则l（B）
2、若/，l，则l（C）若，l，则l（D）若，/l，则l4. 设mR, 命题“若0m，则方程2xm有实根”的逆否命题是（）（ A）若方程2xm有实根，则0m（ B）若方程2xm有实根，则0m（ C）若方程2xm没有实根，则0m（ D）若方程2xm没有实根，则0m5. 已知,表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线， 则“” 是“m”的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 -
3、- - - - - - - - 2 6. 已知双曲线的焦点在x轴上，焦距为2 5，且双曲线的一条渐近线与直线210 xy平行，则双曲线的标准方程为（）（A）2214xy（B）2214yx（C）22331205xy（D）22331520 xy7. 已知(3,0)A，(0,4)B，动点( , )P x y在线段AB上运动，则xy的最大值为（）（A）5（B）4（C）3（D）28. 用一个平面截正方体和正四面体，给出下列结论： 正方体的截面不可能是直角三角形； 正四面体的截面不可能是直角三角形； 正方体的截面可能是直角梯形； 若正四面体的截面是梯形，则一定是等腰梯形. 其中，所有正确结论的序号是（）（
4、A）（B）（C）（D）二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分. 把答案填在题中横线上. 9. 命题“xR，使得2250 xx”的否定是 _. 10. 已知点)1, 0(M,)3,2(N. 如果直线MN垂直于直线032yax，那么a等于 _. 11. 在正方体1111ABCDABC D中，异面直线1,AD BD所成角的余弦值为 _. 12. 一个正三棱柱的正视图、俯视图如图所示，则该三棱柱的侧视图的面积为_. 13. 设O为坐标原点，抛物线24yx的焦点为F，P为抛物线上一点 . 若3PF，则OPF的面积为 _. 14. 学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以看
5、做抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的顶点确定为原点，对称轴确定为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，但是他无法确定碗底中心到原点的距离，请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的计算，帮助正 （主）视图俯视图242名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 3 他求出抛物线的方程. 你需要测量的数据是_ （所有测量数据用小写英文字母表示） ，算出的抛物线标准方程为_三、解答题：本大题
6、共6 小题，共80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15 （本小题满分13 分）如图， 四棱锥PABCD的底面是正方形，侧棱PA底面ABCD，E是PA的中点 . ( ) 求证：/PC平面BDE；( ) 证明：BDCE. 16 （本小题满分13 分）如图 , PA平面ABC,ABBC,22ABPABC, M 为 PB 的中点 . ( ) 求证 : AM平面PBC；( ) 求二面角APCB的余弦值 . 17 （本小题满分13 分）已知直线l过坐标原点O，圆C的方程为22640 xyy. ( ) 当直线l的斜率为2时，求l与圆C相交所得的弦长；( ) 设直线l与圆C交于两点,A B，
7、且A为OB的中点，求直线l的方程 . A B C D PE A B C P M 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 4 y1A1B2B2AOx18 （本小题满分13 分）已知1F为椭圆22143xy的左焦点，过1F的直线l与椭圆交于两点,P Q. （）若直线l的倾斜角为45，求PQ；（） 设直线l的斜率为k(0)k，点 P 关于原点的对称点为P ，点Q关于x轴的对称点为Q，P Q所在直线的斜率为k. 若2k，求k的值
8、 . 19 （本小题满分14 分）如图，四棱锥EABCD中，平面EAD平面ABCD,/DCAB ，BCCD，EAED，且4AB,2BCCDEAED. （）求证 :BD平面ADE；（）求BE 和平面 CDE 所成角的正弦值；（）在线段CE上是否存在一点F，使得平面 BDF平面 CDE ，请说明理由 . 20 （本小题满分14 分）如图， 过原点O引两条直线12,l l与抛物线21:2Wypx和22:4Wypx（其中 p 为常数，0p）分别交于四个点1122,A B A B. （）求抛物线12,W W准线间的距离；（）证明：1122/A BA B；（）若12ll，求梯形1221A A B B面积的
9、最小值 . E A B C D 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 5 北京市西城区2016 2017 学年度第一学期期末试卷高二数学（理科）参考答案及评分标准2017.1 一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分. 1.C； 2.D ； 3. B ； 4. D； 5. B； 6. A； 7. C ； 8. D. 二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分. 9. 对任意xR, 都有05
10、22xx； 10. 1； 11. 33； 12. 8 3； 13. 2；14. 碗底的直径m，碗口的直径n，碗的高度h；2224nmyxh. 注：一题两空的题目，第一空2 分，第二空3 分. 三、解答题：本大题共6 小题，共80 分. 15. （本小题满分13 分）解: ( ) 连结AC交BD于O，连结OE，因为四边形ABCD是正方形，所以O为AC中点 . 又因为E是PA的中点，所以/PCOE，,3 分因为PC平面BDE，OE平面BDE，所以/PC平面BDE. ,6 分( ) 因为四边形ABCD是正方形，所以BDAC. ,8 分因为PA底面ABCD，且BD平面ABCD，所以PABD. ,10
11、分又因为ACPAAI，所以BD平面PAC，,12 分又CE平面PAC，所以BDCE. ,13 分16. （本小题满分13 分）解: ( ) 因为 PA平面ABC，BC平面ABC，所以PABC. 因为BCAB，PAABA，A B C D PE O 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 6 所以BC平面 PAB . ,2分所以AMBC. ,3 分因为 PAAB ， M 为 PB 的中点，所以 AMPB . ,4 分所以 A
12、M平面PBC. ,5 分( ) 如图，在平面ABC内，作/AzBC，则,AP AB AZ两两互相垂直，建立空间直角坐标系Axyz. 则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,1),(1,1,0)APBCM. (2,0,0)AP，(0,2,1)AC，(1,1,0)AM . ,8 分设平面APC的法向量为( , , )x y zn，则0,0,APACnn即0,20.xyz令1y， 则2z. 所以(0,1, 2)n. ,10 分由( ) 可知(1,1,0)AM为平面BPC的法向量，设,AMn的夹角为，则110cos1052AMAMnn. ,12 分因为二面角APCB为锐角，所以二面
13、角APCB的余弦值为1010. ,13 分17. （本小题满分13 分）解：( ) 由已知，直线l的方程为2yx，圆C圆心为(0,3)，半径为5，,3 分所以，圆心到直线l的距离为333. ,5 分所以，所求弦长为2 2. ,6 分( ) 设11(,)A x y，因为A为OB的中点，则11(2,2)Bxy. ,8 分又,A B圆C上，所以22111640 xyy，22111441240 xyy， 即22111310 xyy. ,10 分解得11y，11x，,11 分即(1,1)A或( 1,1)A. ,12 分A B C P M x y z 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - -
14、- - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 7 所以，直线l的方程为yx或yx. ,13 分18. （本小题满分13 分）解： （）设1122(,),(,)P x yQ xy，由已知，椭圆的左焦点为( 1,0)，又直线l的倾斜角为45，所以直线l的方程为1yx，,1 分由221,3412yxxy得27880 xx，,3分所以1287xx，1287x x. ,4 分22212128824|1()42()4777PQkxxx x. ,5分（）由22(1),3412yk xxy得22
15、22(34)84120kxk xk，,6 分所以2122834kxxk，212241234kx xk. ,8 分依题意1122(,),(,)PxyQ xy，且11(1)yk x，22(1)yk x，所以，12121212()yyk xxkxxxx，,10 分其中22121212212 1()434kxxxxx xk，,11 分结合2122834kxxk， 可得23 12kkk2. ,12 分解得279k，377k. ,13分19. （本小题满分14 分）解： （）由BCCD,2BCCD. 可得2 2BD. 由EAED, 且2EAED，可得2 2AD. 又4AB. 所以BDAD. ,2 分又平面
16、EAD平面ABCD，E A B C D z x y 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 8 平面ADE平面ABCDAD，所以BD平面ADE. ,4 分（）如图建立空间直角坐标系Dxyz，则(0,0,0)D，(0,22,0)B，(2,2,0)C，( 2,0,2)E，( 2, 2 2,2)BE，(2,0,2)DE,(2,2,0)DC. ,6 分设( , , )x y zn是平面CDE的一个法向量，则0DEn,0DCn，即
17、0,0.xzxy令1x， 则(1,1, 1)n. ,7 分设直线 BE 与平面CDE所成的角为，则|22 22 |2sin|cos,|3| |2 33BEBEBEnnn. ,8 分所以 BE 和平面 CDE 所成的角的正弦值23. ,9分（）设CFCE,0,1. 又(2,2,0)DC,(2 2,2,2)CE,(0, 2 2,0)BD. 则2(21,1, )DFDCCFDCCE. ,10 分设(,)x y zm是平面 BDF一个法向量 , 则0BDm，0DFm，即0,(21)(1)0.yxyz,11 分令1x, 则21(1,0,)m. ,12 分若平面 BDF平面 CDE ，则0m n，即211
18、0，10,13. ,13 分所以，在线段CE上存在一点F使得平面 BDF平面 CDE . ,14 分20. （本小题满分14 分）解： （）由已知，抛物线12,W W的准线分别为2px和xp，,2 分所以，抛物线12,W W准线间的距离为2p. ,4 分（）设11:lyk x，代入抛物线方程，得12,A A的横坐标分别是212 pk和214pk. ,5 分12|OAOA22421122421144121616ppkkppkk，同理12|1|2OBOB，,7 分所以1122OA BOA B，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - -
19、- - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 9 所以1122/A BA B. ,8分（）设111(,)A x y，122(,)B xy，直线11AB方程为111:A Blxtym，代入曲线22ypx，得21220yptypm，所以122yypt，1212y ypm. ,9分由12ll，得12120 xxy y，又2112ypx，2222ypx，所以221212204y yy yp，由1212y ypm，得12mp. ,11分所以直线11AB方程为11:2ABlxtyp，同理可求出直线22A B方程为22:4A Blxtyp. 所以2221112|1214A Btyyptt，,12 分2222| 414A Bptt，平行线11A Bl与22A Bl之间的距离为221pdt，所以梯形1221A A B B的面积2211221()642SA BA Bdpt，,13 分212p当0t时，梯形1221AA B B的面积达最小， 最小值为212p. ,14 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -