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1、1 必修 5 数列知识点小结【等差数列】1.证明方法： 递推关系（定义） ：)(1Nnddaann为常数，等差中项法：112nnnaaa)1( n判断方法： 通项公式qpndnaan)1(1（其中 p,q 为常数）前n项和BnAn2dnnnaaanSnn2)1(2)(11(A,B 为常数）2.等差中项 ：bAa,成等差数列， A称为ba与的等差中项 （其中ba与为任意实数， A 存在且唯一） ，2baAbaA的等差中项与为即3.等差数列性质：（1）任两项关系：nmaamnaadnmmn（其中nm）（2）任两项关系：dmnaamn)(（其中nm）（3）是递增数列；数列a,0dn是递减数列；数列a
2、,0dn是常数列数列a,0dn。（4）两和 式项数相同，下标和相等，则两式相等，如：112nnnaaa（其中 n1, nnnaaa2）knknnaaa2（其中 n-k0, nnnaaa2）特别若qpnmaaaaqpnm则,kqpsnmaaaaaakqpsnm则,（5）nnba,为项数相同的等差数列(或无穷数列 ) ，则：kma、kma2、kma3、kma4成等差数列（其中km,为常数）：kan、nnbqap为等差数列，( 其中qpk,为常数 ) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - -
3、 - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 2 （6）前n项和性质：成等差数列,232kkkkkSSSSS：nSn是等差数列。：nnba,为项数相同的等差数列( 或无穷数列 ) ， 其前 n 项和分别是：nS、nT，则1212nnnnTSba，1212)12()12(mnmnTnSmba（处理方法分别设nS、BnAnTn2） 。（7）设数列na是等差数列，且公差为d：若项数为偶数，设共有2n项，则S偶S奇nd； 1nnSaSa奇偶：若项数为奇数，设共有21n项，则S奇S偶naa中；1SnSn奇偶4最值问题：无穷等差数列中 (1)10a，0d时，nS有最大值；10a，0d时
4、，nS有最小值；nS最值的求法：若已知nS，可用二次函数最值的求法（nN） ；若已知na，则nS最值时 n 的值（ nN）可如下确定100nnaa或100nnaa(2) 10a,0d时，nS有最小值，且为1S ；10a，0d时，nS有最大值，且为1S ；注 ： 对 于 一 般 数 列 求 最 大 项 、 最 小 项 问 题 可 以 利 用 函 数 的 单 调 性 （ 如 ： 数 列5.41annan通项是求 其 最 大 或 最 小 项 ） 或 采 用)00(01、或nnaa，)11(11、或nnaa（期中0na）的方法判断数列项的变化规律来完成（如：数列nnna)1110()1(an通项是求其
5、最大或最小项） 。【等比数列】1. 证明方法： 递推关系（定义） ：)(/1Nnqqaann为常数，等比中项法：112nnnaaa)0,1(nan判断方法： 通项公式nnnnqAqqaqaa111（其中 A,q 为等于 0 的常数）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 3 前n项和nnnnqqaqaqqaqqaaS111)1(11111nqA-A (A 为常数 , 且1,0,0qqA）注： （1）等比数列中0na，0q
6、，且相间项符号相同；（ 2）既是等差数列又是等比数列的数列一定是非零常数列；前n 项和1naSn。2. 等比中项 ：bGa,成等比数列，G 称为ba与的等比中项， （其中有且只有0ab时，ba、存在等比中项，一般不唯一，存在互为相反数的两个数），abbaG2G的等比中项与为即。3. 等比数列性质：（1）任两项关系：mnmnaaq（其中nm）（2）任两项关系：mnmnqaa（其中nm）（3）是常数列；数列时a,1qn如数列 2,2,2,2,2是摆动数列；数列时a,0nq如数列 1，-2,4 ，-8,16 是递减数列时，数列a10,0an1q；如数列 1 ，21，41，81是递增数列时，数列a1,
7、0an1q；如数列 1 ，2，4，8是递增数列时，数列a10,0an1q；如数列 -1 ，21-，41-，81-是递减数列时，数列a1,0an1q；如数列 -1 ，2-，4-，8-（4）两积 式项数相同，下标和相等，则两式相等，如：112nnnaaa（其中 n1, nnnaaa2）knknnaaa2（其中 n-k0, nnnaaa2）特别若lpnmaaaalpnm则,名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 4 klpsn
8、maaaaaaklpsnm则,（5）nnba,为项数相同的等比数列(或无穷数列 ) ，则：kma、kma2、kma3、kma4成等比数列（其中km,为常数）：lgna（其中0na）为等差数列：nak、nnba、na1、nnba、|na、na（其中0na）为等比数列 ( 其中k为常数 ) （6）前n项和性质：,232kkkkkSSSSS成等比数列（其中k 为常数且0kS）（7）kaaaA21，kkkaaaB221，,32212kkkaaaC则 A、B、C成等比数列。【典型方法】（1） 累加法（迭加法）： 若已知数列an， 满足(n)=a-an1+nf， 且)()2)1(nfff可求，则可用该方法
9、求数列的通项如（如：数列1),1()21(a11nanaannn且满足求该数列通项）。(2) 累积法（迭乘法）：若已知数列an，满足(n)=aan1+nf，且)()2)1(nfff可求，则可用该方法求数列的通项（如：数列2)1(2a11nanaannn，满足，求该数列通项） 。(3) 迭代法（如：数列1)1(12a11nanaann且满足, 求100a） 。(4) 倒序相加法： （如：数列)891(sina2nnnan通项公式, 求该数列前89 项和89S）(5) 错位相减法：适合由项数相同的等差和等比数列对应项相乘得到的新数列求和问题（如：数列2annnna通项公式,求该数列前n 项和nS
10、）(6) 分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列（如：数列132annann通项,求该数列前n 项和nS）(7) 拆 ( 或裂) 项相消法：把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和一般规律有：na为等差数列，其公差为d, 求数列11nana的前n 项和提示名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 5 )11(1111nnnnaadaa （如：数列)1(1annnan通项, 求该数列
11、前n 项和nS）. （8） 并项求和：把一个数列相邻几项依次组合构成特殊的数列，达到求和的目的，但一般要注意讨论 （如：数列n )1(annna通项公式，求该数列前n 项的和）（） 常见数列的前n 项和： 1+2+3+n=2)1(nn;12+22+32+n2=6)12)(1(nnn;13+23+33+n3=22)1(nn1. 等差、等比数列：等差数列等比数列定义常数）为(1daaPAannn常数）为(1qaaPGannn通 项 公式na=1a + （n-1）d=ka+ （n-k） d=dn+1a -d knknnqaqaa11等差数列等比数列定义daann1)0(1qqaann递 推 公式da
12、ann1；mdaanmnqaann1；mnmnqaa通 项 公式dnaan)1(111nnqaa（0,1qa）中项2knknaaA（0,*knNkn）)0(knknknknaaaaG（0,*knNkn）前n项和)(21nnaanSdnnnaSn2)1(1)2(111)1(111qqqaaqqaqnaSnnn重 要 性质),(*qpnmNqpnmaaaaqpnm),(*qpnmNqpnmaaaaqpnm名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - -
13、- - - - - 6 求 和 公式ndanddnnnaaansnn)2(22)1(2)(1211)1(11)1() 1(111qqqaaqqaqnasnnn中 项 公式A=2ba推广： 2na=mnmnaaabG2。推广：mnmnnaaa2性质1 若 m+n=p+q 则qpnmaaaa若 m+n=p+q，则qpnmaaaa。2 若nk成 A.P （其中Nkn）则nka也为 A.P。若nk成等比数列（其中Nkn） ，则nka成等比数列。3 nnnnnsssss232,成等差数列。nnnnnsssss232,成等比数列。4 )(11nmnmaanaadnmn11aaqnn，mnmnaaq)(nm
14、5 看数列是不是等差数列有以下三种方法：),2(1为常数dndaann211nnnaaa(2n) bknan(kn,为常数 ). 看数列是不是等比数列有以下四种方法：)0,2(1且为常数qnqaann112nnnaaa(2n，011nnnaaa)注： i. acb，是 a、b、c 成等比的双非条件，即acba、b、c 等比数列 . ii. acb（ac0）为 a、b、c 等比数列的充分不必要. iii. acb为 a、b、c 等比数列的必要不充分. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - -
15、 - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 7 iv. acb且0ac为 a、b、c 等比数列的充要. 注意：任意两数a、c 不一定有等比中项，除非有ac0，则等比中项一定有两个. nncqa(qc,为非零常数 ). 正数列 na成等比的充要条件是数列nxalog（1x）成等比数列. 数列 na的前n项和nS与通项na的关系：)2()1(111nssnasannn注： danddnaan111（d可为零也可不为零为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）若d不为 0，则是等差数列充分条件）. 等差 na前 n 项和ndandBnAnSn221222d可以为零也可不为零
16、为等差的充要条件若d为零，则是等差数列的充分条件；若d不为零，则是等差数列的充分条件. 非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）2. 等差数列依次每k 项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k2倍.,232kkkkkSSSSS；若等差数列的项数为2Nnn，则，奇偶ndSS1nnaaSS偶奇；若等差数列的项数为Nnn12，则nnanS1212，且naSS偶奇，1nnSS偶奇得到所求项数到代入12nn. 3. 常用公式：1+2+3 +n =21nn61213212222nnnn2213213333nnn注：熟悉常用通项：9，99，999，110nna； 5，55，5
17、55，11095nna. 4. 等比数列的前n项和公式的常见应用题：生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为a，年增长率为r，则每年的产量成等比数列，公比为r1. 其中第n年产量为1)1(nra，且过n年后总产量为：.)1(1)1()1(.)1()1(12rraarararaann银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存a元，利息为r，每月利息按复利计算，则每月的a元过n个月后便成为nra)1(元. 因此，第二年年初可存款：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - -
18、 - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 8 )1(.)1()1()1(101112rararara=)1(1)1(1)1(12rrra. 分期付款应用题：a为分期付款方式贷款为a 元； m 为 m 个月将款全部付清；r为年利率 . 1111111.11121mmmmmmmrrarxrrxraxrxrxrxra5. 数列常见的几种形式：nnnqapaa12（p、q 为二阶常数）用特证根方法求解. 具体步骤： 写出特征方程qPxx2（2x对应2na，x 对应1na） ，并设二根21, xx若21xx可设nnnxcxca2211.，若21xx可设nnxncca121)(
19、；由初始值21,aa确定21,cc. rPaann1（ P、r 为常 数）用转化等差，等比数列；逐项选代；消去常数 n 转 化为nnnqaPaa12的形式，再用特征根方法求na；121nnPcca（公式法），21,cc由21,aa确定 . 转化等差，等比：1)(11PrxxPxPaaxaPxannnn. 选代法：rrPaPrPaannn)(21xPxaPrPPraannn1111)(1)1(rrPaPnnPr211. 用特征方程求解：相减，rPaarPaannnn111na1111nnnnnnPaaPaPaPaa）（. 由选代法推导结果：PrPPracPcaPracPrcnnn11111111
20、2121）（，. 6. 几种常见的数列的思想方法：等差数列的前n项和为nS，在0d时，有最大值 . 如何确定使nS取最大值时的n值，有两种方法：一是求使0,01nnaa，成立的n值；二是由ndandSn)2(212利用二次函数的性质求n的值 . 如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n项和可依照等比数列前n项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：,.21)12,.(413,211nn两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差21dd ，的最小公倍数 . 2. 判断和证明数列 是等差 （等比 ）数列
21、常有三 种方法 ： (1)定义 法:对于n 2 的任 意自然 数 ,验证名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 9 )(11nnnnaaaa为同一常数。 (2)通项公式法。 (3)中项公式法 :验证212nnnaaaNnaaannn)(221都成立。3. 在等差数列na中,有关 Sn的最值问题： (1)当1a 0,d0 时，满足001mmaa的项数 m 使得ms取最大值. (2)当1a 0 时，满足001mmaa的项数
22、m 使得ms取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。（三）、数列求和的常用方法1. 公式法 :适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。2.裂项相消法 :适用于1nnaac其中 na是各项不为0 的等差数列，c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。3.错位相减法 :适用于nnba其中 na是等差数列，nb是各项不为0 的等比数列。4.倒序相加法 : 类似于等差数列前n 项和公式的推导方法. 5.常用结论1）: 1+2+3+.+n = 2)1( nn2） 1+3+5+.+(2n-1) =2n3）2333)1(2121nnn4）)12)(1(613212222nnnn5）111)1(1nnnn)211(21)2(1nnnn6）)()11(11qpqppqpq名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -