2022年高中数学平面几何例题 .pdf

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1、必修 2 一、平面几何（一）直线方程(1)点斜式：00()yyk xx；适用于斜率存在的直线（2）斜截式：ykxb；适用于斜率存在的直线注：b为直线在y轴上的截距，截距不是距离，截距可正，可负，可为零（3）两点式：1112122121(,)xxyyxxyyxxyy；适用于斜率存在且不为零的直线（4）截距式：1xyab；适用于斜率存在，且不为零且不过原点的直线（5）一般式：0AxByC（,A B不同时为0）（6）特殊直线方程斜率不存在的直线（与y轴垂直）：0 xx；特别地，y轴：0 x斜率为0的直线（与x轴垂直）：0yy；特别地，x轴：0y在两轴上截距相等的直线：（）yxb； （）ykx在两轴上

2、截距相反的直线：（）yxb； （）ykx在两轴上截距的绝对值相等的直线：（）yxb； （）yxb； （）ykx3、平面上两直线的位置关系及判断方法（1）111222:;:lyk xb lyk xb平行：12kk且12bb（注意验证12bb）重合：12kk且12bb相交：12kk特别地，垂直：121k k（2）11112222:0;:0lA xB yClA xB yC平行：1221A BA B且1221ACA C（验证）重合：1221A BA B且1221ACA C名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 -

3、- - - - - - 第 1 页，共 18 页 - - - - - - - - - 相交：1221A BA B特别地，垂直：12120A AB B（3）与直线0AxByC平行的直线可设为：0AxBym与直线0AxByC垂直的直线可设为：0BxAyn4、其他公式（1）平面上两点间的距离公式：1122(,),(,)A x yB xy，则221212()()ABxxyy（2）线段中点坐标公式：1122(,),(,)A xyB xy，则,A B中点的坐标为1212(,)22xxyy（3）三角形重心坐标公式：112233(,),(,),(,)A xyB xyC xy，则三角形ABC的重心坐标公式为：1

4、23123(,)33xxxyyy（4）点00(,)P xy到直线:0lAxByC的距离公式：0022AxByCdAB（ 5 ） 两 平 行 线112212:0;:0()lAxByClAxByCCC间 的 距 离 ：2122CCdAB（用此公式前要将两直线中, x y的系数统一）（6）点A关于点P的对称点B的求法：点P为,A B中点（7）点A关于直线l的对称点B的求法： 利用直线AB与直线l垂直以及AB的中点在直线l上，列出方程组，求出点B的坐标。2、直线1、 直线的斜率与倾斜角(1)斜率两点的斜率公式：1122(,),(,)P xyQ xy，则212121()PQyykxxxx斜率的范围：kR

5、(2)直线的倾斜角范围：0 ,180（3）斜率与倾斜角的关系：tan(90 )k注： （1）每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率；（2）特别地，倾斜角为0的直线斜率为0；倾斜角为90的直线斜率不存在。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 18 页 - - - - - - - - - （二） 、圆1、圆的方程（1）圆的标准方程：222()()xaybr，其中( , )a b为圆心，r为半径（ 2 ） 圆 的 一 般 方 程 ：22220(40)xyDxEyF

6、DEF， 其 中 圆 心 为(,)22DE，半径为22142DEF(只有当22,xy的系数化为1时才能用上述公式) 注意：已知圆上两点求圆方程时，注意运用圆心在这两点的垂直平分线上这个条件可简化计算。2、直线与圆的位置关系(1)直线:0lAxByC，圆222:()()Cxaybr，记圆心( , )C a b到直线l的距离22AaBbCdAB直线与圆相交,则0dr或方程组的0直线与圆相切，则dr或方程组的0直线与圆相离，则dr或方程组的0（2）直线与圆相交时，半径r，圆心到弦的距离d，弦长l，满足：222lrd（3）直线与圆相切时，切线的求法：（）已知切点（圆上的点）求切线,有且只有一条切线,切

7、点与圆心的连线与切线垂直；（）已知切线斜率求切线，有两条互相平行的切线，设切线方程为ykxb，利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求出b的值；（）已知过圆外的点00(,)P xy求圆222:()()Cxaybr的切线，有两条切线，若切线的斜率存在，设切线方程为：00()yyk xx，利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求出k的值； 若切线的斜率不存在，则切线方程为0 xx，验证圆心到切线距离是否等于半径。由圆外点00(,)P xy向圆222:()()Cxaybr引切线，记,P C两点的距离为d，则切线长22ldr（4）直线与圆相离时，圆心到直线距离记为d，则圆上点到直线的最近距离为dr，最远距

8、离为dr3、两圆的位置关系圆2221111:()()Cxaybr， 圆2222222: ()()Cxaybr， 两 圆 圆 心 距 离221212()()daabb名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 18 页 - - - - - - - - - (1)两圆相离，则12drr（2）两圆相外切，则12drr（3）两圆相交，则1212rrdrr注：圆221111:0CxyD xE yF，圆222222:0CxyD xE yF相交，则两圆相交弦方程为：121212()

9、()()0DDxEEyFF（4）两圆相内切，则12drr（5）两圆内含，则120drr特别地，当0d时，两圆为同心圆（三） 、空间直角坐标系1、右手系（与y轴，z轴平行或在y轴，z轴上的线段长度不变，与x轴平行或在x轴上的线段长度变为原来的一半。）2、空间两点间的距离公式：111222(,),(,)A x yzB xyz，则222121212()()()A Bxxyyzz3 、 空 间 两 点 的 中 点 坐 标 公 式 ：111222(,),(,)A x y zB xyz， 则AB中 点 坐 标 为121212(,)222xxyyzz二、立体几何（一）三视图与直观图1、三视图：主视图与左视图

10、要高平齐；主视图与俯视图要长对正；俯视图与左视图要宽相等2、直观图：（1）与x轴，z轴平行或在x轴，z轴上的线段长度不变，与y轴平行或在y轴上的线段长度变为原来的一半。（2）原图形与直观图面积之比为1:22（二）平面的基本性质公理 1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面上。即：,AB，则AB公理 2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线。即：,PP，则l，且Pl公理 3：经过不在同一直线上的3 点有且只有一个平面名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - -

11、 - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 18 页 - - - - - - - - - 推论 1：经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面推论 2：经过两条相交直线有且只有一个平面推论 3：经过两条平行直线有且只有一个平面（三）空间两条直线的位置关系1、位置关系：（1）相交直线：在同一个平面内，有且只有一个公共点（2）平行直线：在同一个平面内，没有公共点（3）异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点2、平行直线(1)公理 4（平行的传递性） ：平行于同一条直线的两条直线平行即：ab,bc，则ac（2）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平

12、行且方向相同，那么这两个角相等。（延伸：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。）3、异面直线判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过该点的直线是异面直线。即：,lABBl，则AB与l是异面直线（四）直线与平面的位置关系1、位置关系：（1）直线在平面内（或平面经过直线）：有无数个公共点，记作：a（2）直线与平面相交：有且只有一个公共点，记作：aA（3）直线与平面平行：没有公共点，记作：a注：直线与平面相交，直线与平面平行统称为直线在平面外。2、直线与平面平行（1）判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。即：

13、,abab，则a（2）性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。即：,llm,，则lm3、直线与平面垂直(1)判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。即：,am an mnA mn，则a（2）性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。即：,ab，则ab（3）重要性质：如果直线与平面垂直，则这条直线垂直于这个平面内的所有直线。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第

14、 5 页，共 18 页 - - - - - - - - - 即：,al，则al如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。即：aab,，则b（4）重要结论：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直；过一点有且只有一个平面与已知直线垂直（五）平面与平面的位置关系1、位置关系：（1）两平面平行：没有公共点，记作：（2）两平面相交：有一条公共直线，记作：l2、两平面平行（1）判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。即；,ababA a,b ，则（2）性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行。即:,=a,=b,则a

15、b（3）重要性质：如果两个平面平行，那么一个平面内的直线和另一个平面平行。即：,a，则a如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面。即：,l，则l3、两平面垂直（1）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。即：,ll，则（2）性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。即：,l mml，则m（六）空间角1、异面直线所成的角：范围：0 ,902、线面角（1）斜线与平面所成的角：范围：0 ,90（2）直线与平面所成的角：范围：0 ,90名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - -

16、 - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 18 页 - - - - - - - - - 3、两面角：二面角的平面角的范围：0 ,180（七）空间的距离1、点到面的距离2、直线与平面的距离3、两平行平面间的距离（八）空间几何体及侧面积，体积1、多面体（1）棱柱：两个底面是全等的多边形，对应边互相平行，侧面都是平行四边形直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱（侧面都是矩形）（如：长方体）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱（如：正方体）侧面积：sch（c为底面周长，h为高）体积：vsh（s为底面积，h为高）（2）棱锥：底面是多边形，侧面是有一个公共

17、顶点的三角形正棱锥： 底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心，侧面是全等的等腰三角形。（如：正三棱锥，正四面体）侧面积：12sch（c为底面周长，h为斜高）体积：13vsh（s为底面积，h为高）（3）棱台：底面是相似的多边形，侧面是梯形，各侧棱延伸后交于一点正棱台：底面是正多边形，侧面是全等的等腰梯形侧面积：1()2scc h（,c c分别为上、下底面周长，h为斜高）体积：1()3vh ssss（,s s分别为上、下底面面积，h为高）2、旋转体(1)圆柱：矩形绕着它的一边所在的直线旋转形成的。侧面积：scl（c为底面圆周长，l为母线长）体积：vsh（s为底面圆面积，h为高）（2）

18、圆锥：直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转形成的。侧面积：12scl（c为底面圆周长，l为母线长）体积：13vsh（s为底面圆面积，h为高）（3）圆台：直角梯形绕着垂直于底边的腰所在的直线旋转形成的。侧面积：1()2scc l（,c c分别为上、下底面圆周长，l为母线长）体积：1()3vh ssss（,s s分别为上、下底面圆面积，h为高）（4）球：半圆绕着直径所在的直径旋转形成的。表面积：24sr体积：343vr名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 18

19、 页 - - - - - - - - - 选修 11 一、常用逻辑用语1、 命题：可以判断真假的语句（）四种命题：（1）定义：（, p q分别表示原命题的条件和结论）原命题：若p则q逆命题：若q则p否命题：若p则q逆否命题：若q则p（2）四种命题的真假：互为逆否关系的命题同真假。即原命题与逆否命题同真假，逆命题与否命题同真假；在同一个命题的四种命题中真命题的个数要么0个，要么2个，要么4个。（）简单逻辑联结词联结的命题（1） “p或q”命题：表示可兼有但不必兼有，与并集意义相同“p或q”命题的真假：一真必真pqp或q真真真真假真假真真假假假（2） “p且q”命题：表示兼有，与交集意义相同“p且

20、q”命题的真假：一假必假pqp且q真真真真假假假真假假假假（3） “p”命题表示否定，与补集意义相同“p”命题的真假：真假相对pp真假假真命题的否定与否命题的区别：（i）命题的否定：把一个命题的结论改为与它相矛盾的判断；否命题：同时否定命题的条件和结论（ii ）对命题“若p则q”而言：否命题：若p则q；命题的否定：若p则q。（）全称命题和存在性命题（1）全称命题：常见的全称量词有： “所有”、 “任意”、 “每一个”、 “任意一个”、 “一切”等名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - -

21、 - 第 8 页，共 18 页 - - - - - - - - - 定义：含有全称量词的命题。形式：,( )xMp x全称命题的否定：全称量词变为存在量词，肯定变为否定，成为存在性命题。（2）存在性命题：常见的存在量词有： “有一个”、 “有些”、 “存在一个”、 “至少有一个” 、 “某个”、 “有的”等；定义：含有存在量词的命题。形式：,( )xMp x存在性命题的否定：存在量词变为全称量词，肯定变为否定，成为全称命题。2、 充分条件和必要条件(1)从逻辑推理上看若pq，但qp，则p是q的充分不必要条件；若pq，但qp，则p是q的必要不充分条件；若pq，则p是q的充要条件；若pq且qp，则

22、p是q的既不充分又不必要条件。(2)从集合与集合之间的关系上看设满足条件p的元素构成集合A，满足条件q的集合构成集合B，则若AB?，则p是q的充分不必要条件；若BA?，则p是q的必要不充分条件；若AB，则p是q的充要条件；若AB且BA，则p是q的既不充分也不必要条件。（3）从与四种命题的关系上看若p是q的充分不必要条件，则原命题“若p则q”和逆否命题“若q则p”为真命题；逆命题“若q则p”和否命题“若p则q”为假命题；若p是q的必要不充分条件，则原命题“若p则q”和逆否命题“若q则p”为假命题；逆命题“若q则p”和否命题“若p则q”为真命题；若p是q的充要条件，则四种命题都为真命题；若p是q的

23、既不充分又不必要条件，则四种命题都为假命题。（4）判断四种类型条件关系的方法：定义法：（ i）分清条件和结论； （ii）判断“pq”及“qp”的真假；（iii ）根据定义下结论；集合法：运用集合的思想解题，即求出条件和结论的集合；逆否法：将命题转化为逆否命题，以便于判断真假。二、圆锥曲线（）椭圆（一）定义1、第一定义：平面上到定点12,F F的距离的和等于常数（大于12F F）的点的轨迹叫做椭圆。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 18 页 - - - - -

24、 - - - - 即122 (2P PFPFaa为常数，且122)aF F说明： （1）若定义中“常数等于12F F” ，则动点的轨迹为线段12F F（包括端点） ；（2）若定义中“常数小于12F F” ，则动点的轨迹不存在。2、第二定义：平面上到一个定点F和到一条定直线l（F不在l上）的距离之比为常数e（01e）的点的轨迹是椭圆。即(01)PFPeed（d为点P到直线l的距离）（二）椭圆的标准方程：1、椭圆的标准方程（中心在原点，焦点在坐标轴上）：焦点在x轴上时：22221(0)xyabab；焦点在y轴上时：22221(0)yxabab说明：如何判断椭圆的焦点在哪个坐标轴上？22,xy哪个项

25、的分母大，焦点就在哪个轴上2、椭圆标准方程的求法; 定义法：利用椭圆的定义先求出a，再求2b，从而得方程；待定系数法： （）定位：确定焦点在那个轴上，以便确定方程形式；（）定形：根据条件求出22,ab。说明： （1）若根据条件无法确定焦点所在的轴，则需分情况讨论。（ 2）若已知椭圆经过两点，在求椭圆标准方程的时候，可设椭圆方程的一般式：221(0,0,)mxnymnmn。（三）椭圆的几何性质：标准方程22221(0)xyabab22221(0)yxabab图形点的范围横坐标axabxb纵坐标bybaya对称性对称轴x轴，y轴对称中心原点名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - -

26、- - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 18 页 - - - - - - - - - 焦点坐标12(,0),( ,0)FcFc12(0,),(0, )FcFc顶点坐标12(,0),( ,0)AaAa12(0,),(0, )BbBb12(0,),(0,)AaAa12(,0),( ,0)BbBb长轴线段12A A长度2aa称为长半轴长短轴线段12B B长度2bb称为短半轴长焦距线段12F F长度2c, ,a b c的关系222bac准线方程2axc2ayc准线间距离22ac离心率公式cea范围01e对应图形关系e越接近于0

27、，椭圆越圆；越接近于1，椭圆越扁。焦准距2bc通径22ba焦半径公式1PF0aex2PF0aex1PF0aey2PF0aey范围最大值为ac；最小值为ac。说明： （1）椭圆的焦点总在实轴上；（2）椭圆的准线总是垂直于实轴所在的直线。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 18 页 - - - - - - - - - （3）设椭圆的焦点为12,FF，过1F的直线交椭圆与,A B两点，则三角形2ABF的周长为4a；（4）设椭圆的焦点为12,FF，P为椭圆上任意一点

28、（P不在长轴上） ,则三角形12PF F的周长为22ac； 若12F PF， 则三角形12PF F的面积为2tan2b； 特别地，当090时，三角形12PF F的面积为2b。（5）设椭圆的焦点为12,FF，若在椭圆上存在点P使得01290F PF，则cb；若在椭圆上存在点P使得12F PF为钝角，则cb。（）双曲线（一）定义1、第一定义：平面上到定点12,F F的距离的差的绝对值等于常数（小于12F F）的点的轨迹叫做双曲线。即122(2P PFPFaa为常数，且1202)aF F说明： （1）若定义中“常数等于12F F” ，则动点轨迹是以12,FF为端点的两条射线（包括端点） ；（2）若定

29、义中“常数为零” ，则动点轨迹为线段12F F的垂直平分线；（3）若定义中“常数大于12F F”则动点轨迹不存在；（4）若定义中去掉“绝对值”，则动点轨迹为双曲线的一支。2、第二定义：平面上到一个定点F和到一条定直线l（F不在l上）的距离之比为常数e（1e）的点的轨迹是双曲线。即(1)PFPe ed（d为点P到直线l的距离）（二）双曲线的标准方程（中心在原点，焦点在坐标轴上）：焦点在x轴上时：22221(0,0)xyabab；焦点在y轴上时：22221(0,0)yxabab说明： 如何判断双曲线的焦点在哪个坐标轴上？22,xy哪个项的分母为正，焦点就在哪个轴上。（三）双曲线的几何性质：标准方程

30、22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab图形名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 18 页 - - - - - - - - - 点的范围横坐标xa或xaxR纵坐标yRya或ya对称性对称轴x轴，y轴对称中心原点焦点坐标12(,0),( ,0)FcFc12(0,),(0, )FcFc顶点坐标12(,0),( ,0)AaAa12(0,),(0,)AaAa实轴线段12A A长度2aa称为实半轴长虚轴线段12B B长度2bb称为虚半轴长焦距线段

31、12F F长度2c, ,a b c的关系222bca渐近线方程byxaayxb准线方程2axc2ayc准线间距离22ac离心率公式cea范围1e对应图形关系e越大，双曲线张口越大。焦准距2bc名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 18 页 - - - - - - - - - 通径22ba焦半径公式1PF0exa2PF0exa1PF0eya2PF0eya范围最小值为ca。说明：（1）双曲线的焦点总在实轴上；（2）双曲线的准线总是垂直于实轴所在的直线。（3）与渐近

32、线有关的结论：求双曲线渐近线方程时，可将双曲线方程中的“1”换成“ 0” ，然后因式分解即得渐近线方程；若渐近线方程为xaby，则双曲线可设为2222xyab； （0）若双曲线与12222byax有公共渐近线，则可设为2222xyab； （0）当0时，焦点在x 轴上；当0时，焦点在y 轴上 . 双曲线的顶点到渐近线的距离为abc；双曲线的焦点到渐近线的距离为b。（4）等轴双曲线（实轴与虚轴等长的双曲线）：方程可用22xy（0） ；离心率e2；渐近线互相垂直，方程为yx。（5）设双曲线的焦点为12,FF，P为双曲线上任一点（P不在实轴上），若12F PF，则三角形12F PF的面积为21tan2

33、b；特别地，当090时，三角形12F PF的面积为2b。（）抛物线1、定义：平面上到一个定点F和到一条定直线l（F不在l上）的距离相等的点的轨迹是抛物线。即P PFd（d为点P到直线l的距离）说明：若定义中“定点F在直线l上” ，则动点轨迹为过F且垂直于l的直线。2、抛物线的标准方程及几何性质名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 18 页 - - - - - - - - - 标准方程22(0)ypx p22(0)ypx p22(0)xpy p22(0)xpy

34、p图形开口方向向右向左向上向下顶点坐标(0,0)对称轴x轴y轴焦点坐标(,0)2p(,0)2p(0,)2p(0,)2p准线方程2px2px2py2py点的取值范围横 坐标0 x0 xxRxR纵 坐标yRyR0y0y离心率1e焦准距p通径2p（通径是最短的焦点弦）焦半径02px02px02py02py3、抛物线的焦点弦的性质：过抛物线22(0)ypx p的焦点F的弦AB，设1122(,),(,)A x yB xy，,A B的中点00(,)M xy，则（1）弦长12022()2()2sinppABxxpx（其中为AB的倾斜角）；（2）以AB为直径的圆必与准线相切；（3）,A B两点的横坐标之积，纵

35、坐标之积为定值，即221212,4px xy yp三、导数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 18 页 - - - - - - - - - 1、函数( )yf x在区间, m n上的平均变化率为( )( )f nf mnm2、用定义求导数的方法：（ 1 ） 求 平 均 变 化 率 ： 求 函 数( )yf x在 区 间00,xxx上 的 平 均 变 化 率 ：00()()f xxf xyxx（2）求瞬时变化率：当0 x时，yAx（常数），则0()fxA3、导

36、数的几何意义：曲线( )yf x在点00(,)P xy处的切线的斜率0()kfx，则切线方程为000()()yyfxxx4、导数在物理中的运用：（1）设运动物体的位移为( )s t，则物体在t秒时的瞬时速度为( )( )v ts t（2）设运动物体的速度为( )v t，则物体在t秒时的瞬时加速度为( )( )( )a tv ts t5、常见函数的导数公式：（1）( )f xC（C为常数），( )0fx（2）( )f xx，1( )fxx（3）( )(0,1)xf xaaa且，( )lnxfxaa特别地，( )xf xe，( )xfxe（4）( )log(0,1)af xx aa且，11( )l

37、oglnafxexxa特别地，( )lnf xx，1( )fxx（5）( )sinf xx，( )cosfxx（6）( )cosf xx，( )sinfxx6、导数的四则运算法则：（1）( )( )( )( )f xg xfxg x（2）( )( )( )( )f xg xfxg x（3）( ) ( )( ) ( )( )( )f x g xfx g xfx g x特别地，( )( )CfxCfx（C为常数）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 18 页 -

38、- - - - - - - - （4）2( )( ) ( )( )( )( )( )f xfx g xf x g xg xgx（( )0g x）7、导数在研究函数中的应用（1）单调性方法：一般地，对于函数( )yf x，如果在某个区间上( )0fx，那么( )f x为该区间上的增函数；如果在某区间上( )0fx，那么( )f x为该区间上的减函数。求单调区间的步骤（i）求函数( )f x的定义域；（ii ）求导数( )fx；（iii ）在函数定义域内解不等式( )0( )0fxfx或；（iv）根据上述结果确定函数的单调区间说明：（i）对于可导函数( )f x来说，( )0fx是( )f x在(

39、 , )a b上为单调增函数的充分不必要条件；( )0fx是( )fx在( , )a b上为单调减函数的充分不必要条件。(ii) 若可导函数( )f x在( , )a b上为单调增函数，则( )0fx在区间( , )a b上恒成立；若可导函数( )f x在( , )a b上为单调减函数，则( )0fx在区间( , )a b上恒成立。（2）极值求函数( )yfx在区间( , )a b上的极值的步骤：（i）确定函数( )f x的定义域；（ii ）求导数( )fx；（iii ）求方程( )0fx的所有实数根；（iv）检查( )fx在( )0fx的根的左右两侧值的符号。如果( )fx的符号由正变负，则

40、0()f x是极大值；如果由负变正，则0()f x是极小值。说明：（i）按定义，极值点是区间内部的点，不会是端点；（ii ）在区间单调的函数没有极值；（iii ）极大值与极小值没有必然的大小关系；（iv）可导函数( )fx在点0 x处取得极值是0()0fx的充分不必要条件；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 18 页 - - - - - - - - - （v） 可导函数( )f x在点0 x处取得极值的充要条件是0()0fx且在0 x左侧与右侧，( )fx的

41、符号不同。（3）最值求函数( )yfx在区间 , a b上的最值的步骤：（i）求函数( )f x在区间( , )a b上的极值；（ii ）求出( )f x在区间端点的值( ),( )f af b；（iii ）将( )f x的极值与区间端点的值( ),( )f af b比较。其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。说明：（i）函数的极值表示函数在某一点附近的情况，是在局部上对函数值的比较；函数的最值是表示函数在整个定义区间上的情况，是对整个区间上的函数值的比较；（ii ）函数的极值可以有多个；但最值只能有一个；（iii ）极值只能在区间内取得；最值可以在区间内取得，也可以在端点处取得；（iv）函数的最值必在极值点或区间端点处取得；（v）若在( , )a b内，连续函数( )f x有唯一极值，则它必为函数的最值。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 18 页 - - - - - - - - -