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1、高中数学竞赛专题讲座第1页平面几何基础知识基本定理、基本性质1 勾股定理毕达哥拉斯定理广义勾股定理 (1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍(2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍2 射影定理欧几里得定理3 中线定理巴布斯定理 设ABC 的边 BC 的中点为 P，则有)(22222BPAPACAB；中线长：222222acbma4 垂线定理：2222BDBCADACCDAB高线长：CbBcAabccpbpappahasinsinsin)()(25 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所
2、成的两条线段与这个角的两边对应成比例如ABC 中，AD 平分 BAC，则ACABDCBD； 外角平分线定理角平分线长：2cos2)(2Acbbcapbcpcbta其中p为周长一半6 正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin， 其中R为三角形外接圆半径7 余弦定理：Cabbaccos22228 张角定理：ABDACACBADADBACsinsinsin9 斯特瓦尔特 (Stewart)定理：设已知 ABC 及其底边上B、C 两点间的一点D，则有AB2DC+AC2BDAD2BCBCDCBD10圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半圆外角如何转化？11弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的
3、圆周角12圆幂定理：相交弦定理：垂径定理：切割线定理割线定理：切线长定理：13布拉美古塔 Brahmagupta定理： 在圆内接四边形 ABCD 中，ACBD，自对角线的交点 P 向一边作垂线，其延长线必平分对边14点到圆的幂：设P 为O 所在平面上任意一点， PO=d，O 的半径为 r，则 d2r2就是点 P 对于 O 的幂过 P 任作一直线与 O 交于点 A、 B， 则 PA PB= |d2r2| “到精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页高中数学竞赛专题讲座第2页两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线
4、，如果此二圆相交， 则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论这条直线称为两圆的“根轴”三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”三个圆的根心对于三个圆等幂当三个圆两两相交时， 三条公共弦 (就是两两的根轴 )所在直线交于一点15托勒密 Ptolemy定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC BD=AB CD+AD BC，(逆命题成立 ) 广义托勒密定理 AB CD+AD BCAC BD16蝴蝶定理： AB 是O 的弦，M 是其中点，弦 CD、EF 经过点 M，CF、DE 交 AB于 P、Q，求证： MP=QM17费马点： 定理 1 等边三角形外接
5、圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离； 不在等边三角形外接圆上的点， 到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离 定理 2 三角形每一内角都小于120时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120，该点到三顶点距离和到达最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120时，此角的顶点即为费马点18拿破仑三角形：在任意ABC 的外侧，分别作等边ABD、BCE、CAF，则AE、AB、CD 三线共点，并且AEBFCD，这个命题称为拿破仑定理以ABC的三条边分别向外作等边ABD、BCE、CAF，它们的外接圆 C1、A1、B1的圆心构成的外拿破仑的三角形，C1、A1、 B1
6、三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；ABC 的三条边分别向 ABC 的内侧作等边 ABD、BCE、CAF，它们的外接圆 C2、A2、B2的圆心构成的内拿破仑三角形，C2、 A2、B2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形这两个拿破仑三角形还具有相同的中心19九点圆 Nine point round 或欧拉圆或费尔巴赫圆 ：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如: 1三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半; 2九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点; 3三角形的九点圆与三角形
7、的内切圆,三个旁切圆均相切费尔巴哈定理 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页高中数学竞赛专题讲座第3页20欧拉Euler线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线欧拉线上21欧拉Euler公式：设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为 r，外心与内心的距离为 d，则 d2=R22Rr22锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和23重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成2：1 的两部分；)3,3(CBACBAyyyxxxG重心性质： 1 设 G 为ABC的重心，连结 AG
8、 并延长交 BC 于 D，则 D 为 BC 的中点，则1:2:GDAG；2设 G 为ABC 的重心，则ABCACGBCGABGSSSS31；3设 G 为ABC 的重心，过 G 作 DEBC 交 AB 于 D，交 AC 于 E，过 G 作PFAC交 AB 于 P，交 BC 于 F，过 G 作 HKAB 交 AC 于 K，交 BC 于 H，则2;32ABKHCAFPBCDEABKHCAFPBCDE；4设 G 为ABC 的重心，则222222333GCABGBCAGABC；)(31222222CABCABGCGBGA；22222223PGGCGBGAPCPBPAP 为ABC 内任意一点；到三角形三顶
9、点距离的平方和最小的点是重心，即222GCGBGA最小；三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然即满足上述条件之一，则 G 为ABC 的重心 24垂心：三角形的三条高线的交点；)coscoscoscoscoscos,coscoscoscoscoscos(CcBbAayCcyBbyAaCcBbAaxCcxBbxAaHCBACBA垂心性质：1三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2 倍；2垂心 H 关于ABC 的三边的对称点，均在 ABC的外接圆上；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页高中数学竞赛专题讲
10、座第4页3ABC 的垂心为 H，则ABC，ABH，BCH，ACH 的外接圆是等圆；4设O，H分别为ABC的外心和垂心，则HCABCOABHCBOHACBAO,25内心：三角形的三条角分线的交点内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；),(cbacybyaycbacxbxaxICBACBA内心性质：1设 I 为ABC 的内心，则 I 到ABC 三边的距离相等，反之亦然；2设 I 为ABC 的内心，则CAIBBAICABIC2190,2190,2190；3三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，假设A平分线交 ABC 外接圆于点 K， I 为线段 AK 上的点且
11、满足 KI=KB ，则 I 为ABC 的内心；4设 I 为ABC 的内心，,cABbACaBCA平分线交 BC 于 D，交ABC 外接圆于点 K，则acbKDIKKIAKIDAI；5设 I 为ABC 的内心，,cABbACaBCI 在ABACBC,上的射影分别为FED ,，内切圆半径为r，令)(21cbap，则prSABC；cpCDCEbpBFBDapAFAE;；CIBIAIpabcr26外心：三角形的三条中垂线的交点外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等；)2sin2sin2sin2sin2sin2sin,2sin2sin2sin2sin2sin2sin(CBACyByAyCBACxBxA
12、xOCBACBA外心性质：1外心到三角形各顶点距离相等；2设 O 为ABC 的外心，则ABOC2或ABOC2360；3SabcR4； 4锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和27旁心：一内角平分线与两外角平分线交点旁切圆圆心；设ABC 的三边,cABbACaBC令)(21cbap，分别与ABACBC,外侧相切的旁切圆圆心记为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页高中数学竞赛专题讲座第5页CBAIII,，其半径分别记为CBArrr,旁心性质： 1,21,2190ACBICBIACBICBA对于顶角
13、B，C 也有类似的式子 ；2)(21CAIIICBA；3设AAI的连线交 ABC 的外接圆于 D，则DCDBDIA对于CBCIBI,有同样的结论 ；4ABC 是IAIBIC的垂足三角形，且 IAIBIC的外接圆半径 R等于ABC 的直径为 2R28三角形面积公式：CBARRabcCabahSaABCsinsinsin24sin21212)cotcot(cot4222CBAcba)()(cpbpapppr，其中ah 表示BC边上的高，R为外接圆半径， r 为内切圆半径，)(21cbap29三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系：;2sin2cos2cos4,2cos2sin2cos4,2c
14、os2cos2sin4;2sin2sin2sin4CBARrCBARrCBARrCBARrcba.1111;2tan2tan,2tan2tan,2tan2tanrrrrBArrCArrCBrrcbacba30梅涅劳斯 Menelaus定理：设 ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R 则有1RBARQACQPCBP 逆定理也成立31梅涅劳斯定理的应用定理1：设ABC 的A 的外角平分线交边CA 于 Q，C 的平分线交边 AB 于 R，B 的平分线交边 CA 于 Q，则 P、Q、R 三点共线32梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意 ABC 的三
15、个顶点 A、B、C 作它的外接圆的切线，分别和 BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则 P、Q、R 三点共线33塞瓦(Ceva)定理：设 X、Y、Z 分别为 ABC 的边 BC、CA、AB 上的一点，则 AX、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页高中数学竞赛专题讲座第6页BY、CZ 所在直线交于一点的充要条件是AZZBBXXCCYYA=134塞瓦定理的应用定理： 设平行于 ABC 的边 BC 的直线与两边 AB、AC 的交点分别是 D、E，又设 BE 和 CD 交于 S，则 AS一定过边 BC 的中点 M35塞
16、瓦定理的逆定理：略36塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一点37塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设ABC 的内切圆和边 BC、CA、AB 分别相切于点 R、S、T，则 AR、BS、CT 交于一点38西摩松 Simson 定理：从 ABC 的外接圆上任意一点P 向三边 BC、CA、AB 或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则 D、E、R 共线， 这条直线叫西摩松线 Simson line 39西摩松定理的逆定理：略40关于西摩松线的定理1：ABC 的外接圆的两个端点P、Q 关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上
17、41关于西摩松线的定理2安宁定理：在一个圆周上有4 点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点42史坦纳定理： 设ABC 的垂心为 H，其外接圆的任意点P，这时关于 ABC 的点 P的西摩松线通过线段PH 的中心43史坦纳定理的应用定理： ABC的外接圆上的一点P 的关于边 BC、CA、AB 的对称点和 ABC 的垂心 H 同在一条与西摩松线平行的直线上这条直线被叫做点P关于ABC 的镜象线44牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线这条直线叫做这个四边形的牛顿线45牛顿定理 2：圆外切四边形的两条对角线的中点
18、，及该圆的圆心，三点共线46笛沙格定理 1：平面上有两个三角形 ABC、DEF，设它们的对应顶点 A 和 D、B 和 E、C 和 F的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页高中数学竞赛专题讲座第7页47笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形ABC、DEF，设它们的对应顶点 A和 D、B 和 E、C 和 F的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线48波朗杰、腾下定理：设ABC的外接圆上的三点为P、 Q、 R， 则 P、 Q、 R关于ABC交于
19、一点的充要条件是：弧AP+弧 BQ+弧 CR=0(mod2) 49波朗杰、腾下定理推论1：设 P、Q、R 为ABC 的外接圆上的三点，假设P、Q、R 关于ABC 的西摩松线交于一点，则A、B、C 三点关于 PQR的的西摩松线交于与前相同的一点50波朗杰、腾下定理推论2：在推论 1 中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R 六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点51波朗杰、腾下定理推论3：考查 ABC 的外接圆上的一点P 的关于 ABC 的西摩松线，如设 QR 为垂直于这条西摩松线该外接圆的弦，则三点P、Q、R 的关于 ABC的西摩松线交于一点52波朗杰、
20、腾下定理推论4：从ABC 的顶点向边 BC、CA、AB 引垂线，设垂足分别是 D、E、F，且设边 BC、CA、AB 的中点分别是 L、M、N，则 D、E、F、L、M、N 六点在同一个圆上，这时L、M、N 点关于关于 ABC 的西摩松线交于一点53卡诺定理：通过 ABC 的外接圆的一点P，引与 ABC 的三边 BC、CA、AB 分别成同向的等角的直线PD、PE、PF，与三边的交点分别是D、E、F，则 D、E、F 三点共线54奥倍尔定理：通过 ABC 的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与ABC 的外接圆的交点分别是L、 M、 N， 在ABC 的外接圆上取一点P， 则 PL、 PM、 PN 与A
21、BC的三边 BC、CA、AB 或其延长线的交点分别是D、E、F，则 D、E、F 三点共线55清宫定理：设 P、Q 为ABC 的外接圆的异于A、B、C 的两点， P 点的关于三边BC、CA、AB 的对称点分别是U、V、W，这时， QU、QV、QW 和边 BC、CA、AB 或其延长线的交点分别是D、E、F，则 D、E、F 三点共线56他拿定理：设 P、Q 为关于 ABC 的外接圆的一对反点， 点 P 的关于三边 BC、CA、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页高中数学竞赛专题讲座第8页AB 的对称点分别是U、V、W，这时
22、，如果 QU、QV、QW 和边 BC、CA、AB 或其延长线的交点分别是D、E、F，则 D、E、F 三点共线反点： P、Q 分别为圆 O 的半径OC 和其延长线的两点，如果OC2=OQ OP 则称 P、Q 两点关于圆 O 互为反点57朗古来定理：在同一圆周上有A1、B1、C1、D1四点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点 P，作 P 点的关于这 4 个三角形的西摩松线，再从P 向这 4 条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上58从三角形各边的中点， 向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心59一个圆周上有 n 个点，从其中任意n1 个点的重心，向该圆周的
23、在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点60康托尔定理 1：一个圆周上有n 个点，从其中任意n2 个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点61康托尔定理 2：一个圆周上有 A、B、C、D 四点及 M、N 两点，则 M 和 N 点关于四个三角形 BCD、CDA、DAB、ABC 中的每一个的两条西摩松线的交点在同一直线上这条直线叫做M、N 两点关于四边形 ABCD 的康托尔线62康托尔定理 3：一个圆周上有 A、B、C、D 四点及 M、N、L 三点，则 M、N 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线、 L、N 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线、 M、L两点的关于四边形ABCD 的康托尔线交于一点这
24、个点叫做M、N、L 三点关于四边形ABCD 的康托尔点63康托尔定理 4：一个圆周上有 A、B、C、D、E 五点及 M、N、L 三点，则 M、N、L 三点关于四边形 BCDE、 CDEA、 DEAB、 EABC 中的每一个康托尔点在一条直线上这条直线叫做 M、N、L 三点关于五边形 A、B、C、D、E 的康托尔线64费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切65莫利定理：将三角形的三个内角三等分， 靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形这个三角形常被称作莫利正三角形66布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF 相对的顶点 A 和 D、B 和 E、
25、C和 F，则这三线共点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页高中数学竞赛专题讲座第9页67帕斯卡 Paskal定理：圆内接六边形ABCDEF 相对的边 AB 和 DE、BC 和 EF、CD 和 FA 的或延长线的交点共线68阿波罗尼斯 Apollonius定理：到两定点A、B 的距离之比为定比 m：n值不为1的点 P，位于将线段 AB 分成 m：n 的内分点 C 和外分点 D 为直径两端点的定圆周上这个圆称为阿波罗尼斯圆69库立奇 *大上定理： 圆内接四边形的九点圆 圆周上有四点， 过其中任三点作三角形，这四个三角形的
26、九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆70密格尔 Miquel点： 假设 AE、AF、ED、FB 四条直线相交于 A、B、C、D、E、F 六点，构成四个三角形，它们是ABF、AED、BCE、DCF，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点71葛尔刚 Gergonne 点： ABC 的内切圆分别切边AB、BC、CA 于点 D、E、F，则 AE、BF、CD 三线共点，这个点称为葛尔刚点72欧拉关于垂足三角形的面积公式：O 是三角形的外心， M 是三角形中的任意一点，过 M 向三边作垂线，三个垂足形成的三角形的面积，其公式：222AB CD4|RdRSS
27、EF平面几何的意义就个人经验而言，我相信人的智力懵懂的大门获得开悟往往缘于一些不经意的偶然事件罗素说过：“一个人越是研究几何学，就越能看出它们是多么值得赞赏”我想罗素之所以这么说，是因为平面几何曾经救了他一命的缘故天知道是什么缘故，这个养尊处优的贵族子弟鬼迷心窍，想要自杀来结束自己那份下层社会人家的孩子巴望一辈子都够不到的幸福生活在上吊或者抹脖子之前，头戴假发的小子想到做最后一件事情，那就是了解一下平面几何到底有多大迷人的魅力而这个魅力是之前他的哥哥向他吹嘘的估计他的哥哥将平面几何与人生的意义搅和在精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9
28、 页，共 12 页高中数学竞赛专题讲座第10页一起向他做了推介，不然万念俱灰的的头脑怎么会在离开之前想到去做最后的光临？而罗素真的一下被迷住了，厌世的念头因为沉湎于平面几何而被淡化，最后竟被遗忘了罗素毕竟是罗素平面几何对于我的意义只是开掘了一个成绩本来不错的中学生的潜力，为我解开了智力上的扭结；而在罗素那里，这门知识从一开始就使这个未来的伟大的疑心论者显露了执拗的本性他反对不加考察就接受平面几何的公理，在与哥哥的反复争论之后，只是他的哥哥使他确信不可能用其他的方法一步步由这样的公理来构建庞大的平面几何的体系的以后，他才同意接受这些公理公元前 334 年，年轻的亚历山大从马其顿麾师东进，短短的时
29、间就建立了一个从尼罗河到印度河的庞大帝国随着他的征服，希腊文明传播到了东方，开始了一个新的文明时代即 “ 希腊化时代 ” ，这时希腊文明的中心也从希腊本土转移到了东方，准确地说，是从雅典转移到了埃及的亚历山大城正是在这个城市， 诞生了 “ 希腊化时代 ” 最为杰出的科学成就，其中就包括欧几里德的几何学因为他的成就，平面几何也被叫作“ 欧氏几何” “欧氏几何”以它无与伦比的完美体系一直被视为演绎知识的典范，哲学史家更愿意把它看作是古代希腊文化的结晶它由人类理性不可辩驳的几个极其简单的“自明性公理”出发，通过严密的逻辑推理，演绎出一连串的定理，这些在结构上紧密依存的定理和作为基础的几个公理一起构筑
30、了一个庞大的知识体系世间事物的简洁之美无出其右费马点：法国著名数学家费尔马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小人们称这个点为“费马点” 这是一个历史名题，近几年仍有不少文献对此介绍拿破仑三角形：读了这个题目，你一定觉得很奇怪还有三角形用拿破仑这个名子来命名的呢！拿破仑与我们的几何图形三角形有什么关系？少年朋友知道拿破仑是法国著名的军事家、政治家、大革命的领导者、法兰西共和国的缔造者，但对他任过炮兵军官，对与射击、测量有关的几何等知识素有研究，却知道得就不多了吧！史料记载，拿破仑攻占意大利之后，把意大利图书馆中有价值的文献，包括欧精选学习
31、资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页高中数学竞赛专题讲座第11页几里德的名著几何原本都送回了巴黎，他还对法国数学家提出了“如何用圆规将圆周四等分”的问题，被法国数学家曼彻罗尼所解决据说拿破仑在统治法国之前，曾与法国大数学家拉格朗日及拉普拉斯一起讨论过数学问题拿破仑在数学上的真知灼见竟使他们惊服，以至于他们向拿破仑提出了这样一个要求：“将军，我们最后有个请求，你来给大家上一次几何课吧！”你大概不会想到拿破仑还是这样一位有相当造诣的数学爱好者吧！不少几何史上有名的题目还和拿破仑有着关联，他曾经研究过的三角形称为“拿破仑三角形”
32、，而且还是一个很有趣的三角形在任意 ABC 的外侧，分别作等边 ABD、BCE、CAF，则 AE、AB、CD三线共点，并且 AEBFCD，如以下图这个命题称为拿破仑定理以ABC 的三条边分别向外作等边ABD、BCE、 CAF， 它们的外接圆、 、 、的圆心构成的外拿破仑的三角形、 、 三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形，如以下图ABC 的三条边分别向 ABC 的内侧作等边 ABD 、BCE、CAF，它们的外接圆、 、 的圆心构成的内拿破仑三角形、 、 三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形如以下图由于外拿破仑三角形和内拿破仑三角形都是正三角形，这两个三角形还具有相同的中心少年朋友，你
33、是否惊讶拿破仑是一位军事家、政治家，同时还是一位受异书籍、热爱知识的数学家呢？拿破仑定理、拿破仑三角形及其性质是否更让你非常惊讶、有趣呢？欧拉圆： 三角形三边的中点 ,三高的垂足和三个欧拉点 连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点九点共圆通常称这个圆为九点圆ninepoint circle,或欧拉圆,费尔巴哈圆 . 九点圆是几何学史上的一个著名问题,最早提出九点圆的是英国的培亚敏.俾几Benjamin Beven,问题发表在 1804 年的一本英国杂志上 .第一个完全证明此定理的是法国数学家彭赛列 17881867.也有说是 18201821 年间由法国数学家热而工17711859与彭赛列首先
34、发表的 .一位高中教师费尔巴哈18001834也曾研精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页高中数学竞赛专题讲座第12页究了九点圆 ,他的证明发表在1822 年的直边三角形的一些特殊点的性质一文里,文中费尔巴哈还获得了九点圆的一些重要性质如以下的性质3,故有人称九点圆为费尔巴哈圆 . 九点圆具有许多有趣的性质,例如: 1.三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半; 2.九点圆的圆心在欧拉线上 ,且恰为垂心与外心连线的中点; 3.三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切费尔巴哈定理. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页