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1、三角函数值域问题的破解策略策略 1：逆用两角和与差的正弦 (或余弦 ) 公式、倍角公式转化为一次函数bkxy型, 再由三角函数的有界性得解 .( 其中x为正弦或余弦函数 ,bk,为常数 ) 1.1 形 如cbayco ssi n的 函 数 , 可 设22si nbab,22cosbaa, 逆 用 和 角 公 式 得 到,si n22cbay化为一次函数bkxy型. 例 1：定义在R 上的函数xxxfcos3sin)(的最大值是. 1.2 形如dxcxxbxay22coscossinsin的函数可先逆用倍角公式化归为例1 的形式再求解.例 2：已知函数)cos(sinsin2)(xxxxf. 求
2、函数)(xf的最大值 .1.3 形如)cos(sinxbxay或)cos(sinxxay的的函数 （式中也可以是同名函数），可先用和角公式展开，化归为例1、例 2 的形式求最值 .例 3：函数)80sin(5)20sin(300 xxy的最大值是（）A. 211B. 637C. 7 D. 6 0000:20 ,3sin5sin(60 )3sin5(sin cos60cos sin60 )xy解 设则115 3115 3sincos7(sincos)7sin()221414(其中1435sin,1411cos)，7,1)sin(取得最大值时当y. 例 4：求函数xxycos)6sin(的最小值
3、. 解: xxycos)6sin(231(sincoscossin) cossincoscos6622xxxxxx31111s i n 2c o s 2s i n ( 2)444264xxx43,1)62sin(取得最小值时当yx. 1.4形如sinsinaxbycxd的函数可分离常数，利用有界性求解.例 5： 求函数的最大值和最小值. 1.5形如dxcbxaycossin的函数可将y看作参数，化归为例1 的形式求解 .例 6：一条河宽1km，两岸各有一座城市A与B，A与B的直线距离为4km，今需铺设一条电缆线连接A与B。已知地下的电缆修建费是2 万元 /km，水下电缆的修建费是4 万元 /k
4、m。假定河两岸是平行的直线，问应如何铺设电缆方可使总施工费用达到最少解：设CAD，则,sec,ADtgCDACDBtgDBCB15,15设总费用为y万元，则42sin4sec22 152 15(0)cos2ytg现求)20(cossin24u的最小值 : 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 3 页 - - - - - - - - - 22minmin4cos2sin4,sin()432,1,sin()12444,44,2 3,232 32 15,153uuuu
5、arctgarctguuyBD由可得故若取最小值即即水下电缆应从距B城（3315）km 处向A城铺设。1.6参数型 ,注意分类讨论 ,特别小心定义域对值域的限制.例 7：函数baxxaxaycossin32sin22的定义域为2, 0,值域为1 ,5,求常数ba,的值 . :(1 cos2 )3 sin2( 3sin2cos2 )22 (sin2 coscos2 sin)22 sin(2)2666yaxaxabaxxabaxxabaxab解702,2666xx由知1sin(2)126x故,)62sin(22, 0)axaaai则若2 sin(2)23( )3.6baxababbf xab即31
6、2,55ababb由已知得即)0,( ),)0,2 sin(2)2 ,3( ).6iiaf xbiiiaaaxaabf xb若则不合题意若则得1222,35151baaaabbbb由已知得即综上所述或策略 2：通过换元转化为二次函数cbtaty2型, 求一元二次函数在区间上的值域问题. 2.1求形如cxbxaysinsin2的函数的值域可利用换元化归为一元二次函数在区间上的值域问题，小心定义域对值域的限制.例 8：求函数32,3, 4cos4sin32xxxy的值域 . 222maxmin21:3cos4cos13(cos),33211211 1cos,3(),3322332 2115111
7、15,;,242444yxxxtxxtytttyty解设由得当时当时故函数值域为2.2求同时含有xxcossin与xxcossin（或xxcossin）的函数的值域，一般令txxcossin(或txxcossin)可以化归为求cbtaty2在区间上的值域，要注意t的取值范围 . 例 9：当Rx时,求函数xxycossin+2cossin2xx的最值 .若2,0 x呢？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 3 页 - - - - - - - - - 2221:si
8、ncos ,sincos,2 sin()2,224131()24ttxxxxtxyttt解 设则且23,2,43,21maxminytyt时当时当minmax0,1,2,1,3,2,322xttyty又若则当时当时2.3参数形 ,分类讨论，注意定义域对值域的限制. 例 10：函数)0(sincos2abxaxy的定义域为2,0，值域为0,4，求常数ba,. 解;bxaxysincos2bxaxsinsin1222sin1,24aaxb22sin1,1 ,1,1,124aatxytbt令则)2,1,0,0(1)1,4,4(2).(1)(2)2,2iatybatybaab若则当时取最大值即而当时取
9、最小值即联立解得2)02,0,10(3),1,4,4(4).24(3)(4),26,.,2,2aaiiatybtybaaaab若则当时取最大值即而当时取最小值即联立解得或经检验 都不合题意 舍去综上所述练习：1、求xxxxy22cos3cossin2sin的最小值，并求使y取最小值时x的集合 . 2、求)cos(sinsin2xxxy的值域。1、求1)32cos(2sinxxy的值域 . 1、若函数4cossin2xaxy的最大值为1，则a= 2、函数的xxbxaycos)sincos(有最大值2，最小值 -1，求实数ba,的值。3、若函数baxaxay2cossin22的定义域为2,0，值域
10、为1 , 5，求常数ba,的值。4、求函数cos2sin2y的最大值和最小值. 1、求函数4sin5cos22xxy的值域；2、求函数32,3,cos2sin2xxxy的值域。1、函数)26)(1)(cos1(sinxxxy的最小值是2、求函数xxxxycossincossin的最大值。1、函数baxaxaysin22sin22的定义域为2,0，值域为1 ,5，求常数ba,的值。2、函数)(2cos2sin2cos211)(Raxxaxxf的最大值为3，求a的值。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 3 页 - - - - - - - - -