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1、1 函数单调性与最值一、基础知识1、单调函数的定义设函数的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内某个区间 D上的任意两个自变量当时，都有，那么就说函数在区间 D上是增函数， D称为xfy的单调增区间。当时，都有，那么就说函数在区间 D上是减函数， D称为xfy的单调减区间。如果函数xfy在区间 D上是单调增函数或是单调减函数，那么就说函数xfy在区间 D上具有单调性。单调增区间和单调减区间统称为单调区间。2、函数单调性的判断（1）定义法：定义域内任取12,x x ，且12xx ；作差12()()f xf x，变形；定号（即判断12()()f xf x的正负） ；下结论（指出函数( )f x在给
2、定定义域上的单调性）（2）图象法：先做出函数图象，利用图象直观判断函数的单调性（3）直接法：常规函数可直接写出它们的单调区间。3、常用结论：函数( )yf x与函数( )yf x的单调性相反；函数( )f x与( )f xc（c 为常数）具有相同的单调性；当0c时，函数( )f x与( )cf x具有相同的单调性；当0c时，它们具有相反的单调性；若( )0f x，则函数( )f x与1( )f x具有相反的单调性；若( )0fx，则函数( )f x与( )f x 具有相同的单调性；在函数)(xf、)(xg公共定义域内，增函数)(xf增函数)(xg是增函数；减函数)(xf减函数)(xg是减函数；
3、增函数)(xf减函数)(xg是增函数；减函数)(xf增函数)(xg是减函数设baxx,21，若有（ 1）2121)()(xxxfxf0，则有baxf,)(在上是增函数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 2 （2）2121)()(xxxfxf0，则有baxf,)(在上是减函数4、复合函数单调性的判断复合函数单调性可简记为“同增异减” ， 即内外函数的单调性相同时递增，相异时递减二、基本练习（一）函数的单调性1、在区间
4、(0 ，)上不是增函数的函数是（）Ay=2x1 By=3x21 C y=x2Dy=2x2x1 2、 、函数 f (x)=x31 在 R上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R上是增函数还是减函数？试证明你的结论3、求证：函数( )(0)af xxax在0,a上是减函数，在,a上是增函数。4、判断函数22(2)444xyxx在( 2,)上的单调性。5、设函数( )f x是(,)上的减函数，则（）A. ( )(2 )f afa B. 2()( )f af a C. 2()( )f aaf a D. 2(1)( )f af a6、函数 f ( x)=21xax在区间 ( 2，)上单调递增，则实数a
5、的取值范围是（）A(0，21) B( 21，)C (2，)D( ， 1)(1，)7、 已知函数 f ( x) 在区间 a， b 上单调 ， 且 f (a) f ( b)0， 则方程 f ( x)=0 在区间 a， b 内 （）A至少有一实根B至多有一实根C 没有实根D必有唯一的实根8、已知定义域为 R的函数 f ( x)在区间 ( ，5)上单调递减，对任意实数t ，都有 f (5 t )f (5t ) ，那么下列式子一定成立的是（）Af ( 1) f (9) f (13) Bf (13) f (9) f ( 1) C f (9) f ( 1)f (13) Df (13) f (1)f (9)
6、9、已知 f(x)在区间(，)上是增函数， a、bR且 ab0， 则下列不等式中正确的是 （）Af(a)f(b)f(a)f(b)Bf(a) f(b)f(a) f( b) ( )ug x( )yf u( )yf g x增增增增减减减增减减减增名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 3 C f(a)f(b)f(a)f(b)Df(a) f(b)f(a) f( b) 10、作出函数 y = x2+2|x|+3 的图象并指出它的的
7、单调区间11、作出函数9696)(22xxxxxf的图象，并指出函数)(xf的单调区间。（二）组合函数的单调性1、已知 f(x) , g(x) 定义在同一区间上， f(x) 是增函数，g(x) 是减函数，且 g(x) 0，则（）A. f(x)+g(x) 为减函数 B. f(x)-g(x)为增函数Cf(x) g(x) 是减函数 D. f(x) g(x)是增函数2、函数 y=x2x12 的值域为 _ _（三）复合函数的单调性1、已知函数 f (x)=82xx2，如果 g(x)=f ( 2 x2 ) ，那么函数 g( x) （） A 在区间 ( 1，0) 上是减函数B在区间 (0 ，1)上是减函数
8、C 在区间 ( 2，0) 上是增函数D 在区间 (0 ，2)上是增函数2、试讨论函数 f ( x)=21x在区间 1，1上的单调性3、函数 f ( x) 在区间 (2，3)上是增函数，则y=f (x5) 的递增区间是（）A(3，8) B( 7，2) C (2，3) D(0 ，5) 4、已知( )g x是,m n 上的减函数，且( )ag xb，( )f x是, a b 上的增函数，求证( )f g x在,m n 上也是减函数。5、已知( )f x是 R上的增函数，令( )(1)(3)F xfxfx，则( )F x是 R上的（）A.增函数 B.减函数 C.先减后增函数 D.先增后减函数 ( 四)
9、 含参函数的单调性1、(1) 已知函数 f(x)= x2-2 （1-m）x+2 的单调减区间是 (- ,4，求实数 m的值。(2) 已知函数 f(x)= x2-2（1-m）x+2在区间 (- ,4上是减函数，求实数m的取值范围。2、函数 f (x) =ax24(a1)x3 在2 ， 上递减，则 a 的取值范围是 _ ( 五) 抽象函数的单调性1、 已知函数( )f x的定义域为 R， 且对m、nR， 恒有()()( )1f mnf mf n， 且1() 02f，当12x时，( )0f x。求证：( )f x是单调递增函数。2、已知函数( )f x对任意实数,x y满足( )( )()2f xf
10、 yf xy，当0 x时，( )2f x（1）求证：( )f x在 R上是增函数；（2）若(1)3f，解不等式(23)3fa名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 4 3、已知函数( )f x对任意实数,x yR，总有( )( )()f xf yf xy，且当0 x时，( )0f x，2(1)3f。（1）求证：( )f x在 R上是减函数；（2）求( )fx在3,3 上的最大值与最小值。4、已知 f(x) 是定义在 R上
11、的函数，并且对任意x, y ，都有 f(x+ y)=f(x)+f(y)-1成立，当x0 时，f(x)1, （1）证明 f (x)在 R上是增函数 ; （2）若 f(4)=5,求 f(2) 的值; （3）若 f(4)=5 ，解不等式 f (3 m2-m-2)f(-m) ，则实数 m的取值范围是（）A. (-,-1 ) B. ( 0,+) C.(-1,0 ) D. (-,-1 )( 0,+ ) 2、已知函数f ( x) 是 R 上的增函数， A(0， 1) 、B(3，1) 是其图象上的两点，那么不等式| f (x 1)| 1 的解集的补集是（） A ( 1，2) B(1，4) C ( ， 1)4
12、，）D (， 1)2 ，）3、已知 f (x) 是定义在 ( 2，2)上的减函数，并且 f ( m 1)f (1 2m ) 0，求实数 m的取值范围4、已知)(xf是定义在 -1 ，1 上的增函数，且xxfxf，求)1()2(的取值范围。已知函数 f(x) 的定义域为（ -1 ，1） ，且满足下列条件：（1）f(x)=-f(-x); （2）f(x) 在定义域上单调递增；（3）f(1-a)=-f(1-a2)0 求实数 a 的取值范围。( 六) 恒成立1、已知函数22( ),1,xxaf xxx。（1）当12a时，求函数( )f x的最小值；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - -
13、 - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 5 （2）若对任意1,x，( )0f x恒成立，试求实数 a的取值范围。2、已知函数 f (x)=xaxx22，x1，（1）当 a=21时，求函数 f (x)的最小值；（2）若对任意x1 ，)，f(x)0 恒成立，试求实数a的取值范围（七）函数的最值1、利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值(1) 12)(2xxxf (2)12)(2xxxf2,2x2、已知2( )2(1)2f xxax在区间1,5x的最小值为(5)f，则 a 的取值
14、范围为3、 、已知 x0,1 ，则函数 y=2x+2-1-x 的最大值为，最小值为。4、函数 f(x)= ax2-2ax+2+b (a 0) 在2,3 上有最大值 5 和最小值 2，求 a, b 的值. 5、已知函数 f(x)= -4x2+4ax-4a-a2在0,1 内有最大值 -5，求 a 的值。6、函数( )2xf xx在区间2,4上的最大值为 _，最小值为 _. 7、求函数4522xxy的最小值8、对于任意Rx，函数xf表示3x，2123x，342xx中的较大者，则xf的最小值是_. 9、已知函数223( )xxf xx2,x. （1）求( )fx的最小值；（2）若( )f xa恒成立，求a的取值范围 . 10、如图，把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长为x，面积为 y 试将 y 表示成 x 的函数，并画出函数的大致图象，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？25 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -