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1、常州庠序教育个性化培训中心高一函数单调性基础知识总结一、单调函数的定义设函数的定义域为I,如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量当时，都有，那么就说函数在区间D 上是增函数，I称为xfy的单调增区间当时，都有，那么就说函数在区间D 上是减函数，I称为xfy的单调减区间如果函数xfy在区间 I 上是单调增函数或是单调减函数，那么就说函数xfy在区间 I 上具有单调性。单调增区间和单调减区间统称为单调区间。对函数单调性德理解应把握以下几个方面：（1）函数的单调性是函数在某个区间上的整体性质这个区间可以是整个定义域如： y=2x 在整个定义域，上是单调增函数2x 在整个定义域，上是单调减
2、函数。这个区间也可以是定义域的真子集如： y12x在定义域，上不具有单调性，但，0 上市单调减函数，在 0 ， 上是单调增函数。（2）并不是所有的函数都具有单调性，有的函数不具有单调性如： y=2 是常数函数且定义域为R，函数值不随x 的变化而变化，因此不具有单调性。（3）区间端点的写法对于单独的一点， 由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化， 所以不存在单调性问题，因此在写单调区间时，包括端点可以，不包括端点也可以，但对于某些无意义时单调区间就不包括这些点（4）函数单调性定义中的xx21必须满足任意性，不可以随便选两个特殊值（5）单调性的讨论必须在一个区间上如：,1xxf当x， 0时，
3、是单调减函数，当x0，时，也是单调减函数。担当x， 0 0，时，就不具有单调性。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 3 页 - - - - - - - - - 常州庠序教育个性化培训中心（6）注意一些与单调性的定义类似的结论：若xx21是xfy定义域的任意两值，且02121xxxxff，则在其定义域内位单调增函数；若02121xxxxff，则在其定义域内为单调减函数（7）函数单调性的几何意义：单调增函数：在定义区间上图像从左到右上升单调减函数：在定义区间上图像
4、从左到右下降二、判定函数单调性的常用方法（1）定义法：若要证明在a， b上是单调递增的， 就必须证明对于区间a， b上任意的xx21，两个自变量的值，当时都有成立。若要证明在a，b上不是单调递增的，只需举出一个反例就足够了，即只要找到两个特殊的，满足 a b，而xf1xf2即可用定义证明函数单调性的一般步骤：取值：即设是该区间内的任意两个值，且. 作差：即，并通过通分、配方、因式分解等方法，向有利于判断差的符号的方向变形。定号：根据给定的区间和符号，确定差的符号。判断：根据定义得出结论。（2）运算性质法函数与 a，当 a0 时有相同的单调性。当a0时有相反的单调性当函数恒为正或恒为负时，与xf
5、1具有相反的单调性若 0，则与xf具有相同的单调性如、xg的单调性相同，则+xg的单调性与、xg的单调性相同如、xg的单调性相同反，则xg的单调性与的单调性相同名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 3 页 - - - - - - - - - 常州庠序教育个性化培训中心（3）图像法：根据函数的图像判断函数在某区间上的单调性（4）复合函数的单调性的判断：定义：设 y=f(u),u=g(x),当 x 在 u=g(x)的定义域中变化时，u=g(x) 的值在y=f(u)的
6、定义 域 内 变 化 ， 因 此 变 量x与y之 间 通 过 变 量u 形 成 的 一 种 函 数 关 系 ， 记 为y=f(u)=fg(x)称为复合函数，其中x 称为自变量，u 为中间变量，y 为因变量( 即函数) 复合函数fg(x)的单调性与构成它的函数u=g(x) ，y=f(u) 的单调性密切相关，其规律如下：函数单调性( )ug x增增减减( )yf u增减增减( )yfg x增减减增这种规律简称为“同增异减”名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 3 页 - - - - - - - - -