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1、2一、主要内容一、主要内容3456789题型题型 1 向量的运算向量的运算(1) 利用向量利用向量的运算求其他的运算求其他向量向量 (如例如例 1 3);(2 ) 利用向量利用向量的运算求极限的运算求极限 (如例如例 4);(3 ) 利用向量利用向量的运算解答几何问题的运算解答几何问题 (如例如例 5 8).10 例例 1 已知向量已知向量 , , , 求一单位向量求一单位向量 , 使使 , 且且 、 、 共面共面.解解ia kjb2 kjic 22 c ab),(zyx 设设则由题设得则由题设得.1 | bac 210001 kjiba,2kj 11,020221222 zyzyxzyx解得
2、解得,32 x,31 y,32 z).32,31,32( 12 例例 2 设设 , , 求求 与与 的夹角的夹角.解解)27()4(baba a)57()3(baba b),57()3(baba ),27()4(baba , 0)57()3( baba, 0)27()4( baba即即, 0|1516|722 bbaa. 0|830|722 bbaa两式相减两式相减, 得得,|23462bba .|212bba 13代入上式代入上式, 得得|,| |ba |),cos(bababa |212bbb ,21 .3),( ba从而从而14 例例 3 已知向量已知向量 , , , 求与求与 , 同时
3、垂直且在同时垂直且在 上的投影为上的投影为 1 的向量的向量 .解解)1 , 3, 2( a)3 , 2, 1( b)2 , 1 , 2( cabcvv同时垂直于同时垂直于,ba./bav 而而321132 kjiba,57kji 由两向量平行的条件由两向量平行的条件, 得得).(batv )(batv ),5,7(ttt 15tttcv2514 .21t , 1|Pr ccvvjc, 121221222 t解得解得,71 t).71,75, 1( v所求向量为所求向量为16例例 4 求极限求极限 .解解)0 |(| |lim0 axbxabxaxxbxabxax|lim0 |)|(|lim2
4、20bxabxaxbxabxax |)|(|)()()()(lim0bxabxaxbxabxabxabxax |)|(|4lim0bxabxaxbaxx .|2aba 17 例例 5 设设 , , , 求以向量求以向量 , 为邻边的平行四边形的对角线的长为邻边的平行四边形的对角线的长.解解2 | p3 | q3),( qp aqpb3 由向量加减法的平行四边形法则由向量加减法的平行四边形法则, 平行四边形平行四边形的对角线向量为的对角线向量为 与与 ,ba ba 所求对角线的长为所求对角线的长为 与与 ,|ba |ba | )3()2( | | qpqpba |23| qp )23()23(
5、qpqp 22|412|9 qqpp qp 21822343cos321229 ,36 同理同理|4| |qpba 22|168| qqpp .312 19例例 6 已知向量已知向量 , , , aAB 解解bAC 2 ADB(1) 求证求证;|2|2bbabaSADB (2) 当当 与与 的夹角的夹角 为何值时为何值时ADB 的面积最大的面积最大?ab ADCB(1)|21BDADSADB sin|cos|21aa .cossin|212 a 20,cos| | baba ,sin| | baba , |cosbaba , |sinbaba | |212babababaaSADB . |2|
6、2bbaba (2) cossin|212aSADB ,2sin|412 a 当当 , 即即 时时, ADB 的面积最大的面积最大.4 12sin 21 例例 7 证明向量证明向量 和向量和向量 与与 的夹的夹角平分线向量共线角平分线向量共线.| | |baabbac ab证明证明则则设向量设向量 与与 的夹角的夹角ab平分线向量为平分线向量为 , dbaeed | |bbaa | | |baabba abaebed22| | | | |baabbababa .| | |cbaba 向量向量 与与 共线共线,cd即向量即向量 和和 与与 的夹角平分线向量共线的夹角平分线向量共线.cab| |
7、|baba 表示一个数表示一个数,23 例例 8 设设 D, E, F 分别为分别为 ABC 各边的中点各边的中点, AD, BE, CF 为各边的中线为各边的中线, 这三条中线交于这三条中线交于G, 求证求证:.2GFCG CABFDEG 证明证明),(21CBCACF CFCG ),(2CBCA DAGA ),21(CACB 24GACGCA )21()(2CACBCBCA . 0)22()2( CBCA 与与 不共线不共线,CACB,02202 解得解得,32 因此因此,32CFCG 即即.2GFCG 25题型题型 2 求平面的方程求平面的方程(1) 利用点法式求平面的方程利用点法式求平
8、面的方程 (如例如例 1);(2) 利用一般式求平面的方程利用一般式求平面的方程 (如例如例 2);(3) 利用平面束求平面的方程利用平面束求平面的方程 (如例如例 3);(4) 利用轨迹法求平面的方程利用轨迹法求平面的方程 (如例如例 4).26 例例 1 求过点求过点 (1, 0, 2) 且平行于向量且平行于向量 和和 的平面的方程的平面的方程.)2 , 1, 1( a)0 , 1 , 2( b解解 所求平面平行于向量所求平面平行于向量),2 , 1, 1( a),0 , 1 , 2( b可取所求平面的法线向量为可取所求平面的法线向量为ban 012211 kji,342kji 由平面的点
9、法式方程由平面的点法式方程, 得所求平面的方程为得所求平面的方程为, 0)2(3)0(4)1(2 zyx即即. 04342 zyx27 例例 2 设一平面垂直于平面设一平面垂直于平面 z = 0, 并通过从点并通过从点 (1, - -1, 1) 到直线到直线 的垂线的垂线, 求此平面的方程求此平面的方程. 001xzy解解21nns 001110 kji.kj 所给直线的方向向量为所给直线的方向向量为 过点过点 (1, - -1, 1) 且以且以 为法线向量的为法线向量的平面方程为平面方程为)1, 1, 0( s, 0)1(1)1(1)1(0 zyx28即即. 0 zy 0001zyxzy由方
10、程组由方程组解得垂足为解得垂足为).21,21, 0( 所求平面垂直于平面所求平面垂直于平面 z = 0, 可设所求平面的方程为可设所求平面的方程为 . 0 DByAx又所求平面过点又所求平面过点 (1, - -1, 1) 及垂足及垂足 ).21,21, 0( ,0210 DBDBA29解得解得 B = 2D, A = D,所求平面的方程为所求平面的方程为 , 02 DDyDx即即. 012 yx30 例例 3 求过直线求过直线 且与平面且与平面 x - - 4y 8z + 12 = 0 成成 角的平面方程角的平面方程. 0405zxzyx解解 设过所给直线的平面束方程为设过所给直线的平面束方
11、程为, 0)4(5 zxzyx 即即. 04)1(5)1( zyx所求平面与已知平面的夹角为所求平面与已知平面的夹角为4,4,)1(5)1()8()4(1)8()1()4(51)1(4cos222222 31解得解得,43 所求平面的方程为所求平面的方程为. 012720 zyx, 0)4(435 zxzyx即即32 例例 4 求平面求平面 和和 的夹角的平分面的方程的夹角的平分面的方程.0523 zyx0323 zyx解解 设设 M (x, y, z) 为角平分面上的任一点为角平分面上的任一点, 则有则有,2)3(1|323|2)3(1|523|222222 zyxzyx即即),323(52
12、3 zyxzyx所求角平分面的方程为所求角平分面的方程为0832 zyx或或. 0254 zyx33题型题型 3 求空间直线的方程求空间直线的方程(1) 利用对称式求直线的方程利用对称式求直线的方程 (如例如例 1 2);(2) 利用一般式求直线的方程利用一般式求直线的方程 (如例如例 5(1);(3) 求点到平面的距离求点到平面的距离 (如例如例 3);(4) 求点到直线的距离求点到直线的距离 (如例如例 4);(5) 求两异面直线间的距离求两异面直线间的距离 (如例如例 5(2).34例例 1 求过点求过点 M0 (1, 1, 1) 且与直线且与直线,12 :1 xzxyL 1243 :2
13、xzxyL解解都相交的直线都相交的直线 L 的方程的方程.将两已知直线方程化为参数方程将两已知直线方程化为参数方程, 得得,12:1 tztytxL.1243:2 tztytxL 设所求直线设所求直线 L 与与 L1, L2 的交点为的交点为 M1 (t1, 2t1, t1 - - 1), M2 (t2, 3t2 - - 4, 2t1 - - 1),L1L2L0M1M2M35M0 , M1, M2 三点共线三点共线,2010MMMM (为实数为实数),即即,1)12(1)1(1)43(1211212121 tttttt解得解得 t1 = 0, t2 = 2,直线直线 L 与与 L1, L2 的
14、交点为的交点为 M1 (0, 0, - -1), M2 (2, 2, 3). 点点 M0 (1, 1, 1), M2 (2, 2, 3) 都在直线都在直线 L 上上,所求直线所求直线 L 的方程为的方程为.211111 zyx36 例例 2 求过点求过点 (- -1, 0, 4) 且平行于平面且平行于平面 3x 4y + z 10 = 0 又与直线又与直线 相交的直线的方程相交的直线的方程.21311zyx 解解 设所求直线的方程为设所求直线的方程为,41pznymx 则其参数方程为则其参数方程为.41 ptzntymtx代入所给直线的方程代入所给直线的方程, 得得,24131ptntmt ,
15、 3 ntmt)1( .102 ntpt37所求直线与已知平面平行所求直线与已知平面平行,ns 即即, 043 pnm两边同乘以两边同乘以 t, 得得)2( , 043 ptntmt由由 (1)、(1) 解得解得 mt = 16, nt = 19, pt = 28,所求直线的方程为所求直线的方程为.28419161 zyx38 例例 3 求两平行平面求两平行平面 与与之间的距离之间的距离.01 DCzByAx02 DCzByAx解解设设 P0 (x0, y0, z0) 为平面为平面上一点上一点,01 DCzByAx则有则有. 01000 DCzByAx 两平行平面之间的距离就是一个平面上任一点
16、两平行平面之间的距离就是一个平面上任一点到另一个平面的距离到另一个平面的距离,2222000|CBADCzByAxd .|22212CBADD 39 例例 4 求点求点 M (1, 1, 4) 到直线到直线的距离的距离.241312 : zyxL解法解法 1 设点设点 M (1, 1, 4) 到直线到直线 L 的距离为的距离为 d.M0MLsd由图可知由图可知, 点点 M 到直线到直线 L 的距的距离等于平行四边形的高离等于平行四边形的高.由向量积的几何意义由向量积的几何意义, 得得,| |0dssMM 40. | |0ssMMd 2110210 kjisMM,24kji ),2 , 1 ,
17、1( s 211 12)4(222222 d. 2 14 41解法解法 2过点过点 M (1, 1, 4) 且垂直于直线且垂直于直线 L 的平面的平面 为为. 0)4(2)1()1( zyxLMN所给直线的参数方程为所给直线的参数方程为.2432 tztytx代入平面代入平面 的方程的方程, 得得,21 t直线直线 L 与平面与平面 的交点坐标为的交点坐标为),3 ,25,23(N )34()251()231(222 d. 2 14 42 例例 5 设设 与与 为异面直线为异面直线, 求求: (1) L1与与 L2 的公垂线方程的公垂线方程; (2) L1与与 L2 的距离的距离.11211
18、:1 zyxL解解10122 :2zyxL (1)21sss 102121 kji.432kji 由题意知由题意知, L1与与 L2 的公垂线的方向向量可取的公垂线的方向向量可取43 L1 与公垂线所确定平面与公垂线所确定平面1的法线向量可取为的法线向量可取为)(2111sssn 432121 kji,7211kji 过点过点 (1, 0, - -1) 的平面的平面1的方程为的方程为, 0)1(7)0(2)1(11 zyx即即. 0187211 zyx同理同理, L2 与公垂线所确定平面与公垂线所确定平面2 的法线向量可取为的法线向量可取为44)(2122sssn 432102 kji,610
19、3kji 过点过点 (- -2, 1, 0) 的平面的平面2 的方程为的方程为, 0)0(6)1(10)2(3 zyx即即, 046103 zyx L1与与 L2 的公垂线的方程为的公垂线的方程为.0461030187211 zyxzyx45(2)1L2LMN1M2M解法解法 1 M1 (1, 0, - -1)L1, M2 (- -2, 1, 0)L2, 向量向量 在公垂在公垂线上的投影的绝对值就是线上的投影的绝对值就是 L1与与 L2 的距离的距离 d.21MM),1 , 1 , 3(21 MM|Pr| 21MMjds |21sMMs 4)3(2|41)3(123|222 . 295 46过
20、过 L1且平行于且平行于 L2 的平面的平面 的程为的程为解法解法 2, 0)1(4)0(3)1(2 zyx即即. 02432 zyx L1与与 L2 的距离的距离 d 就是点就是点 M2 (- -2, 1, 0) 到平面到平面 的距离的距离, 4)3(2|20413)2(2|222 d. 295 47题型题型 4 求空间曲面方程与投影曲线方程求空间曲面方程与投影曲线方程(1) 求空间曲面的方程求空间曲面的方程 (如例如例 1 3);(2) 求空间曲线在坐标面上的投影求空间曲线在坐标面上的投影 (如例如例 4).48 例例 1 求内切于平面求内切于平面 x + y + z = 1 与三个坐标面
21、所与三个坐标面所构成四面体的球面方程构成四面体的球面方程.yxzO0M解解 设球心为设球心为 M0(x0, y0, z0), 则它位于第一卦限则它位于第一卦限, 且且.000Rzyx ,111|1|222000 zyxR.111|1|000222000zyxzyx 49,33100 xx ,1000 zyx,6333310 x同理同理,63300 zy因此所求球面方程为因此所求球面方程为 .)633()633(633)633(2222 zyx50 例例 2 求直线求直线 绕绕 z 轴旋转一周所轴旋转一周所得旋转曲面的方程得旋转曲面的方程.1101 :zyxL 解解 在直线在直线 L 上任取点上
22、任取点 P0 (x0, y0, z0), 则必有则必有 x0 = 1. 当直线当直线 L 绕绕 z 轴旋转时轴旋转时, 动点动点 P0 的高度的高度 z = z0 保持保持不变不变; 动点动点 P0 到到 z 轴的距离轴的距离 r 也保持不变也保持不变,20202yxr 201y .22yx 又由直线知又由直线知 y0 = z0 ,上式又可写成上式又可写成20221yyx 201z ,12z 故所求旋转曲面的方程为故所求旋转曲面的方程为. 1222 zyx51 例例 3 设柱面的母线平行于直线设柱面的母线平行于直线 x = y = z, 其准线其准线为为求柱面的方程求柱面的方程.,01 :22
23、2 zyxzyx解解 设设 M (x, y, z ) 为柱面上任一点为柱面上任一点,该点所在的母该点所在的母线与准线线与准线 相交于点相交于点 M1 (x1, y1, z1), 则向量则向量 平行平行MM1于直线于直线 x = y = z,)1( .111111zzyyxx 52,1M )2( , 1212121 zyx)3( . 0111 zyx由由 (1) 得得),(11xxyy ),(11xxzz 代入代入 (3) 得得,321zyxx 由对称性由对称性, 同样有同样有,321xzyy .321yxzz 将将 x1, y1, z1 代入代入 (2), 得所求柱面方程为得所求柱面方程为. 3)()()(222 xzzyyx53 例例 4 求曲面求曲面 与与 在坐标面在坐标面上的投影上的投影.222ayx 222azy 解解 两曲面的交线为两曲面的交线为,222222 azyayx其交线在其交线在 xOy 坐标面上的投影为坐标面上的投影为;0222 zayx在在 yOz 坐标面上的投影为坐标面上的投影为;0222 xazy在在 zOx 坐标面上的投影为坐标面上的投影为).( 0axayxz 54结束语结束语