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1、第一节第一节 空间直角坐标系空间直角坐标系引引 我们学过平面直角坐标系，平面上的点都对应我们学过平面直角坐标系，平面上的点都对应平面直角坐标系上的一个二维坐标平面直角坐标系上的一个二维坐标. .那么，在空间那么，在空间中，如何建立坐标系，以表示空间点呢？中，如何建立坐标系，以表示空间点呢？ 这样这样, 利用空间直角坐标系利用空间直角坐标系, 就在有序数组就在有序数组 ( x , y , z ) 与空间中的点与空间中的点 M 之间建立了一一对应关系之间建立了一一对应关系. 有序数组有序数组 ( x , y , z ) 称为点称为点 M 的坐标的坐标. 其中其中 x , y 和和 z 分别称为点分
2、别称为点 M 的横坐标、纵坐标和竖坐标的横坐标、纵坐标和竖坐标. 在在以后的表述中以后的表述中, 常把一个点和表示这个点的坐标不加常把一个点和表示这个点的坐标不加区别区别, 所说的给定一个点所说的给定一个点, 就是给定这个点的坐标就是给定这个点的坐标; 所说的求一个点所说的求一个点, 就是求这个点的坐标就是求这个点的坐标. 坐标面和坐标轴上的点的坐标都有一定的特点坐标面和坐标轴上的点的坐标都有一定的特点.如如 xOy 面上的点面上的点, 竖坐标竖坐标 z = 0; zOx 面上的点面上的点, 其纵其纵坐标坐标 y = 0 ; yOz 面上的点面上的点, 其横坐标其横坐标 x = 0 ; z 轴
3、上轴上的点横、纵坐标均为零的点横、纵坐标均为零, 即即 x = 0, y = 0. 同样同样, x 轴轴上的点有上的点有 y = 0 , z = 0 ; y 轴上的点有轴上的点有 x = 0 , z = 0 ; 原点的三个坐标均为零原点的三个坐标均为零. 从点从点 M ( x , y , z ) 引垂直于引垂直于 xOy 面的直线面的直线, 直线直线与与 xOy 面的交点面的交点 N ( x , y , 0 ) 称为点称为点 M 在在 xOy 面的面的投影投影. 在在 MN 的延长线上取一点的延长线上取一点 P , 使点使点 P 到到 xOy 面面的距离等于点的距离等于点 M 到到 xOy 面
4、的距离面的距离, 称点称点 P 是点是点 M 关关于于 xOy 面的对称点面的对称点, 点点 M 的坐标为的坐标为 ( x , y , z ) . 类似地类似地, 点点 M 关于关于 x 轴的对称点的坐标为轴的对称点的坐标为 ( x , y , z ) , 关于原点的对称点的坐标为关于原点的对称点的坐标为 ( x , y , z ) . 点点 M 关于其他坐标面、坐标轴的对称点与此完全类似关于其他坐标面、坐标轴的对称点与此完全类似.各卦限内各卦限内, 点的坐标符号为点的坐标符号为: ( + , + , + ) , : ( + , , ) .: ( , , ) , : ( , + , ) ,:
5、( + , + , ) , : ( + , , + ) , : ( , , + ) ,: ( , + , + ) ,二、空间中两点间的距离二、空间中两点间的距离 对空间中两点对空间中两点 M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) 和和 M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) , 可用其坐标表示它们之间的距离可用其坐标表示它们之间的距离 d . 过过 M 1 , M 2 两点各做三个分别垂直于三条坐标两点各做三个分别垂直于三条坐标轴的平面轴的平面. 这这 6 个平面围成以个平面围成以 M 1 , M 2 为顶点的长为顶点的长方体方体, 见图见图 6 4 .xyzo 1MPNQR 2
6、M图图 6 4 由勾股定理得由勾股定理得222221212,dM MM PPNNM222212121()()() .dxxyyzz即即 特殊地特殊地, 点点 M ( x , y , z ) 到原点到原点 O ( 0 , 0 , 0 ) 的距离为的距离为222.dxyz 例例1 在在 z 轴上求一点轴上求一点 M , 使点使点 M 到点到点 A ( 1, 0, 2 ) 和点和点 B ( 1, - 3, 1 ) 的距离相等的距离相等. 解解 因为所求的点因为所求的点 M 在在 z 轴上轴上, 故点故点 M 的坐标的坐标应为应为 ( 0 , 0 , z ) . 根据题意根据题意, 有有 222222
7、(0 1)(00)(2)(0 1)(03)(1) ,zz解得解得 z = 3 , 即点即点 M 的坐标是的坐标是 ( 0 , 0 , 3 ) . 例例2 已知一动点已知一动点 M ( x , y , z ) 到两点到两点 A ( 1, 2, 3 ) 和和 B ( 1 , 3 , 0 ) 的距离总是相等的距离总是相等, 求动点求动点 M 的坐的坐标所满足的方程标所满足的方程. 解解 由已知条件由已知条件, 有有222222(1)(2)(3)(1)(3),xyzxyz两端平方后整理两端平方后整理, 得得 2 x + 5 y + 3 z 2 = 0 , 即动点即动点 M 的坐标应满足这个三元一次方程的坐标应满足这个三元一次方程.