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1、向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何PPT2一、主要内容一、主要内容3456789题型题型 1 向量的运算向量的运算(1) 利用向量利用向量的运算求其他的运算求其他向量向量 (如例如例 1 3);(2 ) 利用向量利用向量的运算求极限的运算求极限 (如例如例 4);(3 ) 利用向量利用向量的运算解答几何问题的运算解答几何问题 (如例如例 5 8).10 例例 1 已知向量已知向量 , , , 求一单位向量求一单位向量 , 使使 , 且且 、 、 共面共面.解解ia kjb2 kjic 22 c ab),(zyx 设设则由题设得则由题设得.1 | bac 210001 kjiba,2k
2、j 11,020221222 zyzyxzyx解得解得,32 x,31 y,32 z).32,32,32( 12 例例 2 设设 , , 求求 与与 的夹角的夹角.解解)27()4(baba a)57()3(baba b),57()3(baba ),27()4(baba , 0)57()3( baba, 0)27()4( baba即即, 0|1516|722 bbaa. 0|830|722 bbaa两式相减两式相减, 得得,|23462bba .|212bba 13代入上式代入上式, 得得|,| |ba |),cos(bababa |212bbb ,21 .3),( ba从而从而14 例例 3
3、 已知向量已知向量 , , , 求与求与 , 同时垂直且在同时垂直且在 上的投影为上的投影为 1 的向量的向量 .解解)1 , 3, 2( a)3 , 2, 1( b)2 , 1 , 2( cabcvv同时垂直于同时垂直于,ba./bav 而而321132 kjiba,57kji 由两向量平行的条件由两向量平行的条件, 得得).(batv )(batv ),5,7(ttt 15tttcv2514 .21t , 1|Pr ccvvjc, 121221222 t解得解得,71 t).71,75, 1( v所求向量为所求向量为16例例 4 求极限求极限 .解解)0 |(| |lim0 axbxabx
4、axxbxabxax|lim0 |)|(|lim220bxabxaxbxabxax |)|(|)()()()(lim0bxabxaxbxabxabxabxax |)|(|4lim0bxabxaxbaxx .|2aba 17 例例 5 设向量设向量 , , , 求以向量求以向量 , 为邻边的平行四边形的对角线的为邻边的平行四边形的对角线的长长.解解2 | p3 | q3),( qpqpa 2qpb3 由向量加减法的平行四边形法则由向量加减法的平行四边形法则, 平行四边形平行四边形的对角线向量为的对角线向量为 与与 ,ba ba 所求对角线的长为所求对角线的长为 与与 ,|ba |ba | )3(
5、)2( | | qpqpba |23| qp )23()23( qpqp 22|412|9 qqpp 1822343cos321229 ,36 同理同理|4| |qpba 22|168| qqpp .312 19例例 6 已知向量已知向量 , , , aAB 解解bAC 2 ADB(1) 求证求证;|2|2bbabaSADB (2) 当当 与与 的夹角的夹角 为何值时为何值时ADB 的面积最大的面积最大?ab ADCB(1)|21BDADSADB sin|cos|21aa .cossin|212 a 20,cos| | baba ,sin| | baba , |cosbaba , |sinba
6、ba | |212babababaaSADB . |2|2bbaba (2) cossin|212aSADB ,2sin|412 a 当当 , 即即 时时, ADB 的面积最大的面积最大.4 12sin 21 例例 7 证明向量证明向量 和和 与与 的夹角平的夹角平分线向量共线分线向量共线.| | |baabbac ababaebe证明证明 由平面几何知识可知由平面几何知识可知,向量向量 与与 的夹角平分线向量的夹角平分线向量 就就是是 的单位向量的单位向量 与与 的单位向量的单位向量 的和的和, aeabbeabdbaeed | |bbaa | | |baabba 22| | | | |ba
7、abbababa .| | |cbaba 向量向量 与与 共线共线,cd即向量即向量 和和 与与 的夹角平分线向量共线的夹角平分线向量共线.cab| | |baba 表示一个数表示一个数,23 例例 8 设设 D, E, F 分别为分别为 ABC 各边的中点各边的中点, AD, BE, CF 为各边的中线为各边的中线, 这三条中线交于这三条中线交于G, 求证求证:.2GFCG CABFDEG 证明证明),(21CBCACF CFCG ),(2CBCA DAGA ),21(CACB 24GACGCA )21()(2CACBCBCA . 0)22()2( CBCA 与与 不共线不共线,CACB,02202 解得解得,32 因此因此,32CFCG 即即.2GFCG 25结束语结束语