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1、高一人教A版数学必修第二册第十章10.1.3 古典概型学习目标 1. 结合具体实例，理解古典概型的特征； 2. 能计算古典概型中简单随机事件的概率. 研究随机现象，最重要的是知道随机事件发生的可能性大小. 对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示. 【思考1】在10.1.1节中，我们讨论过抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验.观察它们的样本点及样本空间，它们的共同特征有哪些?1. 抛掷一枚质地均匀硬币，观察它落地时哪一面朝上，写出试验的样本空间.1=正面朝上，反面朝上.2. 抛掷一枚质地均匀骰子，观察它落地时朝上的面的点数，写出试验的样本空间
2、.2=1,2,3,4,5,6.3. 抛掷两枚质地均匀硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，写出试验的样本空间.3=(正面，正面)，(正面，反面)，(反面，正面)，(反面，反面).有限性有限性 ，等可能性，等可能性 (1)有限性:样本空间的样本点只有有限个; (2)等可能性:每个样本点发生的可能性相等. 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.一、古典概型的定义（单选题）下列试验中，属于古典概型的是（ ）A在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点B某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，10环C某小组有男生5人，女生3人，从中
3、任选1人做演讲D一只使用中的灯泡寿命长短不符合等可能性不符合等可能性不符合有限性不符合有限性不符合有限性和等可能性不符合有限性和等可能性C符合有限性和等可能性符合有限性和等可能性 【思考2】考虑下面两个随机试验，如何度量事件A和事件B发生的可能性大小? （1）一个班级中有18名男生、22名女生.采用抽签的方式，从中随机选择一名学生，事件A=“抽到男生”； （2）抛掷一枚质地均匀的硬币3次，事件B=“恰好一次正面朝上”. 【思考3】考虑下面两个随机试验，如何度量事件A和事件B发生的可能性大小? （2）抛掷一枚质地均匀的硬币3次，事件B=“恰好一次正面朝上”. 对于问题（2），抛掷一枚质地均匀的硬
4、币1次，有2种等可能的结果，将三次抛掷硬币的结果配对，组成抛掷硬币3次的8种等可能的结果.我们用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则试验的样本空间=（1，1，1），（1，1，0），（1，0，1），（1，0，0）， （0，1，1），（0，1，0），（0，0，1），（0，0，0），借助借助树状图树状图帮助理解：帮助理解： 【思考3】考虑下面两个随机试验，如何度量事件A和事件B发生的可能性大小? （2）抛掷一枚质地均匀的硬币3次，事件B=“恰好一次正面朝上”. 法国数学家拉普拉斯在1812年把该式作为概率的一般定义，现在我们称它为概率的古典定义. (1)有限性:样本空间的样本点只有有
5、限个; (2)等可能性:每个样本点发生的可能性相等. 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.二、古典概型中随机事件的概率计算 例7 单项选择题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案.如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案.假设考生有一题不会做，他随机地选择一个答案，答对的概率是多少?三、古典概型的应用 【思考4】在标准化考试中也有多选题，多选题是从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中至少有一个选项是正确的）.你认为单选题和多选题哪种更难选对?为什么？ 例8 抛掷两枚质地均匀的骰子
6、（标记为号和号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果. （1）写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型； （2）求下列事件的概率： A =“两个点数之和是5”； B =“两个点数相等”； C =“号骰子的点数大于号骰子的点数”. 例8 抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为号和号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果. （1）写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型； 解：（1）抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，号骰子的每一个结果都可与号骰子的任意一个结果配对，组成掷两枚骰子试验的一个结果.用数字m表示号骰子出现的点数是m，数字n表示号骰子出现的点数是n，则数组（m，n）表示这个
7、试验的一个样本点.因此该试验的样本空间=(m，n)|m，n1，2，3，4，5，6，其中共有36个样本点. 由于骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型.号号号号1 12 23 34 45 56 61 1（1 1，1 1）（1 1，2 2）（1 1，3 3）（1 1，4 4）（1 1，5 5）（1 1，6 6）2 2（2 2，1 1）（2 2，2 2）（2 2，3 3）（2 2，4 4）（2 2，5 5）（2 2，6 6）3 3（3 3，1 1）（3 3，2 2）（3 3，3 3）（3 3，4 4）（3 3，5 5）（3 3，6 6）4 4（4 4，1 1）（4 4
8、，2 2）（4 4，3 3）（4 4，4 4）（4 4，5 5）（4 4，6 6）5 5（5 5，1 1）（5 5，2 2）（5 5，3 3）（5 5，4 4）（5 5，5 5）（5 5，6 6）6 6（6 6，1 1）（6 6，2 2）（6 6，3 3）（6 6，4 4）（6 6，5 5）（6 6，6 6）借助借助表格表格帮助理解：帮助理解：号号号号1 12 23 34 45 56 61 1（1 1，1 1）（1 1，2 2）（1 1，3 3）（1 1，4 4）（1 1，5 5）（1 1，6 6）2 2（2 2，1 1）（2 2，2 2）（2 2，3 3）（2 2，4 4）（2 2，5 5）
9、（2 2，6 6）3 3（3 3，1 1）（3 3，2 2）（3 3，3 3）（3 3，4 4）（3 3，5 5）（3 3，6 6）4 4（4 4，1 1）（4 4，2 2）（4 4，3 3）（4 4，4 4）（4 4，5 5）（4 4，6 6）5 5（5 5，1 1）（5 5，2 2）（5 5，3 3）（5 5，4 4）（5 5，5 5）（5 5，6 6）6 6（6 6，1 1）（6 6，2 2）（6 6，3 3）（6 6，4 4）（6 6，5 5）（6 6，6 6） 例8 抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为号和号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果 (2)求下列事件的概率：A=“两个点数之和
10、是5”；号号号号1 12 23 34 45 56 61 1（1 1，1 1）（1 1，2 2）（1 1，3 3）（1 1，4 4）（1 1，5 5）（1 1，6 6）2 2（2 2，1 1）（2 2，2 2）（2 2，3 3）（2 2，4 4）（2 2，5 5）（2 2，6 6）3 3（3 3，1 1）（3 3，2 2）（3 3，3 3）（3 3，4 4）（3 3，5 5）（3 3，6 6）4 4（4 4，1 1）（4 4，2 2）（4 4，3 3）（4 4，4 4）（4 4，5 5）（4 4，6 6）5 5（5 5，1 1）（5 5，2 2）（5 5，3 3）（5 5，4 4）（5 5，5
11、5）（5 5，6 6）6 6（6 6，1 1）（6 6，2 2）（6 6，3 3）（6 6，4 4）（6 6，5 5）（6 6，6 6） 例8 抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为号和号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果 （2）求下列事件的概率：B=“两个点数相等”；号号号号1 12 23 34 45 56 61 1（1 1，1 1）（1 1，2 2）（1 1，3 3）（1 1，4 4）（1 1，5 5）（1 1，6 6）2 2（2 2，1 1）（2 2，2 2）（2 2，3 3）（2 2，4 4）（2 2，5 5）（2 2，6 6）3 3（3 3，1 1）（3 3，2 2）（3 3，3 3）（
12、3 3，4 4）（3 3，5 5）（3 3，6 6）4 4（4 4，1 1）（4 4，2 2）（4 4，3 3）（4 4，4 4）（4 4，5 5）（4 4，6 6）5 5（5 5，1 1）（5 5，2 2）（5 5，3 3）（5 5，4 4）（5 5，5 5）（5 5，6 6）6 6（6 6，1 1）（6 6，2 2）（6 6，3 3）（6 6，4 4）（6 6，5 5）（6 6，6 6） 例8 抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为号和号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果 （2）求下列事件的概率：C=“号骰子的点数大于号骰子的点数”.归纳 求解古典概型问题的一般思路： (1)明确试验的条件及要
13、观察的结果，用适当的符号（字母、数字、数组等）表示试验的可能结果（借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果）； (2)根据实际问题情境判断样本点的等可能性； (3)计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率. 例9 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率: (1) A =“第一次摸到红球”； (2) B =“第二次摸到红球”； (3) AB =“两次都摸到红球”. 解:将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5.第一次摸球时有5种等可能的结果，采用不放回地依次随机摸球，对应第一次摸球的每个可能结果
14、，第二次摸球时都有4种等可能的结果。将两次的结果配对，组成20种等可能的结果，这个试验是古典概型，用下表表示. 第二次第二次第一次第一次1 12 23 34 45 51 1（1 1，2 2）（1 1，3 3）（1 1，4 4）（1 1，5 5）2 2（2 2，1 1）（2 2，3 3）（2 2，4 4）（2 2，5 5）3 3（3 3，1 1）（3 3，2 2）（3 3，4 4）（3 3，5 5）4 4（4 4，1 1）（4 4，2 2）（4 4，3 3）（4 4，5 5）5 5（5 5，1 1）（5 5，2 2）（5 5，3 3）（5 5，4 4） 例9 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其
15、中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率: (1)A = “第一次摸到红球”；第二次第二次第一次第一次1 12 23 34 45 51 1（1 1，2 2）（1 1，3 3）（1 1，4 4）（1 1，5 5）2 2（2 2，1 1）（2 2，3 3）（2 2，4 4）（2 2，5 5）3 3（3 3，1 1）（3 3，2 2）（3 3，4 4）（3 3，5 5）4 4（4 4，1 1）（4 4，2 2）（4 4，3 3）（4 4，5 5）5 5（5 5，1 1）（5 5，2 2）（5 5，3 3）（5 5，4 4） 例9 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2
16、个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率: (2) B =“第二次摸到红球” ；第二次第二次第一次第一次1 12 23 34 45 51 1（1 1，2 2）（1 1，3 3）（1 1，4 4）（1 1，5 5）2 2（2 2，1 1）（2 2，3 3）（2 2，4 4）（2 2，5 5）3 3（3 3，1 1）（3 3，2 2）（3 3，4 4）（3 3，5 5）4 4（4 4，1 1）（4 4，2 2）（4 4，3 3）（4 4，5 5）5 5（5 5，1 1）（5 5，2 2）（5 5，3 3）（5 5，4 4） 例9 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个
17、红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率: (3) AB =“两次都摸到红球” ；第二次第二次第一次第一次1 12 23 34 45 51 1（1 1，2 2）（1 1，3 3）（1 1，4 4）（1 1，5 5）2 2（2 2，1 1）（2 2，3 3）（2 2，4 4）（2 2，5 5）3 3（3 3，1 1）（3 3，2 2）（3 3，4 4）（3 3，5 5）4 4（4 4，1 1）（4 4，2 2）（4 4，3 3）（4 4，5 5）5 5（5 5，1 1）（5 5，2 2）（5 5，3 3）（5 5，4 4）1 12 23 34 45 51 111，2211
18、，3311，4411，552 222，3322，4422，553 333，4433，554 444，555 5 【思考5】如果同时摸出2个球，那么事件AB的概率是多少?第二次第二次第一次第一次1 12 23 34 45 51 1（1 1，2 2）（1 1，3 3）（1 1，4 4）（1 1，5 5）2 2（2 2，1 1）（2 2，3 3）（2 2，4 4）（2 2，5 5）3 3（3 3，1 1）（3 3，2 2）（3 3，4 4）（3 3，5 5）4 4（4 4，1 1）（4 4，2 2）（4 4，3 3）（4 4，5 5）5 5（5 5，1 1）（5 5，2 2）（5 5，3 3）（5
19、5，4 4）两种抽取方式：两种抽取方式：“同时抽取同时抽取”和和“不放回地依次不放回地依次抽取抽取”，同一事，同一事件的概率相等件的概率相等. .例10 从两名男生(记为B1和B2)、两名女生(记为G1和G2)中任意抽取两人.(1)分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间.(2)在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率. 解:设第一次抽取的人记为x1，第二次抽取的人记为x2，则可用数组（x1，x2）表示样本点. (1)根据相应的抽样方法可知:有放回简单随机抽样的样本空间第二次第二次第一次第一次B B1 1B B2 2G G1 1G G2 2B B
20、1 1（B B1 1，B B1 1）（B B1 1，B B2 2）（B B1 1，G G1 1）（B B1 1，G G2 2）B B2 2（B B2 2，B B1 1）（B B2 2，B B2 2）（B B2 2，G G1 1）（B B2 2，G G2 2）G G1 1（G G1 1，B B1 1）（G G1 1，B B2 2）（G G1 1，G G1 1）（G G1 1，G G2 2）G G2 2（G G2 2，B B1 1）（G G2 2，B B2 2）（G G2 2，G G1 1）（G G2 2，G G2 2）1=（B1，B1），（B1，B2），（B1，G1），（B1，G2）， （B2，
21、B1），（B2，B2），（B2，G1），（B2，G2）， （G1，B1），（G1，B2），（G1，G1），（G1，G2）， （G2，B1），（G2，B2），（G2，G1），（G2，G2）例10 从两名男生(记为B1和B2)、两名女生(记为G1和G2)中任意抽取两人.(1)分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间.(2)在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率.不放回简单随机抽样的样本空间2=（B1，B2），（B1，G1）， （B1，G2），（B2，B1），（B2，G1），（B2，G2），（G1，B1），（G1，B2），（G1，G2），（G2，B1
22、），（G2，B2），（G2，G1）第二次第二次第一次第一次B B1 1B B2 2G G1 1G G2 2B B1 1（B B1 1，B B2 2）（B B1 1，G G1 1）（B B1 1，G G2 2）B B2 2（B B2 2，B B1 1）（B B2 2，G G1 1）（B B2 2，G G2 2）G G1 1（G G1 1，B B1 1）（G G1 1，B B2 2）（G G1 1，G G2 2）G G2 2（G G2 2，B B1 1）（G G2 2，B B2 2）（G G2 2，G G1 1）按性别等比例分层抽样，先从男生中抽一人，再从女生中抽一人，其样本空间3=（B1，G1）
23、，（B1，G2），（B2，G1），（B2，G2）例10 从两名男生(记为B1和B2)、两名女生(记为G1和G2)中任意抽取两人.(2)在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率.第二次第二次第一次第一次B B1 1B B2 2G G1 1G G2 2B B1 1（B B1 1，B B1 1）（B B1 1，B B2 2）（B B1 1，G G1 1）（B B1 1，G G2 2）B B2 2（B B2 2，B B1 1）（B B2 2，B B2 2）（B B2 2，G G1 1）（B B2 2，G G2 2）G G1 1（G G1 1，B B1 1）（G G1 1，B B2 2）（G
24、G1 1，G G1 1）（G G1 1，G G2 2）G G2 2（G G2 2，B B1 1）（G G2 2，B B2 2）（G G2 2，G G1 1）（G G2 2，G G2 2）例10 从两名男生(记为B1和B2)、两名女生(记为G1和G2)中任意抽取两人.(2)在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率.第二次第二次第一次第一次B B1 1B B2 2G G1 1G G2 2B B1 1（B B1 1，B B2 2）（B B1 1，G G1 1）（B B1 1，G G2 2）B B2 2（B B2 2，B B1 1）（B B2 2，G G1 1）（B B2 2，G G2 2）
25、G G1 1（G G1 1，B B1 1）（G G1 1，B B2 2）（G G1 1，G G2 2）G G2 2（G G2 2，B B1 1）（G G2 2，B B2 2）（G G2 2，G G1 1）因为按性别等比例分层抽样，不可能抽到两名男生，所以A= ，因此P(A)=0. 例10表明，同一个事件A=“抽到两名男生”发生的概率，在按性别等比例分层样时最小，在不放回简单随机抽样时次之，在有放回简单随机抽样时最大.因此，抽样方法不同，则样本空间不同，某个事件发生的概率也可能不同. 上一章我们研究过通过抽样调查估计树人中学高一学生平均身高的问题.我们知道，简单随机抽样使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现全是男生的“极端”样本，这就可能高估总体的平均身高. 上述计算表明，在总体的男、女生人数相同的情况下，用有放回简单随机抽样进行抽样，出现全是男生的样本的概率为0.25；用不放回简单随机抽样进行抽样，出现全是男生的样本的概率约为0.167，可以有效地降低出现“极端”样本的概率.特别是，在按性别等比例分层抽样中，全是男生的样本出现的概率为0，真正避免了这类极端样本的出现.所以，改进抽样方法对于提高样本的代表性很重要.课堂小结