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1、2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题22.6二次函数的应用：抛物型问题（重难点培优）姓名：_ 班级：_ 得分：_注意事项：本试卷满分100分，试题共24题答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1（2021洪洞县二模）在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为y=-110x2+35x+85，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（）A85米B8
2、米C10米D2米【分析】小宇此次实心球训练的成绩就是抛物线y=-110x2+35x+85与x轴交点的横坐标，即当y0时，求x的值即可【解析】当y0时，即y=-110x2+35x+85=0，解得：x12（舍去），x28，所以小宇此次实心球训练的成绩为8米，故选：B2（2020秋夏津县期末）某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是yx2+2x+3，则下列结论错误的是（）A柱子OA的
3、高度为3mB喷出的水流距柱子1m处达到最大高度C喷出的水流距水平面的最大高度是3mD水池的半径至少要3m才能使喷出的水流不至于落在池外【分析】根据题目中的二次函数解析式可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以解答本题【解析】yx2+2x+3（x1）2+4，当x0时，y3，即OA3m，故A选项正确，当x1时，y取得最大值，此时y4，故B选项正确，C选项错误，当y0时，x3或x1（舍去），故D选项正确，故选：C3（2020秋中山市期末）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示下列结论：小球抛出3秒时达到最高点；小球从抛出到落地经过的路程
4、是80m；小球的高度h20时，t1s或5s小球抛出2秒后的高度是35m其中正确的有（）ABCD【分析】由图象可知，点（0，0），（6，0），（3，40）在抛物线上，顶点为（3，40），设函数解析式为ha（t3）2+40，用待定系数法求得解析式，再逐个选项分析或计算即可【解析】由图象可知，点（0，0），（6，0），（3，40）在抛物线上，顶点为（3，40），设函数解析式为ha（t3）2+40，将（0，0）代入得：0a（03）2+40，解得：a=-409，h=-409（t3）2+40顶点为（3，40），小球抛出3秒时达到最高点，故正确；小球从抛出到落地经过的路程应为该小球从上升到落下的长度，故为4
5、0280m，故正确；令h20，则20=-409（t3）2+40，解得t3322，故错误；令t2，则h=-409（23）2+40=3209m，故错误综上，正确的有故选：A4（2020秋兴宁区校级期中）如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）具有函数关系为h20t5t2，则小球从飞出到落地的所用时间为（）A3sB4sC5sD6s【分析】根据关系式，令h0即可求得t的值为飞行的时间【解析】依题意，令h0得020t5t2，得t（205t）0，解得t0（舍去）或t4，即小球从飞出到落地所用的时间为4s，故选：B5（2020连云区二模）竖直向上的小球离地面的高度h（米）与时间t（
6、秒）的关系函数关系式为h2t2+mt+258，若小球经过74秒落地，则小球在上抛过程中，第（）秒离地面最高A37B47C34D43【分析】先根据题意得出方程，求得m的值，再求得二次函数的对称轴，则问题得解【解析】h2t2+mt+258，小球经过74秒落地，t=74时，h0，02(-74)2+74m+258，解得：m=127，当t=-b2a=-1272(-2)=37时，h最大，故选：A6（2020秋槐荫区期末）小强在一次训练中，掷出的实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数y=-112x2+23x+53，则小强此次成绩为（）A8米B10米C12米D14米【分析】根据实心
7、球落地时，高度y0，把实际问题可理解为当y0时，求x的值即可【解析】在y=-112x2+23x+53中，当y0时，-112x2+23x+53=0，解得x12（舍去），x210，即小强此次成绩为10米，故选：B7（2019秋江岸区校级月考）如图，一位运动员推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是y=-112x2+23x+53，则此运动员把铅球推出多远（）A12mB10mC3mD4m【分析】令y=-112x2+23x+53=0，解得符合题意的x值，则该值为此运动员把铅球推出的距离，据此可解【解析】令y=-112x2+23x+53=0则：x28x200（x+2）（x10）0x12（
8、舍），x210由题意可知当x10时，符合题意故选：B8（2020武汉模拟）从地面竖直向上先后抛出两个小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系式为h=-409（t3）2+40，若后抛出的小球经过2.5s比先抛出的小球高103m，则抛出两个小球的间隔时间是（）sA1B1.5C2D2.5【分析】把t2.5代入h=-409（t3）2+40，求得h=3509，当h=3509-103=3209时，解方程即可得到结论【解析】把t2.5代入h=-409（t3）2+40，得，h=3509，当h=3509-103=3209时，即-409（t3）2+40=3209，解得：t4或t2（
9、不合题意舍去），抛出两个小球的间隔时间是42.51.5，故选：B9（2020长春模拟）某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，OA长为1.5m水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到O的距离为3m建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间近似满足函数关系yax2+x+c（a0），则水流喷出的最大高度为（）A1米B32米C2米D138米【分析】由题意可得，抛物线经过点（0，1.5）和（3，0），把上述两个点坐标代入二次函数表达式，可求出a和c的值，则抛物线的解析式可求出，再把抛物线解析式化为顶点式即可求出水流
10、喷出的最大高度【解析】由题意可得，抛物线经过点（0，1.5）和（3，0），把上述两个点坐标代入二次函数表达式得：c=1.59a+3+c=0，解得：a=-12c=32，函数表达式为：y=-12x2+x+32，=-12（x1）2+2，a0，故函数有最大值，当x1时，y取得最大值，此时y2，答：水流喷出的最大高度为2米故选：C10（2020丰台区模拟）向空中发射一枚炮弹，第x秒时的高度为y米，且高度与时间的关系为yax2+bx+c（a0），若此炮弹在第6秒与第17秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（）A第8秒B第10秒C第12秒D第15秒【分析】先根据题意求出抛物线的对称轴，即可得出
11、顶点的横坐标，从而得出炮弹所在高度最高时x的值【解析】此炮弹在第6秒与第17秒时的高度相等，抛物线的对称轴是：x=6+172=11.5，炮弹所在高度最高时：时间是第12秒故选：C二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11（2020李沧区模拟）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为3m处达到最高，高度为5m，水柱落地处离池中心距离为9m，则水管的长度OA是154m【分析】设抛物线的表达式为：ya（xh）2+k（x3）2+5，将点（9，0）代入上式求出a，进而求解【解析】设抛
12、物线的表达式为：ya（xh）2+ka（x3）2+5，将点（9，0）代入上式并解得：a=-536，故抛物线的表达式为：y=-536（x3）2+5，令x0，则y=114，即OA=154，故答案为15412（2020长春模拟）如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C，高度为3m，水柱落地点D离池中心A处3m，则水管AB的长为2.25m【分析】以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为ya（x1）2+3，将（3，0）代入求得a值，从而确定二次函数的解析式，代入x
13、0时得到的y值即为水管的长【解析】以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m，则设抛物线的解析式为：ya（x1）2+3，代入（3，0）求得：a=-34（x1）2+3将a值代入得到抛物线的解析式为：y=-34（x1）2+3（0x3）；令x0，则y=-34+32.25故水管AB的长为2.25m故答案为：2.2513（2020老河口市模拟）某幢建筑物，从5米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线，抛物线所在平面与墙面垂直（如图所示），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面203米，则水流下落点B离墙距离OB是3m【分析
14、】以地面，墙面所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，把题中已知点代入，求出解析式后，令y0，即可解答【解析】地面，墙面所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，设抛物线解析式：ya（x1）2+203，把点A（0，5）代入抛物线解析式得：a=-53，抛物线解析式：y=-53（x1）2+203当y0时，x11（舍去），x23OB3（m）故答案为314（2021春萧山区月考）一个球从地面上竖直向上弹起的过程中，距离地面高度h（米）与经过的时间t（秒）满足以下函数关系：h5t2+15t，则该球从弹起回到地面需要经过3秒，距离地面的最大高度为454米【分析】当该球从弹起回到地面时h0，代入求出时间t即可
15、；对函数关系式进行配方找到最大值即距离地面的最大高度【解析】当该球从弹起回到地面时h0，05t2+15t，解得：t10或t23，t0时小球还未离开地面，t3时小球从弹起回到地面；h5t2+15t5（t-32）2+454，50，当t=32时，h取得最大值454；故答案为：3，45415（2021春洪山区校级月考）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y60t-65t2，飞机着陆至停下来共滑行750m【分析】将函数解析式配方成顶点式求出y的最大值即可得【解析】y60t-65t2=-65（t25）2+750，当t25时，y取得最大值750，即飞机着陆后滑行750米
16、才能停下来，故答案为：750m16（2021绿园区一模）如图，某抛物线型桥拱的最大高度为16米，跨度为40米，如图所示建立平面直角坐标系，则该抛物线对应的函数关系式为y=-125x2+85x【分析】由图象可知抛物线顶点坐标（20，16），经过（0，0），（40，0）利用顶点式即可解决问题【解析】由图象可知抛物线顶点坐标（20，16），经过（0，0），（40，0）设抛物线的解析式为ya（x20）2+16，把（0，0）代入得到a=-125，抛物线的解析式为y=-125（x20）2+16，即y=-125x2+85x，故答案为：y=-125x2+85x17（2021春海淀区校级月考）如图，小明抛投一个
17、沙包，沙包被抛出后距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）近似满足函数关系式h=-110（t6）2+5，则沙包在飞行过程中距离地面的最大高度是5米，此时飞行时间为6秒【分析】由二次函数的顶点的性质可解【解析】由h=-110（t6）2+5可得，当t6时，h最大5沙包在飞行过程中距离地面的最大高度是5米，此时飞行 时间为6秒故答案为：5；618（2021长春模拟）为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练，在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分已知铅球出手处A距离地面的高度是1.68米，当铅球运行的水平距离为2米时，达到最大高度2米的B处，则小丁此次投掷的成绩是7米【分析】建立坐标
18、系，设抛物线的解析式为ya（x2）2+2，由待定系数法求得抛物线的解析式，令y0，得关于x的一元二次方程，求得方程的解并根据问题的实际意义作出取舍即可【解析】建立坐标系，如图所示：由题意得：A（0，1.68），B（2，2），点B为抛物线的顶点，设抛物线的解析式为ya（x2）2+2，把A（0，1.68）代入得：4a+21.68，解得a0.08，y0.08（x2）2+2，令y0，得0.08（x2）2+20，解得x17，x23（舍），小丁此次投掷的成绩是7米故答案为：7三、解答题（本大题共6小题，共46分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19（2020山西模拟）周末，小明陪爸爸去打高尔夫求，
19、小明看到爸爸打出的球的飞行路线的形状如图，如果不考虑空气阻力，小球的飞行路线是一条抛物线小明测得小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的几组值后，发现h与t满足的函数关系式是h20t5t2（1）小球飞行时间是多少时达到最大高度，求最大高度是多少？（2）小球飞行时间t在什么范围时，飞行高度不低于15m？【分析】（1）求函数的最大值即可；（2）把h15代入函数关系式，即可求解【解析】（1）h20t5t250，故h有最大值，当t=-202(-5)=2，此时h的最大值为20，当t2s时，最大高度是20m（2）令h15，则h20t5t215，解得：1t3，1t3时，飞行高度不低于15m20
20、（2019秋西城区校级期中）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分一名运动员起跳后，他的飞行路线如图所示，当他的水平距离为15m时，达到飞行的最高点C处，此时的竖直高度为45m，他落地时的水平距离（即OA的长）为60m，求这名运动员起跳时的竖直高度（即OB的长）【分析】利用待定系数法确定抛物线的解析式后求得与y轴的交点即可确定本题的答案【解析】设抛物线的解析式为ya（xh）2+k，根据题意得：抛物线的顶点坐标为（15，45），ya（x15）2+45，与x轴交于点A（60，0），0a（6015）2+45，解得：a=-145，解析式为y=-145（x15）
21、2+45，令x0得：y=-145（015）2+4540，点B的坐标为（0，40），这名运动员起跳时的竖直高度为40米21（2020台州）用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）科学原理：如图2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为H（单位：cm），如果在离水面竖直距离为h（单位：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：cm）与h的关系式为s24h（Hh）应用思考：现用高度为20cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离hcm处开一个小孔（1）写出s2与h的关系式；并求出当h为何值
22、时，射程s有最大值，最大射程是多少？（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式；（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离【分析】（1）将s24h（20h）写成顶点式，按照二次函数的性质得出s2的最大值，再求s2的算术平方根即可；（2）设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，则4a（20a）4b（20b），利用因式分解变形即可得出答案；（3）设垫高的高度为m，写出此时s2关于h的函数关系式，根据二次函数的性质可得答案【解析】（1）s24h（Hh），当H20cm时，s24h（2
23、0h）4（h10）2+400，当h10cm时，s2有最大值400，当h10cm时，s有最大值20cm当h为10cm时，射程s有最大值，最大射程是20cm；（2）s24h（20h），设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，则有：4a（20a）4b（20b），20aa220bb2，a2b220a20b，（a+b）（ab）20（ab），（ab）（a+b20）0，ab0，或a+b200，ab或a+b20；（3）设垫高的高度为m，则s24h（20+mh）4(h-20+m2)2+（20+m）2，当h=20+m2cm时，smax20+m20+16，m16cm，此时h=20+m2=18cm垫高的高度为16cm，
24、小孔离水面的竖直距离为18cm22（2020市南区一模）如图，某小区在墙体OM上的点A处安装一抛物线型遮阳棚，现以地面和墙体分别为x轴和y轴建立直角坐标系，已知遮阳棚的高度y（m）与地面水平距离x（m）之间的关系式可以用y=-15x2+bx+c表示，且抛物线经过B（2，245），C（5，215）请根据以上信息，解答下列问题：（1）求抛物线的函数关系式；（2）求遮阳棚跨度ON的长；（3）现准备在抛物线上一点E处，安装一直角形钢架GEF对遮阳棚进行加固（点F，G分别在x轴，y轴上，且EGx轴，EFy轴），现有库存10米的钢材是否够用？【分析】（1）将点B、C的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）
25、y=-15x2+65x+165，令y0，解得：x2（舍去）或8，即可求解；（3）构建二次函数，求出二次函数的最大值，即可判断【解析】（1）将点B、C的坐标代入抛物线表达式得：245=-45+2b+c215=-5+5b+c，解得b=65c=165，故抛物线的表达式为：y=-15x2+65x+165；（2）y=-15x2+65x+165，令y0，解得：x2（舍去）或8，故ON8；（3）设点E（x，-15x2+65x+165），由题意得：GE+EFx-15x2+65x+165=-15（x-115）2+374-150，GE+EF的最大值为374，37410，故现有库存10米的钢材够用23（2021春拱
26、墅区期中）一个物体从地面竖直向上抛，有这样的关系式：hvt-12gt2（不计空气阻力），其中h是物体距离地面的高度，v是初速度，g是重力加速度（g取10m/s2），t是抛出后所经历的时间圆圆用发射器（发射器的高度忽略不计）将一个小球以10m/s的初速度从地面竖直向上抛（1）当小球的高度为1.8米时，求时间t的值；（2）小球的高度能达到5.4米吗？请作出判断，并说明理由；（3）若方方在圆圆抛出之后将另一个完全相同的小球以相同的速度从地面竖直向上抛，这两个小球在某一时刻的高度均为4.2米，求方方与圆圆抛球的时间差【分析】（1）把v10，g10，代入所给关系式求出二次函数解析式，再h1.8代入解析式
27、求t的值即可；（2）把h5.4代入函数解析式得到关于t的一元二次方程，由判别式判定方程是否有解即可；（3）把h4.2代入函数解析式得到关于t的一元二次方程，求出方程的两个根，两根之差即为所求【解析】（1）把v10，g10代入hvt-12gt2得：h5t2+10t，当h1.8时，1.85t2+10t，即5t210t+1.80，解得：t10.2，t21.8答：小球的高度为1.8米时，所用时间为0.2s或1.8s；（2）小球的高度不能达到5.4米，理由如下：把t5.4代入h5t2+10t得：5.45t2+10t，5t210t+5.40，（10）2455.480，5.45t2+10t无实数解，小球的高
28、度不能达到5.4米；（3）由题意得：4.25t2+10t，5t210t+4.20，解得：t10.6，t21.4，t2t10.8，答：方方与圆圆抛球的时间差为0.8s24（2021镇海区模拟）如图，在一次足球比赛中，守门员在地面O处将球踢出，一运动员在离守门员8米的A处发现球在自己头上的正上方4米处达到最高点M，球落地后又一次弹起据实验测算，足球在空中运行的路线是一条抛物线，在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半（1）求足球第一次落地之前的运动路线的函数表达式及第一次落地点B和守门员（点O）的距离；（2）运动员（点A）要抢到第二个落点C，他应再向前跑多少米
29、？（假设点O、A、B、C在同一条直线上，结果保留根号）【分析】（1）由条件可以得出M（8，4），设抛物线的解析式为ya（x8）2+4，由待定系数法求出其解即可；当y0时代入（1）的解析式，求出x的值即可得第一次落地点B和守门员（点O）的距离；（2）设第二次抛物线的顶点坐标为（m，2），抛物线的解析为ya（xm）2+2，求出解析式，就可以求出OC的值，进而得出结论【解析】（1）设足球第一次落地之前的运动路线的函数表达式为ya（x8）2+4，根据其顶点为（8，4），过点O（0，0）得064a+4，解得：a=-116，y=-116（x8）2+4当y0时，-116（8）2+40，解得：x0（舍去）或x16，答：足球第一次落地之前的运动路线的函数表达式为y=-116（x8）2+4，第一次落地点B和守门员（点O）的距离为16米；（2）设第一次落地之后的运动路线的函数表达式为y=-116（xm）2+2，由题意，得0=-116（16m）2+2，解得m16+42或m1642（舍去），y=-116（x1642）2+2当y0时，0=-116（x1642）2+2解得：x16+82或x16他应从第一次落地点C再向前跑的距离为：16+82-8（8+82）米答：他应再向前跑（8+82）米