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1、2022届高考数学二轮专题测练-棱锥的表面积与体积 一、选择题（共20小题；共100分）1. 己知某三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是边长为 2 的等边三角形，则该三棱锥的体积为 A. 223B. 233C. 22D. 23 2. 一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果全等的等腰直角三角形的直角边长为 1，那么这个几何体的体积为 A. 1B. 12C. 13D. 16 3. 如图，一个简单空间几何体的三视图其正视图与侧视图都是边长为 2 的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，其体积是 A. 36B. 423C. 433D. 83 4. 图中的三个直角三角形
2、是一个体积为 30cm3 的几何体的三视图，则侧视图中的 h 为 A. 5 cmB. 6 cmC. 7 cmD. 8 cm 5. 如图所示，正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，则三棱锥 D1ADC 的体积是 A. 16B. 13C. 12D. 1 6. 已知高为 3 的三棱柱 ABCA1B1C1 的底面是边长为 1 的正三角形，如图所示，则三棱锥 B1ABC 的体积为 A. 14B. 12C. 36D. 34 7. 已知棱长为 1 的正方体被两个平行平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积为 A. 23B. 3+3C. 9+32D. 23 8. 如图，将边长为
3、 2 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起，使得 AC=1，则三棱锥 ABCD 的体积为 A. 36B. 33C. 32D. 13 9. 三棱锥 PABC 的底面 ABC 是边长为 3 的等边三角形，该三棱锥的所有顶点均在半径为 2 的球上，则三棱锥 PABC 的体积最大值为 A. 2334B. 334C. 3+234D. 9+634 10. 四面体 ABCD 的四个顶点都在某个球 O 的表面上，BCD 是边长为 33 的等边三角形，当 A 在球 O 表面上运动时，四面体 ABCD 所能达到的最大体积为 8134，则四面体 OBCD 的体积为 A. 8138B. 2734C. 93D. 2
4、732 11. 如图，E，F 分别为棱长为 1 的正方体的棱 A1B1，B1C1 的中点，点 G，H 分别为面对角线 AC 和棱 AA1 上的动点，则下列关于四面体 EFGH 的体积正确的是 A. 该四面体体积有最大值，也有最小值B. 该四面体体积为定值C. 该四面体体积只有最小值D. 该四面体体积只有最大值 12. 某工厂要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为 48m3，高为 3m，如果箱底每 1m2 的造价为 15 元，箱壁每 1m2 的造价为 12 元，则箱子的最低总造价为 A. 900 元B. 840 元C. 818 元D. 816 元 13. 正四棱锥的侧棱长为 6，底面边长为 2，
5、则该棱锥的体积为 A. 8B. 83C. 6D. 2 14. 如图，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 为平行四边形，CE=2EP，若三棱锥 PEBD 的体积为 V1，三棱锥 PABD 的体积为 V2，则 V1V2 的值为 A. 12B. 13C. 14D. 16 15. 已知正方体 ABCDA1B1C1D1，点 P 在线段 AC1 上，当 BPD 最大时，四棱锥 PABCD 的体积与正方体的体积之比为 A. 124B. 118C. 19D. 112 16. 已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 5 的球 O 的球面上，且 AB=6，BC=25，则棱锥 OABCD 的侧面积为 A. 20+8
6、5B. 44C. 205D. 46 17. 如图所示，在四面体 EHGF 中，E，F 分别为棱长为 1 的正方体的棱 A1B1，B1C1 的中点，点 G，H 分别为面对角线 AC 和棱 DD1 上的动点（包括端点）对于四面体 EHGF，下列说法正确的是 A. 此四面体体积既存在最大值，也存在最小值B. 此四面体的体积为定值C. 此四面体体积只存在最小值D. 此四面体体积只存在最大值 18. 一个等腰三角形的周长为 10，四个这样相同等腰三角形底边围成正方形，如图，若这四个三角形都绕底边旋转，四个顶点能重合在一起，构成一个四棱锥，则围成的四棱锥的体积的最大值为 A. 500281B. 50022
7、7C. 53D. 152 19. 一个正三棱锥底面是边长为 6 的等边三角形，侧棱长为 15，则其体积为 A. 9B. 92C. 272D. 932 20. 设 A，B，C，D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，ABC 为等边三角形且其面积为 93，则三棱锥 DABC 体积的最大值为 A. 123B. 183C. 243D. 543 二、填空题（共5小题；共25分）21. 如图，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是矩形，E 为 PD 上一点，且 PE=2ED设三棱锥 PACE 的体积为 V1，三棱锥 PABC 的体积为 V2，则 V1:V2= 22. 侧棱长为 2 的正三棱锥，若其底面
8、周长为 9，则该正三棱锥的体积是 23. 如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，已知 AB=AA1=3，点 P 在棱 CC1 上，则三棱锥 PABA1 的体积为 24. 如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 2，点 P 在正方形 ABCD 的边界及其内部运动平面区域 W 由所有满足 A1P5 的点 P 组成，则 W 的面积是 ；四面体 PA1BC 的体积的最大值是 25. 在正三棱锥 PABC 内有一个半球，其底面与三棱锥的底面重合，且与正三棱锥的三个侧面都相切，若半球的半径为 2，则正棱锥的体积最小时，其高等于 三、解答题（共5小题；共65分）26. 有 4 条长为 2 的线
9、段和 2 条长为 a 的线段，用这 6 条线段作为棱，构成一个三棱锥问 a 为何值时，可构成一个最大体积的三棱锥，最大值为多少? 27. 如图，在四棱锥 PABCD 中，底面是边长为 2 的菱形，DAB=60，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，PO平面ABCD，PB 与平面 ABCD 所成的角为 60，求四棱锥 PABCD 的体积 28. 如图，求证三棱柱 ABCA1B1C1 可分割为三个体积相等的三棱锥 29. 如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧棱垂直于底面，ABBC，AA1=AC=2，BC=1，E 是 A1C1 的中点（1）求证：平面ABE平面B1BCC1；（2）求三棱锥
10、EABC 的体积 30. 如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面ABCD，ADBC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段 AD 上一点，AM=2MD，N 为 PC 的中点（1）证明：MN平面PAB；（2）求四面体 NBCM 的体积答案第一部分1. B【解析】由题得三视图对应的几何体原图是如图所示的三棱锥 ABCD，所以几何体的体积为 V=1312223=233故选：B2. D3. C4. B5. A【解析】三棱锥 D1ADC 的体积 V=13SADCD1D=1312ADDCD1D=1312=166. D【解析】设三棱锥 B1ABC 的高为 h，则 V三棱锥B1ABC=13SABCh
11、=13343=347. B【解析】由三视图可得，该几何体为如图所示的正方体 ABCDA1B1C1D1 截去三棱锥 D1ACD 和三棱锥 BA1B1C1 后的剩余部分其表面为六个腰长为 1 的等腰直角三角形和两个边长为 2 的等边三角形，所以其表面积为 61212+23422=3+38. A【解析】如图所示，图 1 中，连接 AC 与 BD 相交于点 O， ACBD，则 OA=OC=12AC=1，图 2 中，OAC 是等边三角形，OABD，OCBD，OAOC=O，OA平面OAC，OC平面OAC，所以 BD平面OAC，所以三棱锥 ABCD 的体积 =13SOACBD=1334122=369. C1
12、0. C【解析】四面体 ABCD 达到最大体积时，AO平面BCD，设此时的高为 h，则 1334332h=8134，所以 h=9，设球的半径为 R，则 R2=33332+9R2，所以 R=5， 所以四面体 OBCD 的体积为 133433295=9311. D【解析】因为 E，F 分别为棱长为 1 的正方体的棱 A1B1，B1C1 的中点，所以 EFA1C1，又 A1C1AC，故点 G 到 EF 的距离为定值，则 EFG 面积为定值，当点 H 与点 A 重合时，为平面构不成四面体，故只能无限接近点 A，当点 H 与点 A1 重合时，h 有最大值，体积有最值，所以四面体体积有最大值，无最小值12
13、. D【解析】设箱底一边的长度为 xm，箱子的总造价为 l 元，根据题意，得 l=240+72x+16x，l72116x2令 l=0，则 x=4 或 x=4 （舍去），即当 x=4 时，l 有最小值 816因此，当箱底是边长为 4m 的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价是 816 元13. B14. B【解析】设点 E 到平面 PBD 的距离为 h1，点 C 到平面 PBD 的距离为 h2，由 CE=2EP 得 h1:h2=1:3，因为点 A 到平面 PBD 的距离与点 C 到平面 PBD 的距离相等，所以三棱锥 PABD 的体积 V2=VAPBD=13SPBDh2，又三棱锥 PEBD 的
14、体积 V1=VEPBD=13SPBDh1，则 V1V2=h1h2=13，故选B15. C16. B【解析】由题意可知四棱锥 OABCD 的侧棱长为 5因为侧面中底面边长为 6 和 25，它们的斜高为 4 和 25，所以棱锥 OABCD 的侧面积为 S=46+2525=4417. A【解析】因为 E，F 分别为棱长为 1 的正方体的棱 A1B1，B1C1 的中点，所以连接 A1C1，则 EFA1C1，而 A1C1AC，所以 EFAC而 G 为面对角线 AC 上的动点，所以点 G 到直线 EF 的距离为定值所以三角形 EFG 的面积为定值，此四面体体积 V=13SEFG（h 为点 H 到平面 EF
15、G 的距离）根据直线 D1D 与平面 EFG 相交，知当点 H 在 D1 处时 h 取最大值，在点 D 处时 h 取最小值，所以此四面体体积既存在最大值，也存在最小值18. A【解析】四棱锥如图，设底面正方形边长的一半为 x，则有 AO=5x2x2x2=x210x+25， V=43x2x210x+25=43x610x5+25x4设 y=x610x5+25x4，则 y=6x550x4+100x3=2x33x225x+50=2x3x+103x+5，由 y=0，可得 x=10（舍）或 x=53，所以 Vmax=50028119. A20. B第二部分21. 2:3【解析】因为四棱锥 PABCD 的底
16、面 ABCD 是矩形，E 为 PD 上一点，且 PE=2ED设 P 到平面 ACD 的距离为 h，则 E 到平面 ACD 的距离为 h3，设三棱锥 PACE 的体积为 V1，三棱锥 PABC 的体积为 V2，则 V2=VPABC=VPACD=13SACDh， V1=VPACE=VPACDVEACD=13SACDh13SACDh3=2313SACDh=23V2. 所以 V1:V2=2:322. 33423. 934【解析】因为在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，AB=AA1=3，点 P 在棱 CC1 上，所以点 P 到平面 ABA1 的距离即为 ABC 的高，即为 h=32322=332， SA
17、BA1=1233=92，三棱锥 PABA1 的体积为：V=13SABA1h=1392332=93424. 4，4325. 23【解析】如图， O 是正三棱锥 PABC 底面的中心，也是半球的球心，CD 是正三棱锥底面的高，侧面 PAB 与半球相切于点 E，OEPD，OE=2，PO=h设 PDO=0,90，所以 h=2cos设正三棱锥底面三角形的边长为 a，则 OD=36a=2sin，即 a=43sin，所以正三棱锥的体积 V=83sin2cos因为 sin4cos2=12sin2cos22sin212sin2+sin2+2cos233=427，所以 sin2cos239，那么 V=83sin2
18、cos36，当且仅当 sin2=2cos2，即 cos=33，上式取等号，即体积取最小值，此时 h=2cos=23第三部分26. 构成三棱锥，这 6 条线段作为棱有两种摆放方式（1）2 条长为 a 的线段放在同一个三角形中如图所示，不妨设底面 BCD 是一个边长为 2 的正三角形欲使体积达到最大，必有 BA底面BCD，且 BA=2，AC=AD=a=22，此时 V=1334222=233（2）2 条长为 a 的线段不在同一个三角形中，此时长为 a 的两条线段必处在三棱锥的对棱，不妨设 AD=BC=a，BD=CD=AB=AC=2取 BC 中点 E，连接 AE，DE（见下图）则 AEBC,DEBCB
19、C平面AED，V=13SAEDBC，在 AED 中，AE=DE=4a24，AD=a， SAED=12a4a24a24=12a4a22，所以 V=16a24a22=16a2a2162a214，由均值不等式 a2a2162a21633，等号当且仅当 a2=163 时成立，即 a=433，所以此时 Vmax=16163314=1627327. 由题意，得 PBO=60而底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，DAB=60，所以 BD=2，AC=2AO=23，从而 PO=3所以 VPABCD=13233=228. 由祖暅原理可知底面积和高分别相等的两个三棱锥的体积相等所以 VA1ABC=VBB1A1C又
20、 SBB1C1=SBC1C，所以 VA1BB1C1=VA1BCC1，且 VBB1A1C1=VA1BB1C1（它们是同一三棱锥），所以 VA1ABC=VBB1A1C1=VA1BCC1故三棱柱 ABCA1B1C1 可分割为三个体积相等的三棱锥，它们是三棱锥 A1ABC，三棱锥 BA1B1C1，三棱锥 A1BCC129. （1） 在三棱柱 ABCA1B1C1 中，BB1底面ABC，所以 BB1AB又 ABBC，BCBB1=B，所以 AB平面B1BCC1又 AB平面ABE，所以 平面ABE平面B1BCC1（2） 因为 AA1=AC=2，BC=1，ABBC，所以 AB=AC2BC2=3所以三棱锥 EAB
21、C 的体积 V=13SABCAA1=1312312=3330. （1） 由已知条件，得 AM=23AD=2取 BP 的中点 T，连接 AT，TN因为 N 为 PC 的中点，所以 TNBC，TN=12BC=2，所以 TN=AM又 ADBC，所以 TNAM，且 TN=AM，故四边形 AMNT 为平行四边形，所以 MNAT因为 AT平面PAB，MN平面PAB，所以 MN平面PAB（2） 因为 PA平面ABCD，N 为 PC 的中点，所以 N 到平面 ABCD 的距离为 12PA取 BC 的中点 E，连接 AE因为 AB=AC=3，所以 AEBC，AE=AB2BE2=5因为 AMBC，所以点 M 到 BC 的距离为 5，故 SBCM=1245=25所以四面体 NBCM 的体积 VNBCM=1312PASBCM=453第14页（共14 页）