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1、2022届高考数学二轮专题测练-等差数列的基本概念与性质 一、选择题（共20小题；共100分）1. 在等差数列 an 中，若 a3=5，a5=9，则 a7= A. 12B. 13C. 12D. 13 2. 若一个数列的通项公式是 an=kn+b（k，b 为常数），则下列说法中正确的是 A. 数列 an 一定不是等差数列B. 数列 an 是公差为 k 的等差数列C. 数列 an 是公差为 b 的等差数列D. 数列 an 不一定是等差数列 3. 若一个数列的通项公式是 an=kn+bk,b为常数，则下列说法中正确的是 A. 数列 an 一定不是等差数列B. 数列 an 是公差为 k 的等差数列C.
2、 数列 an 是公差为 b 的等差数列D. 数列 an 不一定是等差数列 4. 已知数列 an 为等差数列，且 a1+a7+a13=2，则 tana7= A. 3B. 3C. 3D. 33 5. 设数列 an 满足 a1=1，a2=2，且 2nan=n1an1+n+1an+1（n2 且 nN*），则 a18= A. 259B. 269C. 3D. 289 6. 等差数列 an 中，am+n=，amn=，则其公差 d 的值为 A. +2nB. 2nC. +2mD. 2m 7. 在等差数列 an 中，a1=9，a3=1记 Tn=a1a2ann=1,2,，则数列 Tn A. 有最大项，有最小项B.
3、有最大项，无最小项C. 无最大项，有最小项D. 无最大项，无最小项 8. 已知数列 an 满足 2an=an1+an+1n2，a2+a4+a6=12，a1+a3+a5=9，则 a1+a6= A. 6B. 7C. 8D. 9 9. 已知数列 an 为等差数列，且 a8=1，则 2a9+a10 的最小值为 ()A. 3B. 2C. 1D. 0 10. 如图，点列 An，Bn 分别在某锐角的两边上，且 AnAn+1=An+1An+2，AnAn+2，nN*，BnBn+1=Bn+1Bn+2，BnBn+2，nN*（PQ 表示点 P 与 Q 不重合）若 dn=AnBn，Sn 为 AnBnBn+1 的面积，则
4、 A. Sn 是等差数列B. Sn2 是等差数列C. dn 是等差数列D. dn2 是等差数列 11. 设等差数列 an 的前 n 项和为 SnnN*，当首项 a1 和公差 d 变化时，若 a1+a8+a15 是定值，则下列各项中为定值的是 A. S15B. S16C. S17D. S18 12. 在等差数列 an 中，a5=33，a45=153，则 201 在该数列中的序号是 A. 60B. 61C. 62D. 63 13. 设 an 是等差数列下列结论中正确的是 A. 若 a1+a20，则 a2+a30B. 若 a1+a30，则 a1+a20C. 若 0a1a1a3D. 若 a10 14.
5、 已知数列 an 满足 a1=15，且 3an+1=3an2，若 akak+10，则正整数 k= A. 21B. 22C. 23D. 24 15. 已知等差数列 an 前 9 项的和为 27，a10=8，则 a100= A. 100B. 99C. 98D. 97 16. 在数列 an 中，a1=2，2an+12an=1，则 a101 的值为 A. 52B. 51C. 50D. 49 17. 已知等比数列 an 的公比为 q，前 n 项和为 Sn，若 a1，S3，S4 成等差数列，则 q2q= A. 1B. 1C. 2D. 2 18. 已知 2，a1，a2，8 成等差数列，2，b1，b2，b3，
6、8 成等比数列，则 a2a1b2 等于 A. 14B. 12C. 12D. 12 或 12 19. 对于任意实数 x，符号 x 表示 x 的整数部分，即 x 是不超过 x 的最大整数，例如 2=2；2.1=2；2.2=3，这个函数 x 叫做取整函数，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用那么 log21+log22+log23+log24+log264 的值为 A. 21B. 76C. 264D. 642 20. 公差不为 0 的等差数列 an 的部分项 ak1，ak2，ak3 构成等比数列 akn 且 k1=1，k2=2，k3=6，则 k4= A. 20B. 22C. 24D. 28 二、填空
7、题（共5小题；共25分）21. 8 和 2 的等差中项的值是 22. 记 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和，若 a3=5，a7=13，则 S10= 23. 已知等差数列 an 的公差 d0,，数列 bn 满足 bn=sinan，集合 S=xx=bn,nN*，若 a1=2，集合 S 中恰好有两个元素，则 d= 24. 设正数数列 an 的前 n 项和是 Sn，若 an 和 Sn 都是等差数列，且公差相等，则 a1+d= 25. 在等差数列 an 中，a3=0如果 ak 是 a6 与 ak+6 的等比中项，那么 k= 三、解答题（共5小题；共65分）26. 已知一个无穷等差数列 an 的首项
8、为 a1，公差为 d（1）将数列 an 中的前 m 项去掉，其余各项依原来的先后次序组成一个新数列，这个新数列是等差数列吗?如果是，它的首项与公差分别是多少?（2）取出数列 an 中的所有奇序数项，依原来的先后次序组成一个新数列，这个新数列是等差数列吗?如果是，它的首项与公差分别是多少? 27. （1）在等差数列 an 中，若 a3+a4+a5+a6+a7=450，求 a2+a8；（2）已知 an 为等差数列，a15=8，a60=20，求 a75 28. 数列 an 满足 a1=1，an+1=n2+nann=1,2,， 是常数（1）当 a2=1 时，求 及 a3 的值（2）数列 an 是否可能
9、为等差数列?若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由 29. 已知等差数列 an 中，a4+a5=4a2，2a3a6=1（1）求 an 的通项公式；（2）设 bn=1anan+1，求数列 bn 的前 n 项和 Sn 30. 已知数列 an 满足 an+11an1=3anan+1，a1=2，令 bn=1an1 .（1）证明：数列 bn 是等差数列；（2）求数列 an 的通项公式答案第一部分1. B【解析】通解：设公差为 d，则 2d=a5a3=9+5=4，则 d=2，故 a7=a3+4d=5+42=13优解：由等差数列的性质得 a7=2a5a3=295=132. B3. B4. A【解析】由
10、题得 a1+a13+a7=2a7+a7=3a7=2，所以 a7=23所以 tana7=tan23=35. B【解析】令 bn=nan，则 2bn=bn1+bn+1n2，所以 bn 为等差数列，因为 b1=1，b2=4，所以公差 d=3，则 bn=3n2，所以 b18=52，则 18a18=52，所以 a18=2696. B【解析】因为 am+namn=a1+m+n1da1+mn1d=2nd=. 所以 d=2n故选：B7. B【解析】由题意可知，等差数列的公差 d=a5a151=1+951=2，则其通项公式为：an=a1+n1d=9+n12=2n11，注意到 a1a2a3a4a50a6=1a7，
11、且由 T50 可知 Ti1i7,iN 可知数列 Tn 不存在最小项，由于 a1=9，a2=7，a3=5，a4=3，a5=1，a6=1，故数列 Tn 中的正项只有有限项：T2=63，T4=6315=945故数列 Tn 中存在最大项，且最大项为 T48. B【解析】通解：由题意知，数列 an 是等差数列，设公差为 d，则 a1+d+a1+3d+a1+5d=12,a1+a1+2d+a1+4d=9, 解得 a1=1,d=1, 所以 a1+a6=a1+a1+5d=7优解：由题意知，数列 an 是等差数列，将 a2+a4+a6=12 与 a1+a3+a5=9 相加可得 3a1+a6=12+9=21，所以
12、a1+a6=79. C【解析】a9=a8+d=1+d，a10=a8+2d=1+2d，2a9+a10=21+d+1+2d=21+d+12+d，所以当 d1,12 时，原式取到最小值 110. A【解析】由题意，过点 A1，A2，A3，An，An+1， 分别作直线 B1Bn+1 的垂线，高分别记为 h1，h2，h3，hn，hn+1，根据平行线的性质，得 h1，h2，h3，hn，hn+1， 成等差数列，又 Sn=12BnBn+1hn，BnBn+1 为定值，所以 Sn 是等差数列11. A【解析】因为等差数列 an 的前 n 项和为 SnnN*，当首项 a1 和公差 d 变化时，a1+a8+a15 是
13、定值，所以 a1+a8+a15=3a8 是定值，所以 a8 是定值，所以 S15=152a1+a15=15a8 为定值12. B【解析】设等差数列 an 的公差为 d，则 a5=a1+4d=33,a45=a1+44d=153, 所以 a1=21,d=3, 所以 an=21+3n1=3n+18，nN+，令 3n+18=201，得 n=6113. C【解析】因为 an 为等差数列，所以 2a2=a1+a3，当 a2a10 时，公差 d0，a1a3，所以 a2=a1+a32a1a314. C【解析】3an+1=3an2an+1=an23an 是等差数列，又 a1=15，则 an=47323n，因为
14、ak+1ak0，所以 47323k45323k0，所以 452k472，所以 k=2315. C【解析】设等差数列 an 的公差为 d，因为 an 为等差数列，且 S9=9a5=27，所以 a5=3又 a10=8，解得 5d=a10a5=5，所以 d=1，所以 a100=a5+95d=9816. A【解析】因为数列 an 满足 2an+12an=1，所以 an+1an=12，又 a1=2，所以数列 an 是首项为 2，公差为 12 的等差数列，所以 a101=2+10012=52，故选A17. B【解析】由题意得：a1+S4=2S3 即 a1+S4S3=S3 得 a4=a2+a3 所以 a2q
15、2=a2+a2q q2q1=0 即 q2q=118. B19. C【解析】因为 log21=0，log22 到 log23 两个都是 1，log24 到 log27 四个都是 2，log28 到 log215 八个数都是 3，log216 到 log231 十六个数都是 4，log232 到 log263 三十二个都是 5，log264=6，所以log21+log22+log23+log24+log264=0+12+24+38+416+532+6=264.20. B【解析】设等差数列 an 的公差为 d，因为 a1，a2，a6 成等比数列，所以 a22=a6a1，即 a1+d2=a1+5da1
16、d=3a1，所以 a2=4a1，所以等比数列 ak1，ak2，ak3， 的公比 q=4，所以 ak4=a1q3=a143=64a1，又 ak4=a1+k41d=a1+k413a1，所以 ak4=a1+k41d=a1+k413a1，所以 a1+k413a1=64a13k42=64，解得 k4=22，故选B第二部分21. 3【解析】设等差中项为 x，则 2x=8+2=6，解得 x=322. 10023. 或 23【解析】根据题意：b1=sina1=sin2=1，b2=sina1+d=sin2+d=cosd，d0,，故 b2=cosd1，b3=sin2+2d=cos2d，当 b3=cos2d=1 时
17、，d0,，故 d=；当 b3=cos2d=cosd 时，即 2cos2dcosd1=0，解得 cosd=1（舍去）或 cosd=12，d0,，故 d=23 bn=sinan=sin2+n1d=cosn1d，当 d= 时，bn=cosn1，此时 S=xx=bn,nN*=0,1，满足条件；当 d=23 时，bn=cos23n1，此时 S=xx=bn,nN*=1,12，满足条件综上所述：d= 或 d=2324. 34【解析】设数列 an 的首项为 a1，公差为 d，因为数列 an 的前 n 项和是 Sn， 所以 S1=a1，S2=2a1+d，S3=3a1+3d，又 Sn 也是公差为 d 的等差数列，
18、则 S2=2a1+d=a1+d，两边平方得 2a1+d=a1+2da1+d2， S3=3a1+3d=a1+2d，两边平方得 3a1+3d=a1+4da1+4d2， 得：a1=2d+2da1+3d2，把 代入 得 d2d1=0， d=0 或 d=12，当 d=0 时，a1=0，不合题意，当 d=12 时，代入 解得 a1=14， 所以 a1+d=14+12=34，故答案为 3425. 9【解析】设等差数列 an 的公差为 d，由题意得 a3=a1+2d=0，所以 a1=2d，又因为 ak 是 a6 与 ak+6 的等比中项，所以 ak2=a6ak+6，即 a1+k1d2=a1+5da1+k+5d
19、，化简得 k3d2=3dk+3d，解得 k=9 或 k=0（舍去）第三部分26. （1）新数列是等差数列，首项为 a1+md，公差为 d（2）新数列是等差数列，首项为 a1，公差为 2d27. （1） 因为 a3+a7=a4+a6=2a5，所以 a3+a7+a4+a6+a5=5a5，所以 5a5=450所以 a5=90又因为 a2+a8=2a5，所以 a2+a8=180（2） 解法 1：因为 an 为等差数列，所以 a15，a30，a45，a60，a75 也成等差数列，设其公差为 d，a15 为首项，则 a60 为其第 4 项，所以 a60=a15+3d，得 d=4所以 a75=a60+d=2
20、4解法 2：设 an 的公差为 d，因为 a15=a1+14d，a60=a1+59d，所以 a1+14d=8,a1+59d=20, 解得 a1=6415,d=415. 故 a75=a1+74d=6415+74415=2428. （1） 由于 an+1=n2+nann=1,2,，且 a1=1，所以当 a2=1 时，得 1=2，故 =3从而 a3=22+231=3（2） 数列 an 不可能为等差数列，证明如下：由 a1=1，an+1=n2+nan，得 a2=2，a3=62， a4=1262若存在 ，使 an 为等差数列，则 a3a2=a2a1，即 52=1，解得 =3于是 a2a1=1=2， a4
21、a3=1162=24这与 an 为等差数列矛盾，所以，对任意 ，an 都不可能是等差数列29. （1） 由 a4+a5=4a2,2a3a6=1 得 2a13d=0,a1d=1, 解得 a1=3,d=2, 所以数列 an 的通项公式为 an=2n+1（2） bn=1anan+1=12n+12n+3=1212n+112n+3所以 bn 的前 n 项和 Sn=121315+1517+12n+112n+3=121312n+3=n6n+9. 所以 Sn=n6n+930. （1） 因为 1an+111an1=anan+1an+11an1=13，所以 bn+1bn=13，所以 bn 是首项为 1，公差为 13 的等差数列（2） 由（1）及 b1=1a11=121=1，知 bn=13n+23，所以 an1=3n+2，所以 an=n+5n+2第9页（共9 页）