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1、精品资料1999考研数四真题及解析.1999 年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题一、填空题(本题共5个小题，每小题3分，满分15分。把正确答案填写在题中横线上。)(1) 设函数(,)，则 (2) 设，其中是由确定的隐函数，则 (3) 设，而为整数，则 (4) 已知,其中，则 (5) 设随机变量服从参数为的泊松(Poisson)分布，且已知，则二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。)(1) 设是连续函数，是原函数，则 ( )(A)当是奇函数时，必是偶函数。(B)当是偶函数时，必是奇函数。(C)当是
2、周期函数时，必是周期函数。(D)当是单调增函数时，必是单调增函数。(2) 设连续，且，其中是由所围成的区域，则等于 ( )(A) (B) (C) (D)(3)设向量可由向量组线性表示，但不能由向量组()线性表示，记向量组()，则 ( )(A) 不能由()线性表示，也不能由()线性表示。(B) 不能由()线性表示，但可由()线性表示。(C) 可由()线性表示，也可由()线性表示。(D) 可由()线性表示，但不可由()线性表示。(4)设随机变量和的方差存在且不等于，则是和 ( )(A)不相关的充分条件，但不是必要条件。(B)独立的充分条件，但不是必要条件。(C)不相关的充分必要条件。(D)独立的充
3、分必要条件。(5)设随机变量X服从指数分布，则随机变量的分布函数 ( )(A) 是连续函数。 (B) 至少有两个间断点。(C) 是阶梯函数。 (D) 恰好有一个间断点。三、(本题满分6分)曲线的切线与轴，轴围成一个图形，记切点的横坐标为。试求切线方程和这个图形的面积。当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何？四、(本题满分7分)计算二重积分，其中是由直线以及曲线所围成的平面区域。 五、(本题满分6分)设生产某种产品必须投入两种要素，和分别为两要素的投入量，为产出量；若生产函数，其中为正常数，且。假设两种要素得价格分别为和，试问：当生产出量为12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小。
4、六、(本题满分6分)设为的原函数，且当时，。已知，求。七、(本题满分6分)已知连续，求的值。八、(本题满分6分)证明：当时，有。九、(本题满分7分)设矩阵。问当为何值时，存在可逆矩阵，使得为对角矩阵？并求出和相应的对角阵。十、(本题满分9分)已知线性方程组(1)满足何种关系时，方程组仅有零解？(2)满足何种关系时，方程组有无穷多解，并用基础解系表示全部解。十一、(本题满分9分)设二维随机变量在矩形上服从均匀分布，试求边长为和的矩形面积的概率密度。十二、(本题满分8分)已知随机变量和的概率分布而且。(1)求和的联合分布；(2)问和是否独立？为什么？1999 年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题
5、一、填空题(1)【答案】【详解】把代入原式得 (2)【答案】1 【详解】函数两边对求偏导得， 隐函数两边对求偏导得，解得 ，以点代入，得所以 (3) 【答案】【详解】，根据矩阵的乘法，以及数与矩阵相乘，矩阵的每一个元素都要乘以该数，有故有 或由，式子左右两端同右乘，得，即，得 或由，式子左右两端同右乘，得，式子左右两端再同乘，得，依次类推，得 所以 (4)【答案】【详解】由题设条件，得，即，因为故 是可逆矩阵，左乘，得，根据可逆的定义，知可逆，且.右乘，得，根据可逆的定义，知可逆.故均可逆，且先利用初等行变换求：利用初等行变换把化为单位矩阵的同时，单位矩阵经过相同的初等行变换化成了所以 故 (
6、矩阵的乘法)(5)【答案】 【定义性质】方差的定义：；期望的性质：(其中为常数)；(其中为常数)【详解】若服从参数为的泊松(Poisson)分布，则期望，方差；则因为服从参数为的泊松(Poisson)分布，所以 所以 所以 由已知 得解得 二、选择题(1)【答案】( A )【详解】应用函数定义判定函数的奇偶性、周期性和单调性.的原函数可以表示为于是当为奇函数时，从而有即 F(x)为偶函数. 故(A)为正确选项.(B)、(C)、(D)可分别举反例如下：是偶函数，但其原函数不是奇函数，可排除(B)；是周期函数，但其原函数不是周期函数，可排除(C)；在区间内是单调增函数，但其原函数在区间内非单调增函
7、数，可排除(D).(2)【答案】(C)【详解】因为为一确定的数，不妨设，则，所以 ，解之得，所以，故应选(C).(3)【答案】(B)【详解】方法1：可由向量组线性表示，即存在常数使得 (*)不能由线性表出，从而知(若，则，这和不能由线性表出矛盾.)(*)可变为，上式两端同除能由()线性表示，排除(A)(D).不能由线性表示，若能，即存在常数使得，代入(*)得这和不能由线性表出矛盾，排除(C).故应选(B).方法2：若取，则，即可由线性表出.假设存在常数，满足因为，即方程组的系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，故方程组无解，即不存在常数，满足，不能由线性表出，是满足题设条件的一个特例，此时，不能由(
8、)线性表示，若存在常数，满足因为，即方程组的系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，故方程组无解，不存在常数，满足，故不能由()线性表示，但因为，即可由()线性表示，故应选(B).(4)【答案】C【详解】因为且所以 由于 (不相关). 故选C.(5)【答案】 【详解】考虑分布函数的连续间断问题，我们需求出其分布函数.因为X服从指数分布，则其密度函数为： 其中是参数由分布函数的定义：(1) 当时，(因为，其中和2都大于0，那么小于0是不可能事件)(2) 当时，(因为最大也就取到2，所以小于等于2是一定发生的，是必然事件)(3) 当时, 所以因为 ()，故在处间断.故答案选D.三【详解】曲线在曲线上点处的
9、切线的斜率为，由直线的点斜式方程得切线方程 ，分别令得到与轴，轴的交点分别为与. 于是切线与轴和轴围成一个直角三角形，由三角形的面积公式得.当切点按轴正项趋于无穷大时，这时，所以当切点按轴正项趋于无穷大时，这时，所以四【详解】O xD D1y2解法1：区域和如图所示，有显然 在极坐标系下，有因此于是 解法2：如图所示， 令，有，则 五【详解】设两种要素的总投入费用为，则由题意得，题目问产出量为12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小，即是求函数在约束条件下的条件最值. 按格朗日数乘法，作函数，为求驻点求偏导并令其为零，即由前两式可得，解出代入第三个式子，得，因为驻点唯一，且实际问题在，的
10、范围内存在最小值，故，时为最小.六、(本题满分6分)设为的原函数，且当时，.已知，求.【详解】通过变换将问题转化称为求不定积分问题.因为，所以原式等价于， 即 于是 所以 由初始条件，得 . 又，即，所以所以 所以 七【分析】中的变量是，故设法把“转移”到外.【详解】令，则，代入得即 ， 两边对求导，得 即 所以把代入得 八【详解】方法1：令 ，有 令 ，解得 (1) 当时，且仅在处，所以为单调增函数，且(2) 当时，所以为单调减函数，且所以，当时，即.方法2：因为当，所以原不等式等价于.令 有 当时，有，所以，所以单调减函数，所以，即，即.九【详解】(对应元素相减)故的特征多项式 令，得，知
11、有特征值(1) 对于，由(对应元素相减)知为由于，故. 又因中1，3行线性无关(，二阶子式不为零)，故，则有，则第2行必可由1，3行线性表出，故第二个方程可以用第一个和第三个方程将其化为零，是多余方程.对系数矩阵进行初等行变换，则其同解方程组为，系数矩阵的秩为2，则其基础解系中含有1个(未知量的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量，取为自由未知量，取，得方程组的一个线性无关的解，故对应特征向量为(2) ，由，因为当时，则的基础解系中只含有1个(未知量的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量，即线性无关的特征向量只有一个，只有两个线性无关的特征向量，不能相似于对角阵.(阶矩阵与对角矩阵相似的充要条
12、件是有个线性无关的特征向量.)当时，则其同解方程组为，系数矩阵的秩为1，则基础解系中含有2个(未知量的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量，取为自由未知量，分别取和，得方程组的两个线性无关的解，故有2个线性无关的特征向量.从而知时，有三个线性无关的特征向量，能相似于对角阵. 存在可逆阵使得十【详解】系数行列式为范德蒙行列式(1)当两两互不相等，即时，方程组仅有零解. (如是阶方阵，只有零解的充分必要条件是)(2)当时，即当或或或时，则(系数矩阵的秩小于未知量的个数)，则方程组均有无穷多解，且当时，因其同解方程组为，则其基础解系里含有1个(未知量的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量，取为自由未
13、知量，取，得解，故方程组的全部解为，其中是任意常数.当时，因其同解方程组为，则其基础解系里含有1个(未知量的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量，取为自由未知量，取，得解，故方程组的全部解为，其中是任意常数.当时，因其同解方程组为，则其基础解系里含有1个(未知量的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量，取为自由未知量，取，得解，故方程组的全部解为，其中是任意常数.当时，因其同解方程组为，则其基础解系里含有2个(未知量的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量，取为自由未知量，分别取和，得解，故方程组的全部解为其中是任意常数.十一【详解】因二维随机变量在矩形上服从均匀分布，则由二维均匀分布的概率密度等
14、于，得其联合概率密度函数为：求边长为和的矩形面积的概率密度，需要求出的分布函数.由分布函数的定义：(1) 当时， ( 因为，其中和都大于0，那么小于0是不可能事件，而等于0时，其面积为0，则概率也为0 )(2) 当时， ( 因为，其中最大为2，最大为1，所以最大就只能为2，则是必然事件 )(3) 当时 (用定义法做这种题时，实质上就是转换成在所求概率的区域与原密度函数的定义域的交集上的一个二重积分). 如图所示相当于在上对联合概率密度函数上的二重积分. 故其分布函数为：由分布函数与密度函数的关系：于是十二【详解】(1) 给定和的概率分布，求和的联合分布，所给条件为，这就需要从这个条件入手.事件包括，所以从正面研究其概率是研究不清的，在这种情况下，往往需要通过其对立事件来研究.根据，有所以有 再根据概率的非负性得 又根据边缘概率的定义：( 通俗点说就是在求关于的边缘分布时，就把对应的所有都加起来，同理求关于的边缘分布时，就把对应的所有都加起来 )因为 所以 因为 所以 因为 所以 因为 所以 即有 (2) 若相互独立，则，即 (这里对于任意都成立，因此在判断两个随机变量不独立时，只要能找出一个点不满足，则两个随机变量一定是不独立的)本题中因为 ，而即 故和不独立.