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1、精品资料1993考研数四真题及解析.1993年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1) .(2) 已知则 .(3) .(4) 设阶方阵的秩为,则其伴随矩阵的秩为 .(5) 设件产品中有件不合格品,从中任取两件,已知索取两件产品中有一件是不合格品,则另一件也是不合格品的概率为 . 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设则在点处 ( )(A) 极限不存在 (B) 极限存在但不连续 (C) 连续但不可导 (D) 可导
2、(2) 设为连续函数,且则等于 ( )(A) (B) (C) (D) (3) 若,都是四维列向量,且四阶行列式,则四阶行列式等于 ( )(A) (B) (C) (D) (4) 设是非奇异矩阵的一个特征值,则矩阵有一特征值等于 ( )(A) (B) (C) (D) (5) 设随机变量与均服从正态分布,记则 ( )(A) 对任何实数,都有 (B) 对任何实数,都有 (C) 只对的个别值,才有 (D) 对任何实数,都有三、(本题满分5分)设是由方程所确定的二元函数,求.四、(本题满分7分)已知,求常数之值.五、(本题满分7分)已知某厂生产件产品的成本为(元).问(1) 若使平均成本最小,应生产多少件
3、产品？ (2) 若产品以每件500元售出,要使利润最大,应生产多少件产品？六、(本题满分6分)设、是大于1的常数,且证明：对于任意有七、(本题满分13分)运用导数的知识作函数的图形.八、(本题满分8分)已知三阶矩阵的逆矩阵为,试求伴随矩阵的逆矩阵.九、(本题满分8分)设是矩阵,是矩阵,是阶单位矩阵().已知,试判断的列向量组是否线性相关？为什么？十、(本题满分8分)设随机变量和独立,都在区间上服从均匀分布;引进事件(1) 已知求常数(2) 求的数学期望.十一、(本题满分8分)假设一大型设备在任何长为的时间内发生故障的次数服从参数为的泊松分布.(1) 求相继两次故障之间时间间隔的概率分布；(2)
4、 求在设备已经无故障工作8小时的情形下,再无故障运行8小时的概率.1993年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】【解析】(2)【答案】【解析】令 则有,则 由复合函数求导法则(3)【答案】【解析】方法一：令则,所以方法二：.(4)【答案】【解析】本题考查伴随矩阵的定义及矩阵的秩的定义.由于,说明中3阶子式全为0,于是的代数余子式故.所以秩 若熟悉伴随矩阵秩的关系式易知 注：按定义伴随矩阵是阶矩阵,它的元素是行列式的代数余子式,是阶子式.(5)【答案】【解析】设事件“从件产品中任取两件,有件不合格品”,记依题意所求概率为,即在
5、发生的条件下发生的概率,亦即在索取两件产品中有一件是不合格品,另一件也是不合格品的概率.又互不相容,故有加法公式 .易见事件因此应用条件概率公式.注：“已知所取两件产品中有一件是不合格品”应理解为“所取两件产品中至少有一件是不合格品”.不少考生将其错误理解为“所取两件产品中恰好只有一件是不合格品”,因而得错误答案二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(C)【解析】利用函数连续定义判定.由于当时,为有界变量,为无穷小量,则,且于是在处连续.故(A)、(B)不正确.又因为不存在,所以在处不可导,所以选(C).【相关知识点】函数连续定义：如果函数在处连续,则有.(2)【答
6、案】(A)【解析】【相关知识点】积分上限函数的求导公式：(3)【答案】(C)【解析】利用行列式的性质,有(和互换,行列式变号).(4)【答案】(B)【解析】方法1：由为的特征值可知,存在非零向量,由有即若是矩阵的特征值,则是矩阵的特征值,因此,有特征值.从而有特征值.故应选(B).方法2： 由是的特征值,知是的特征值,于是是的特征值.应选(B).【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设是阶矩阵,若存在数及非零的维列向量使得成立,则称是矩阵的特征值,称非零向量是矩阵的特征向量.(5)【答案】(A)【解析】则求出、: 因此,对任何实数,都有,应选(A).三、(本题满分5分)【解析】方法一：利用
7、一阶微分形式的不变性,将方程两端微分,得,整理后得 由此,得 .方法二：应先求处函数对的偏导数,将两边分别对求偏导,解之得 , ,故 .四、(本题满分7分)【解析】 ,令,则当时, ,所以 .而 ,由得,所以或五、(本题满分7分)【解析】(1)由,得平均成本,对求导,并令,得解得(舍去).又因为 所以时,取极小值,亦即最小值.所以生产1000件产品可使平均成本最小.(2)利润函数 两边对求导,并令,得 .所以,又,所以时取极大值,也是最大值.因此,要使利润最大,应生产件产品.六、(本题满分6分)【解析】令则.令得方法一：又因为,所以,所以 ,所以 为函数的极小值,所以 即 方法二：因为,则是在
8、时的极小值,即最小值.故当时,有即七、(本题满分13分)【解析】函数的定义域为. 令,得. 令得.列表如下：3+-+-+单调增；凸极大值单调减；凸拐点单调减；凹单调减；凹极小值单调增；凹极大值极小值.由 知,为铅直渐近线.又由求斜渐近线公式,得所以为渐近线.作出图形如下：八、(本题满分8分)【解析】由公式有按可逆矩阵定义,知由于求的逆矩阵.作初等行变换,将第一行乘以分别加到第二行和第三行上,有,再将第二行乘以加到第一行上,第三行自乘以,再第三行乘以加到第一行上,将左边化为单位矩阵,有 .于是, 又因,故知九、(本题满分8分)【解析】方法1：对按列分块,记,其中维列向量是的第个列向量.设存在数使
9、得,即 ,亦即 两边左乘,得 即 亦即由于所以矩阵的列向量线性无关.方法2：因为是矩阵,所以.又由于故所以的列秩也为,而只有个列,故的列向量线性无关.注：方法1用定义法,方法2用秩.只是两个重要思路,都值得很好体会.【相关知识点】1. 向量组线性相关和线性无关的定义：存在一组不全为零的数,使,则称线性相关；否则,称线性无关2.矩阵乘积秩的结论：乘积的秩小于等于单个矩阵的秩.十、(本题满分8分)【解析】(1)依题意,随机变量和同分布且相互独立,所以且、相互独立,所以设由概率的广义加法公式得 解以为未知量的方程 ,得.再依题设条件可知 ,解得的两个可能值为：(2)求随机变量函数的数学期望直接根据公式可求得十一、(本题满分8分)【解析】本题的关键在于理解随机变量的意义,事件表示设备在任何长为的时间内发生次故障,其概率为.由于表示相继两次故障之间时间间隔,故当时,当时,事件与是互逆事件,并且表示在长为的时间内没有发生故障,它等价于事件.(1)易见是只取非负值的连续型随机变量.当时,当时,事件与等价.于是有因此 .计算得知服从参数为的指数分布.(2)由于指数分布具有“无记忆性”,因此.