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1、2.3.3 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算2.3.4 平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示不共线的平面向量不共线的平面向量 叫做这一平叫做这一平面内所有向量的一组基底面内所有向量的一组基底.向量的基底向量的基底:21,ee如果如果 是同一平面内的两个不共线是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向的向量，那么对于这一平面内的任一向量量 ，有且只有一对实数，有且只有一对实数 1 , 2 使得使得平面向量基本定理平面向量基本定理:21,eea2211eea 复习回顾复习回顾ABCDoxyija平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示如图，如图， 是分别与是分别与x轴、轴、
2、y轴方向相同轴方向相同的单位向量，若以的单位向量，若以 为基底，则为基底，则, i j , i j +aaijxyxy 对 对于于该该平平面面内内的的任任一一向向量量 ， ，有有且且只只有有一一对对实实数数 、 ，可可使使 这里，我们把（这里，我们把（x,y）叫做向量）叫做向量 的（直角）坐标，记作的（直角）坐标，记作a( , )ax y其中，其中，x x叫做叫做 在在x x轴上的坐标，轴上的坐标，y y叫做叫做 在在y y轴上的坐标，轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示。式叫做向量的坐标表示。aa平面向量可以用坐标表示，向量平面向量可以用坐标表示，向量的运算可以用坐标来运算吗？的运算可以用坐标来
3、运算吗？探究：探究： 如何计算？如何计算？ （1）已知）已知 =(x1 , y1), = (x2 , y2) ， 求求 + , .（2）已知）已知 =(x1 , y1)和实数和实数 ， 求求 的坐标的坐标 .abaaabab),(),(),(),(),(11212121212211yxayyxxbayyxxbayxbyxa则：向量的坐标运算说明说明： 两个向量的和与差的坐标等于两个向量的两个向量的和与差的坐标等于两个向量的相应坐标的和与差；相应坐标的和与差； 数乘向量的积的坐标等与数乘以向量相应数乘向量的积的坐标等与数乘以向量相应坐标的积。坐标的积。 (2,1),( 3,4),34abab a
4、bab 练习，已知求的坐标。(2,1)( 3,4)15(2,1)( 3,4)53343(2,1)4( 3,4)619ababab 解：（， ）（ ， ）（，）例例1.已知已知A(x1,y1）,B(x2,y2),求向量求向量 的坐的坐标标.AB解：解：ABOBOA =(x2,y2)(x1,y1)=(x2x1，y2y1)。说明：一个向量的坐标等于说明：一个向量的坐标等于向量终点的坐向量终点的坐标减去始点的坐标标减去始点的坐标。例例2.在直角坐标系在直角坐标系xOy中，已知点中，已知点A(x1,y1), B( x2, y2), 求线段求线段AB中点的坐标。中点的坐标。 解：设解：设M(x,y)是线段
5、是线段AB的中点，则的中点，则 1()2OMOAOB 11221( , )(,)(,)2x yx yxy1212,22xxyyxy例例3得到的公式，得到的公式，叫做线段中点的叫做线段中点的坐标公式，简称坐标公式，简称中点公式。中点公式。 例例3.已知已知ABCD的三个顶点的三个顶点A(2, 1)、B(1, 3)、C(3, 4)，求顶点，求顶点D的坐标。的坐标。 解：解： ODOAADOABCOAOCOB =(2,1)+(3,4) (1,3) =(2, 2)所以所以D点的坐标是点的坐标是(2, 2).Oxy11D(x,y)C(3,4)A(-2,1)A(-1,3)练习练习1. 设向量设向量a=(1
6、,3)，b =(2,4)，c =(1,2)，若表示向量，若表示向量4a、4b2c、2(ac)、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量向量d为为 .解：解： 4a+(4b2c)+2(ac)+d=0,所以所以d=6a4b+4c=(2, 6).2.设点设点P在平面上做匀速直线运动在平面上做匀速直线运动,速度向量速度向量 ,设起始设起始P(10,10), 则则5秒钟后点秒钟后点P的坐标为的坐标为( ). (4, 3)v 解：解：5秒种后，秒种后，P点坐标为点坐标为 (10, 10)+5(4, 3)=(10, 5).3.设设A(2, 3)，B(5, 4)，C(7, 1
7、0) 满足满足(1) 为何值时为何值时,点点P在直线在直线y=x上上?(2)设点设点P在第三象限在第三象限, 求求的范围的范围.APABAC 解解: (1) 设设P(x, y)，则，则 (x2, y3)=(3, 1)+(5, 7), 所以所以x=5+5，y=7+4. 21解得解得 =(2) 由已知由已知5+50,7+40 ,所以所以1. 。），求，（），（其中相等，与、已知向量例xNMMNxxxa3131)43, 3(32的坐标。），求点（上一点，且是直线，）（已知变式训练：PPPPPPPPyxPyxP1),(,21212221112. 如何用坐标表示向量平行如何用坐标表示向量平行(共线共线)
8、的等价条件的等价条件? 会得到什么样的重要结论会得到什么样的重要结论?1. 向量向量 与非零向量与非零向量 平行平行(共线共线)的等价条件是有且的等价条件是有且 只有一个实数只有一个实数 , 使得使得abba设设即即 中中,至少有一个不为至少有一个不为0 ,则由则由 得得),(11yxa ),(22yxb ba0,b22, yx01221yxyx01221yxyx这就是说这就是说: 的等价条件是的等价条件是 )0(/bbaa=(x1 ,y1)，b=(x2 ,y2)3、 其中其中 ,a0有且只有一个实数有且只有一个实数，使得，使得ab=即：即：（x2 , y2) =(x1 , y1) =(x1
9、, y1)所以所以x2=x1y2=y1消去消去得：得： x1y2- x2 y1=0a=(x1 ,y1)，b=(x2 ,y2)其中其中x1y2- x2 y1=0abab(0)a 平面向量平面向量共线共线的坐标表示的坐标表示向量共线的充要条件向量共线的充要条件的两种表示形式的两种表示形式:x1y2- x2 y1=0(2)a b(a0) a=(x1 ,y1)，b=(x2 ,y2)有且只有一个实数有且只有一个实数,使得使得ab=(1)a b(a0) 例例1 1 已知已知 a = =（4 4，2 2）,b=,b=（6 6，y y） 且且a b b，求，求y y的值的值. .解：解： a b b 4y-2
10、 4y-26=06=0 解得解得y=3y=3典型例题典型例题), 1(xa)2 ,( xb例例2 已知点已知点A(1，3)， B(3，13)，C(6，28) 求证：求证：A、B、C三点共线三点共线.证明：证明：AB=(3-1,13-3)=(2,10)AB=(3-1,13-3)=(2,10) BC=(6-3,28-13)=(3,15) BC=(6-3,28-13)=(3,15) 2 225=525=51010 ABBC ABBC 又又 直线直线ABAB、直线、直线BCBC有公共点有公共点B B A A、B B、C C三点共线三点共线 典型例题典型例题例例3:设点设点P是线段是线段P1P2上的一点
11、，上的一点，P1、P2的坐标分别是的坐标分别是 。（1）当点）当点P是线段是线段P1P2的中点时，求点的中点时，求点P的坐标；的坐标；（2）当点）当点P是线段是线段P1P2的一个三等分点时，求点的一个三等分点时，求点P的坐标。的坐标。1122( ,),(,)x yxyxyOP1P2P(1)(1)M1212121()2(,)22 OPOPOPxxyy 解解: (1)所以，点所以，点P的坐标为的坐标为1212(,)22xxyyxyOP1P2P(2)(2)xyOP1P2P例例4:设点设点P是线段是线段P1P2上的一点，上的一点，P1、P2的坐标分别是的坐标分别是 。（1）当点）当点P是线段是线段P1
12、P2的中点时，求点的中点时，求点P的坐标的坐标；（2）当点）当点P是线段是线段P1P2的一个三等分点时，求点的一个三等分点时，求点P的坐标的坐标。1122( ,),(,)x yxyxyOP1P2PxyOP1P2P. 221153 . 22212121PPPPPPPPPPP或有两种情况，即，的一个三等分点时，是线段，当点）如图（xyOP1P2P32,323132)(3131212121211212111121yyxxOPOPOPOPOPPPOPPPOPOPPPPP，那么如果），的坐标是（即点32322121yyxxP 直线直线l上两点上两点 p1 、 p2，在，在l上取不同于上取不同于 p1 、
13、p 2的任一点的任一点P，则则P点与点与p1 p2的位置有哪几种情形？的位置有哪几种情形？ P在之在之 间间21PP1P2PPP在在 的延长线上，的延长线上，21PP1P2PPP在在 的延长线上的延长线上. . 12PP1P2PP 能根据能根据P点的三种不同的位置和实数与向量的积的向量点的三种不同的位置和实数与向量的积的向量方向确定方向确定的取值范围吗？的取值范围吗？ 0 1 01 存在一个实数存在一个实数，使，使 ，叫做点叫做点P分有向线分有向线段段 所成的比所成的比21PPPP 21PP 设设 ， ，P分分 所成的比为所成的比为 ，如何，如何求求P点的坐标呢？点的坐标呢？ ),(111yx
14、P),(222yxP 21PP),(111yyxxPP ),(),(2211yyxxyyxx ),(222yyxxPP 21PPPP )()(2121yyyyxxxx 112121yyyxxx 112121yyyxxx有向线段有向线段 的的定比分点坐标公式定比分点坐标公式21PP有向线段 的中点坐标公式21PP 222121yyyxxx(1)两向量和的坐标等于各向量对应坐标的和；(2)两向量差的坐标等于各向量对应坐标的差；(3)实数与向量积的坐标等于原向量的对应坐标乘以该实数； 小结小结1212(,)xxyyab1212(,)xxyyab (,). xya12221212222.A(,),(,
15、);xyBxyxxyyxy 点点的的 坐坐 标标点点的的 坐坐 标标 则则 线线 段段 A AB B的的 中中 点点 坐坐 标标 ( (x x, ,y y) )为为 : :1、向量平行、向量平行(共线共线)的两种形式的两种形式:11221221(1) / / (0);(2) / / ( ,),(,),0)ab babab ax ybxybx yx y 12122;2xxxyyy1112221 212121212322332233.(,),(,);x yxyxxyyxyxxyyxy 点点P P的的坐坐标标点点P P的的坐坐标标 则则线线段段P PP P的的三三等等分分点点坐坐标标（x x, ,y y）为为: :或或记公式：近水楼台多得月记公式：近水楼台多得月