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1、2.3.3 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算2.3.4 平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示复习引入复习引入 如果如果 是同一平面内的是同一平面内的两个不共线向量两个不共线向量,那么那么对这一平面内的任一向量对这一平面内的任一向量 ,有且只有一对实数有且只有一对实数 , 使使1 12 2aee12, 12,e e a对于确定的一组基底对于确定的一组基底, ,平面内的任一向量会和平面内的任一向量会和一对实数对应一对实数对应平面向量基本定理平面向量基本定理平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示Oxy平面内的任一向量平面内的任一向量 ,有且只有一对实数有且只有一对实数x,y,使使 成立成立
2、aaxiy j则称（则称（x，y）是向量是向量 的坐标的坐标aji 如图如图,在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,分别取与分别取与x轴、轴、y轴正方向轴正方向同向的两个同向的两个单位向量单位向量 作基底作基底.i j 、记作：记作：( , )ax yaaa有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。jyxOiaA1AA2bcd例例1 用基底用基底i，j分别表示向量分别表示向量a、b、c、d,并求出它们的坐标并求出它们的坐标.jiAAAAa3221解：解：(2,3)a)3 , 2(32jib)3,
3、 2(32jic)3, 2(32jid(4)如图以原点如图以原点O为起点作为起点作 ，点，点A的位置的位置 被被 唯一确定唯一确定.aOA a Oxy1212abxxyy且平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示aaji(x, y)A此时点此时点A的坐标即为的坐标即为 的坐标的坐标a（5）区别点的坐标和向量坐标）区别点的坐标和向量坐标相等向量的坐标是相同的相等向量的坐标是相同的,但起点、终点的坐标可以不同但起点、终点的坐标可以不同(2)0(1,0)0(0,1)0(0,0)iijjij （1）与）与 相等的向量的坐标均为（相等的向量的坐标均为（x, y)a注意：注意：（3）两个向量）两个向量 相等的
4、充要条件：相等的充要条件：1122( ,),(,)ax ybxy(6)22axy 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算解：解：两个向量的和（差）的坐标两个向量的和（差）的坐标分别等于这两向量相应坐分别等于这两向量相应坐标的和（差）标的和（差）1.已知已知 ， ，求求 ,11( , )ax y22( ,)bx yabab1122()()abx iy jx iy j1212()()xx iyyj1212(,)abxxyy 1212(,)abxxyy同理可得：2已知已知 求求),(),(2211yxByxA，AB ),(11yxA),(22yxBxyO解：解：ABOBOA 2211(,)( ,)xy
5、x y),(1212yyxx 一个向量的坐标等于一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标标减去起点坐标 实数与向量的积的坐标等于实数与向量的积的坐标等于这个实数乘以原来向量的这个实数乘以原来向量的相应坐标相应坐标(,)xya3( , ),.ax yRa、已知 =和求平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算a=(x1 ,y1)，b=(x2 ,y2)4、 其中其中 ,a0有且只有一个实数有且只有一个实数，使得，使得ab=即：即：（x2 , y2) =(x1 , y1) =(x1 , y1)所以所以x2=x1y2=y1消去消去得：得： x1y2- x2 y
6、1=0a=(x1 ,y1)，b=(x2 ,y2)其中其中x1y2- x2 y1=0abab(0)a 平面向量平面向量共线共线的坐标表示的坐标表示向量共线的充要条件向量共线的充要条件的两种表示形式的两种表示形式:x1y2- x2 y1=0(2)a b(a0) a=(x1 ,y1)，b=(x2 ,y2)有且只有一个实数有且只有一个实数,使得使得ab=(1)a b(a0) 2=(2,1), =(-3,4),- 3 +4ababa b ab 例 、已知求， ，的坐标的坐标. 例例3 已知平行四边形已知平行四边形 ABCD的三个顶点的三个顶点A、B、C的的坐标分别为（坐标分别为（2，1）、（）、（ 1，
7、3）、（）、（3，4），求），求顶点顶点D的坐标的坐标ABCDxyO解解：设点：设点D的坐标为的坐标为(x, y)( 1,3)( 2,1)(1,2)(3,4)( , )(3,4) ABDCx yxyABDC 且 且(1,2)(3,4)xyyx423122yx2 , 2D例例3 3 已知已知 a = =（4 4，2 2）,b=,b=（6 6，y y） 且且a b b，求，求y y的值的值. .解：解： a b b 4y-2 4y-26=06=0 解得解得y=3y=3典型例题典型例题变：若向量变：若向量 与与 共线且共线且 方向相同方向相同, 求求 x.), 1(xa)2 ,( xb例例4 已知点
8、已知点A(1，3)， B(3，13)，C(6，28) 求证：求证：A、B、C三点共线三点共线.证明：证明：AB=(3-1,13-3)=(2,10)AB=(3-1,13-3)=(2,10) BC=(6-3,28-13)=(3,15) BC=(6-3,28-13)=(3,15) 2 225=525=51010 ABBC ABBC 又又 直线直线ABAB、直线、直线BCBC有公共点有公共点B B A A、B B、C C三点共线三点共线 典型例题典型例题例例5. 已知向量已知向量 ,其中其中 分别分别 是是x轴轴, y轴正方向上的单位向量轴正方向上的单位向量. 试确定试确定m的值的值,使使A、B、 C
9、 三点共线。三点共线。2 ,ABij BCim j , i j 典型例题典型例题解解: : 由已知得由已知得(1, 2),(1,)ABBCm 要使要使A、B、C三点共线三点共线 ，只须，只须ABBC 即即 1m- (-2) =0 m= -21122332 ABCAx ,y ),Bx ,y ),CGCx ,y ),DABGCD2.GDG.例如图，三个顶点的坐标为 （是的中点， 是上一点，且求点的坐标ABCDGD1212x +xy +y的坐标是（，）2222CGCGGDGD33（x ，y）1212x +xy +y（，）22, x y（）33xyG1212x +xy +y的坐标是（，）33重心坐标公
10、重心坐标公式式中点坐标公中点坐标公式式结论：演练：演练：1(6,1),( , ),( 2, 3), .(4,2) .(4,2) .( 4,2) .(4,2)BCx y CDADAx yBx yCxyDx y 、已知向量AB那么B2.已知点已知点A(2，3)、B（5，4）、）、C（7，10），）， 若若 ，试求，试求为何值时，为何值时， 点点P在第三象限内？在第三象限内？()APABACR 3.3.已知已知a = =（2 2，-3-3）,b=,b=（4 4，x x2 2-5x-5x） 且且a b b，求，求x x的值的值. .解：解： a b b 2 2(x(x2 2-5x)-(-3)-5x)-
11、(-3)4=04=0 即即 x x2 2-5x+6=0-5x+6=0 解得解得x=2x=2或或x=3x=3演练：演练：5. 5. 已知已知A A、B B、C C三点的坐标分别为三点的坐标分别为(-1,0)(-1,0) (3,-1) (3,-1)、(1,2),(1,2),并且并且AE= AC,AE= AC, BF= BC, BF= BC,求证：求证：EFABEFAB1313演练：演练：4. 已知向量已知向量a =(1,2),=(1,2),求与它共线的单位求与它共线的单位向量向量1、引进向量会坐标后，向量的基本运算转化为实、引进向量会坐标后，向量的基本运算转化为实数的基本运算，可以解方程，可以解不等式，总数的基本运算，可以解方程，可以解不等式，总之问题转化到了我们熟悉的领域之中；之问题转化到了我们熟悉的领域之中；小结小结2、要把点坐标、要把点坐标(x,y)与向量坐标相区分，两者不是一个与向量坐标相区分，两者不是一个概念。概念。作业作业P-100 4,5,6,7