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1、函数值域求 法十一种在函数 的三要素中，定义域和值域起 决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函 数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地 位，若方法运用适当，就能起 到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下，供参考。1. 直接观察法对于一 些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例1. 求函数x1y的值域。解：0 x0 x1显然函 数的值域是：),0()0,(例2.
2、 求函数x3y的 值域。解：0 x3x3 ,0 x故函数 的值域是：3,2. 配方法配方法 是求二次函数值域最基本的方法之一。例3. 求函数2,1x,5x2xy2的值域。解：将 函数配方得：4)1x(y22,1x由二次 函数的性质可知：当x=1时，4ym i n，当1x时，8ym a x故函数 的值域是：4，8 3. 判别式法例4. 求函数22x1xx1y的值域。解：原 函数化为关于x 的一元二次方程0 x)1y(x)1y(2（1）当1y时，Rx0)1y)(1y(4)1(2解得：23y21（2）当 y=1时，0 x，而23,211故函数的值域为23,21例5. 求函数)x2(xxy的值域。解：
3、两 边平方整理得：0yx)1y(2x222（1）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - Rx0y8)1y(42解得：21y21但此时 的函数的定义域由0)x2(x，得2x0由0，仅保证关于x的方程 ：0yx)1y(2x222在实数 集 R 有 实根，而不能确保其实根在区间0，2上，即不能确保方程（1）有实根，由0求出的范围可能比 y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为23,21。可以采 取如下方法进一步确定原函数的值
4、域。2x00)x2(xxy21y,0ym in代入方程（1）解得：2,022222x41即当22222x41时，原函数的值域 为：21 ,0注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。4. 反函数法直接求 函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例6. 求函数6x54x3值 域。解：由 原函数式可得：3y5y64x则其反 函数为：3x5y64y，其 定义域为：53x故所求函数的值域为：53,5. 函数有界性法直接求 函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。例7. 求函数1e1eyx
5、x的值域。解：由 原函数式可得：1y1yex0ex01y1y解得：1y1故所求 函数的值域为)1 ,1(例8. 求函数3xs i nxco sy的值域。解：由 原函数式可得：y3xco sxs i ny，可化为：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - y3)x(xsin1y2即1yy3)x(xsin2Rx1 ,1)x(xsin即11yy312解得：42y42故函数 的值域为42,426. 函数单调性法例9. 求函数)10
6、 x2(1xlog2y35x的 值域。解：令1xl o gy,2y325x1，则21y,y在2，10 上都是增函数所以21yyy在2，10 上是增函数当x=2时，8112l o g2y33m i n当x=10时，339log2y35max故所求 函数的值域为：33,81例10. 求函数1x1xy的值域。解：原 函数可化为：1x1x2y令1xy,1xy21，显然21y,y在,1上为无上界的增函数所以1yy，2y在,1上 也为无上界的增函数所以当x=1时，21yyy有最小值2，原函数 有最大值222显然0y，故原函数的值域为2,0(7. 换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数
7、解析式含有根式 或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同 样发挥作用。例11. 求 函数1xxy的值域 。解：令t1x，)0t (，则1tx243)21t(1tty22又0t，由二次函数的性质可知当0t时，1ym i n当0t时，y名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 故函数 的值域为),1例12. 求函数2)1x(12xy的值域。解：因0)1x(12，即1)1x(2故可令,0,co
8、s1x1cossincos11cosy21)4sin(24540,0211)4sin(201)4sin(22故所求 函数的值域为21 ,0例13. 求函数1x2xxxy243的值域。解：原 函数可变形为：222x1x1x1x221y可令tgx，则有2222cosx1x1,2sinx1x24sin412cos2sin21y当82k时，41ym a x当82k时，41ym i n而此时t a n有意义。故所求函数的值 域为41,41例14. 求函数)1x)(cos1x(siny，2,12x的值域。解：)1x)( co s1x(s i ny1xcosxsinxcosxsin令txcosxsin，则)
9、1t (21xcosxsin222)1t(211t)1t(21y由)4/xsin(2xcosxsint，且2,12x名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 可得：2t22当2t时，223ym a x，当22t时，2243y故所求 函数的值域为223,2243。例15. 求函数2x54xy的值域。解：由0 x52，可得5|x|故可令,0,cos5x4)4sin(10sin54cos5y04544当4/时，104ymax当时
10、，54ym i n故所求 函数的值域为：104,548. 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例16. 求函数22)8x()2x(y的 值域。解：原 函数可化简得：|8x|2x|y上式可 以看成数轴上点P（x）到定点A（2） ，)8(B间的距离之和。由上图 可知，当点P在线段AB 上时，10|AB|8x|2x|y当点P在线段 AB的延长线或反向延长线 上时，10|AB|8x|2x|y故所求 函数的值域为：,10例17. 求函数5x4x13x6xy22的值域。解：原 函数可变形为：2222
11、)10()2x()20()3x(y上式可看成 x 轴上的点)0,x(P到两定点)1,2(B),2,3(A的距离之和，由 图 可 知 当 点P为 线 段 与x轴 的 交 点 时 ，43)12()23(|AB|y22min，故所求函数的值域 为,43名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 例18. 求函数5x4x13x6xy22的值域。解：将 函数变形为：2222)10()2x()20()3x(y上式可 看成定点A（3， 2
12、）到点P（x，0）的距离与定点)1 ,2(B到点)0,x(P的距离之差。即：|BP|AP|y由图可 知： （1）当点 P在 x 轴上且不是直线 AB 与 x轴的交点时，如点P，则构成ABP，根据三角形两边之差小于第三边，有26)12()23(|AB|BP| AP|22即：26y26（2）当点P恰好为直线AB与x 轴的交点时，有26|AB|BP|AP|综上所 述，可知函数的值域为：26,26(注： 由例 17， 18可 知 ，求两距 离之和时 ，要将函数式变形 ，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。如：例17的A，B两点 坐标分别为： （3，2） ，)1,2
13、(，在x轴的同侧；例18的A，B两点坐标分别为（3，2） ，)1,2(，在x轴的同侧。9. 不等式法利用基 本不等式abc3cba,ab2ba3)Rc,b,a(， 求函数的最值， 其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不 过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例19. 求函数4)xc os1x( co s)xs i n1x(s i ny22的值域。解：原 函数变形为：52xcotxtan3xcotxtan3xsecxces1xcos1xsin1)xcosx(siny22322222222当且仅 当xco txt a n即当4kx时)zk(，等号成立，故原函数的值域
14、为：),5例20. 求函数x2sinxsin2y的值域。解：xc osxs i nxsi n4yxc o sxs i n42名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 27643/)xsin22xsinx(sin8)xsin22(xsinxsin8xcosxsin16y322222224当且仅 当xsin22xsin22，即当32xsin2时，等号成立。由2764y2可得：938y938故原函 数的值域为：938,938 1
15、0. 一一映射法原理： 因为)0c(dcxbaxy在定义域上 x与y是一一对应的。 故两个变量中， 若知道一个变 量范围，就可以求另一个变量范围。例21. 求函数1x2x31y的值域。解： 定义域为21x21x|x或由1x2x31y得3y2y1x故213y2y1x或213y2y1x解得23y23y或故函数 的值域为,2323,11. 多种方法综合运用例22. 求函数3x2xy的值域。解：令)0t (2xt，则1t3x2（1）当0t时，21t1t11tty2， 当且仅当 t =1，即1x时取等号， 所以21y0（2）当t=0时，y=0 。综上所 述，函数的值域为：21,0注：先 换元，后用不等式
16、法名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 例23. 求函数42432xx21xxx2x1y的值域。解：4234242xx21xxxx21xx21y2222x1xx1x1令2tanx，则2222cosx1x1sin21x1x21sin21sinsin21cosy22161741sin2当41sin时，1617ymax当1sin时，2ym i n此时2t a n都存在，故函数的值域为1617,2注：此 题先用换元法，后用配方
17、法，然后再运用sin的有界性。总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑 用其他各种特殊方法。求函数值域（最值）的方法：（1）配方法 （1）当2,0(x时，函数3)1(4)(2xaaxxf在2x时取得最大值，则a 的取值范围是 _（答：21a） ；（2）换元法（1）22sin3cos1yxx的值域为 _（答：174,8） ；（2）211yxx的值域为 _（答：(3,)） （令1xt，0t。运用换元法时，要特别要注意新元t的范围 ） ；3）sincossincosyxxxx的值域为 _（答：11
18、,2 2） ；（4）249yxx的值域为 _（答：1, 324） ；（3）函数有界性法求函数2 sin11siny，313xxy，2 sin11cosy的值域（答：1(,2、 （0,1） 、3(, 2） ；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - （ 4） 单调性法 求1(19)yxxx，229sin1sinyxx的值域为 _（答：80(0,)9、11,92） ；（5）数形结合法 已知点(,)Px y在圆221xy上，求2yx及2yx的取值范围（答：33,33、5 ,5 ） ；（6）不等式法 设12,x aay成等差数列，12,x bby成等比数列， 则21221)(bbaa的取值范围是 _.（答：(,04,)） 。（7）导数法 求函数32()2440fxxxx，3, 3x的最小值。（答： 48）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -