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1、1 抽象函数与具体函数值域的求法例 1 已知函数 f（x）对任意实数x、y 均有 f（xy）f（x）f（y），且当 x0时， f(x)0， f(1) 2 求 f(x)在区间 2,1上的值域 . 分析：先证明函数f（ x）在 R 上是增函数（注意到f（x2） f（x2x1）x1f（x2x1） f（ x1）；再根据区间求其值域. 例 2 已知函数 f（x）对任意实数x、y 均有 f（xy） 2f（x）f（y），且当 x0 时， f(x)2，f(3) 5，求不等式f（a22a2）0,xN； f（ab）f（a）f（b）， a、 bN；f（2） 4.同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，说明
2、理由. 分析：先猜出f（x）2x；再用数学归纳法证明. 例 6 设 f（x）是定义在（ 0，）上的单调增函数，满足f（xy） f（x）f（y）， f（3） 1，求：（1）f（1）；（2） 若 f（ x） f（x8） 2，求 x 的取值范围 . 分析：（ 1）利用 31 3；（2）利用函数的单调性和已知关系式. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 2 例 7 设函数 y f（x）的反函数是y g（x）.如果 f（ab）
3、 f（a） f（b），那么 g（ab） g（a） g（b）是否正确，试说明理由. 分析：设 f（ a）m，f（b） n，则 g（ m） a，g（n）b，进而 mn f（a） f（b）f（ab） f g（m）g（n）. 例 8 已知函数 f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件： x1、x2是定义域中的数时，有f（x1x2）； f（a）1（a0，a 是定义域中的一个数）； 当 0 x2a 时， f（x）0. 试问：（1）f（x）的奇偶性如何？说明理由；（2） 在（ 0，4a）上， f（x）的单调性如何？说明理由. 分析：（ 1）利用 f （ x1x2） f （x1x2），判定 f（x）是
4、奇函数；（3） 先证明 f（x）在（ 0，2a）上是增函数，再证明其在（2a，4a）上也是增函数 . 对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意 .有些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题. 例 9 已知函数 f（x）（ x0）满足 f（xy） f（x） f（y），（1） 求证： f（ 1） f（ 1） 0；（2） 求证： f（ x）为偶函数；（3） 若 f（ x）在（ 0，）上是增函数，解不等式f（x） f（x） 0. 分析：函数模型为：f（x）loga|x|（a
5、0）（1） 先令 xy 1，再令 x y 1；（2） 令 y 1；（3） 由 f（ x）为偶函数，则f（x） f（|x|）. 例 10 已知函数f（x）对一切实数x、y 满足 f（0）0，f（xy）f（x） f（y），且当 x0 时， f（x）1，求证：（1） 当 x0 时， 0f（x） 1；（2）f（x）在 xR 上是减函数 . 分析：（ 1）先令 xy0 得 f（0） 1，再令 y x；（3） 受指数函数单调性的启发：由 f（xy） f（x）f（y）可得 f（x y），进而由 x1x2，有f（x1x2）1.练习题：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - -
6、 - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 3 1.已知： f（xy）f（x） f（y）对任意实数x、y 都成立，则（）（A）f（0） 0 （B）f（0）1 （C）f（0） 0 或 1 （D）以上都不对2. 若对任意实数x、y 总有 f（xy） f（x） f（y），则下列各式中错误的是（）（A）f（1） 0 （B）f（） f（x）（C）f（）f（ x）f（y）（D） f（xn） nf（x）（ nN）3.已知函数 f（x）对一切实数x、y 满足： f（0） 0，f（xy）f（x）f（y），且当 x0
7、时， f（x）1，则当 x0 时，f（x）的取值范围是（）（A）（ 1，）（ B）（， 1）（C）（ 0，1）（D）（ 1，）4.函数 f（x）定义域关于原点对称，且对定义域内不同的x1、x2都有f（x1x2），则 f（x）为（）（A）奇函数非偶函数（B）偶函数非奇函数（C）既是奇函数又是偶函数（ D）非奇非偶函数5.已知不恒为零的函数f（x）对任意实数x、 y 满足 f（xy） f（xy） 2f（x）f（y），则函数 f（x）是（）（A）奇函数非偶函数（B）偶函数非奇函数（C）既是奇函数又是偶函数（ D）非奇非偶函数参考答案：1A2 B 3 C4A5B 10. 如何求复合函数的定义域？义域是
8、 _。复合函数定义域的求法：已知的定义域为，求的定义域，可由解出 x 的范围，即为的定义域。例若 函 数的 定 义 域 为， 则的 定 义 域为。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 4 分 析 ： 由 函 数的 定 义 域 为可 知 ：； 所 以中有。解： 依题意知：解之，得的定义域为11、函数值域的求法1、直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例 求函数 y=的值域2、配方法配方法是求二次函数值域
9、最基本的方法之一。例、求函数y=-2x+5 ，x-1 ，2 的值域。3、判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 5 4、反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例 求函数 y=值域。5、函数有界性法直接求函数的
10、值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。例 求函数 y=，的值域。6、函数单调性法通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容例求函数 y=（ 2x10）的值域7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例 求函数 y=x+的值域。8 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。名师资料总结 - - -精品资料
11、欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 6 例：已知点P（x.y ）在圆 x2+y2=1 上，例求函数 y=+的值域。解：原函数可化简得：y=x-2 +x+8上式可以看成数轴上点P（x）到定点 A（2），B（ -8 ）间的距离之和。由上图可知：当点P在线段 AB上时，y=x-2 +x+8=AB =10 当点 P在线段 AB的延长线或反向延长线上时，y=x-2 +x+8 AB =10 故所求函数的值域为：10 ，+）例求函数 y=+ 的值域解：原函数可变
12、形为：y=+上式可看成x 轴上的点 P （ x，0）到两定点A（ 3，2）， B（-2，-1 ）的距离之和，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 7 由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时， y=AB=，故所求函数的值域为，+）。注：求两距离之和时，要将函数9 、不等式法利用基本不等式a+b2，a+b+c3（a，b，c），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例：倒数法有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况例求函数 y=的值域名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -