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1、学习必备欢迎下载数列求和的基本方法和技巧一、教学目标：1熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式； 2能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算； 3熟记一些常用的数列的和的公式二、教学重点：特殊数列求和的方法数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧 . 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. (1) 利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和
2、公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(112、等比数列求和公式：) 1(11)1 () 1(111qqqaaqqaqnaSnnn3、) 1(211nnkSnkn 4、) 12)(1(6112nnnkSnkn5、213)1(21nnkSnkn例 1 已知3log1log23x，求nxxxx32的前 n 项和 . 解：由212loglog3log1log3323xxx由等比数列求和公式得nnxxxxS32（利用常用公式）xxxn1)1(211)211(21n1n21例 2 设 Sn1+2+3+n，nN*, 求1)32()(nnSnSnf的最大值 . 解：由等差数列求和公式得)1(21nnSn，
3、)2)(1(21nnSn（利用常用公式）1)32()(nnSnSnf64342nnn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页学习必备欢迎下载nn6434150)8(12nn501 当88n，即 n8 时，501)(maxnf(2) 错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前 n项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列. 例 3 求和：132)12(7531nnxnxxxS解：由题可知，1)12(nxn 的通项是等差数列2n 1 的通项与等比数列1nx
4、的通项之积设nnxnxxxxxS) 12(7531432. （设制错位）得nnnxnxxxxxSx) 12(222221)1(1432（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：nnnxnxxxSx) 12(1121)1 (121)1 ()1 () 12()12(xxxnxnSnnn例 4 求数列,22,26,24,2232nn前 n 项的和 . 解：由题可知，nn22 的通项是等差数列2n 的通项与等比数列n21 的通项之积设nnnS222624223214322226242221nnnS（设制错位）得1432222222222222)211(nnnnS（错位相减）1122212nnn1224n
5、nnS(3) 倒序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1naa. 例 5求证：nnnnnnnCnCCC2)1() 12(53210精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页学习必备欢迎下载证明：设nnnnnnCnCCCS)12(53210. 把式右边倒转过来得0113)12()12(nnnnnnnCCCnCnS（反序）又由mnnmnCC可得nnnnnnnCCCnCnS1103)12()12( . . +得nnnnnnnnnCCCCn
6、S2) 1(2)(22(2110（反序相加）nnnS2)1(例 6 求89sin88sin3sin2sin1sin22222的值解：设89sin88sin3sin2sin1sin22222S . 将式右边反序得1sin2sin3sin88sin89sin22222S . （反序）又因为1cossin),90cos(sin22xxxx +得（反序相加）)89cos89(sin)2cos2(sin)1cos1(sin2222222S89 S 44.5 （4）分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
7、例 7 求数列的前n 项和：231,71,41,1112naaan，解：设)231()71()41() 11 (12naaaSnn将其每一项拆开再重新组合得)23741 ()1111 (12naaaSnn（分组）当 a1 时，2)13(nnnSn2)13(nn（分组求和）当1a时，2) 13(1111nnaaSnn2)13(11nnaaan例 8 求数列 n(n+1)(2n+1)的前 n 项和 . 解：设kkkkkkak2332)12)(1(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页学习必备欢迎下载nknkkkS1)12)(
8、1()32(231kkknk将其每一项拆开再重新组合得Snkkknknknk1213132（分组）)21()21 (3)21(2222333nnn2) 1(2)12)(1(2) 1(22nnnnnnn（分组求和）2)2()1(2nnn（5）裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（ 1）)()1(nfnfan（2）nnnntan)1tan()1cos(cos1sin（ 3）111)1(1nnnnan（4）)121121(211)12)(12()2(2nnnnnan（
9、 5）)2)(1(1)1(121)2)(1(1nnnnnnnan(6) nnnnnnnnSnnnnnnnnna2) 1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21则例 9 求数列,11,321,211nn的前 n 项和 . 解：设nnnnan111（裂项）则11321211nnSn（裂项求和）)1()23()12(nn11n精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页学习必备欢迎下载例 10 在数列 an 中，11211nnnnan，又12nnnaab，求数列 bn的前 n 项的和 . 解：211211nnnnnan
10、)111(82122nnnnbn（裂项）数列 bn 的前 n 项和)111()4131()3121()211(8nnSn（裂项求和）)111 (8n18nn（6）合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn. 例 11 求 cos1+ cos2 + cos3 + + cos178 + cos179 的值 . 解：设 Sn cos1 + cos2 + cos3 + + cos178 + cos179 )180cos(cosnn（找特殊性质项） Sn （cos1+ cos179 ） +（ cos2 + cos17
11、8 ） + （ cos3+ cos177 ） + +（cos89+ cos91 ） + cos90 （合并求和） 0 例 12 在各项均为正数的等比数列中，若103231365logloglog,9aaaaa求的值 . 解：设1032313logloglogaaaSn由等比数列的性质qpnmaaaaqpnm（找特殊性质项）和对数的运算性质NMNMaaalogloglog得)log(log)log(log)log(log6353932310313aaaaaaSn（合并求和）)(log)(log)(log6539231013aaaaaa9log9log9log333 10 （7）利用数列的通项求和
12、先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页学习必备欢迎下载求数列的前n 项和，是一个重要的方法. 例 13 求11111111111个n之和 . 解：由于)110(91999991111111kkk个个（找通项及特征）11111111111个n)110(91)110(91)110(91)110(91321n（分组求和）)1111 (91)10101010(911321个nn9110)110(1091nn)91010(8111nn例 14
13、已知数列 an ：11)(1(,)3)(1(8nnnnaannna求的值 . 解：)4)(2(1)3)(1(1)1(8)(1(1nnnnnaannn（找通项及特征）)4)(3(1)4)(2(18nnnn（设制分组）)4131(8)4121(4nnnn（裂项）1111)4131(8)4121(4)(1(nnnnnnnnnaan（分组、裂项求和）418)4131(4313课后习题：一、选择题1已知na为等差数列，其公差为-2，且7a是3a与9a的等比中项，nS为na的前n项和，*nN，则10S的值为（）A-110 B-90 C90 D 110 2数列na的首项为3，nb为等差数列且*1nnnbaa
14、nN。若则3102,12bb，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页学习必备欢迎下载则8a=（）A0 B3 C8 D11 3 已知定义在0,上的函数( )f x满足( )3 (2)f xf x， 当0 ,2x时，2( )2f xxx 设( )f x在22,2nn上的最大值为*()nanN， ，则na=（）A3n B1( )3n C13n D11( )3n4设na是各项为正数的无穷数列，iA是边长为1,iia a的矩形面积（1,2,3,i） ，则nA为等比数列的充要条件为（）Ana是等比数列。B1321,na aa或242
15、,naaa是等比数列。C1321,na aa和242,naaa均是等比数列。D1321,na aa和242,naaa均是等比数列，且公比相同。5设nS为等差数列na的前 n 项和，若11a，公差2d，224kkSS，则k=（）A8 B7 C6 D5 6已知数列na的前 n 项和nS满足：nmm nSSS，且11a那么10a（）A1 B9 C10 D55 二、填空题7设nS是等差数列na（*nN） ，的前n项和，且141,7aa，则9S8在等差数列na中，3737aa，则2468aaaa_ 9在等比数列na中，a112a，44a， 则公比 q=_；12naaa_。10已知ABC的一个内角为120
16、，并且三边长构成公差为4 的等 差 数 列 ， 则ABC的 面 积 为_. 11 九章算术 “竹九节”问题：现有一根9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4 节的容积共为 3 升，下面3 节的容积共4 升，则第5 节的容积为升。12等差数列na前 9 项的和等于前4 项的和若141,0kaaa，则 k=_三、解答题13已知等差数列na 满足2680,10aaa（I ）求数列na的通项公式；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页学习必备欢迎下载（II ）求数列12nna的前 n 项和14已知等比数列na的各项均为
17、正数，且12231aa23269aa a（I ）求数列na的通项公式（II ）设31323logloglognnbaaa，求数列1nb的前 n 项和nT15已知公差不为0 的等差数列na的首项1a为a（aR）,设数列的前n 项和为nS，且11a，21a，41a成等比数列（1）求数列na的通项公式及nS16求下列数列的前n项和nS：（1） 5，55， 555，5555，5(101)9n，；（2）1111,1 3 24 3 5(2)n n；（3）11nann；（4）23,2,3,naaana；（5）1 3,24,35, (2),n n；（ 6）2222sin 1sin 2sin 3sin 89（7）已知数列na的通项65()2()nnnnan为奇数为偶数，求其前n项和nS精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页