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1、学习必备 欢迎下载 数列求和方法盘点 一、直接求和法（或公式法）掌握一些常见的数列的前 n 项和：123 +n=(1)2n n，1+3+5+(2n-1)=2n 2222123 +n=(1)(21)6n nn，3333123 +n=2(1)2n n等.例 1 求2222222212345699100 解：原式22222222(21)(43)(65)(10099)3711199 由等差数列求和公式，得原式50(3199)50502 变式练习：已知3log1log23x，求的前 n 项和.解：1n21 二、倒序相加法 此方法源于等差数列前 n 项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有
2、公因式可提取，以便化简后求和.例 2 求222222222222123101102938101 的和 解：设222222222222123101102938101S 则222222222222109811012938101S 两式相加，得 21111 05SS ，三、裂项相消法 常见的拆项公式有：1()n nk1 11()k nnk，1nkn 1()nknk，1(21)(21)nn111()2 2121nn，等.例 3 已知222112(1)(21)6nn nn，求 22222222235721()11212312nnn N的和 n x x x x 3 2 学习必备 欢迎下载 解：222212
3、16112(1)(1)(21)6nnnann nn nn，11161 22 3(1)1111161223116 11ln.1nSn nnnnn 小结：如果数列na的通项公式很容易表示成另一个数列nb的相邻两项的差，即1nnnabb，则有11nnSbb.这种方法就称为裂项相消求和法.变式练习：求数列311，421，531，)2(1nn，的前 n 项和 S.解：)2(1nn=211(21nn）Sn=)211()4121()311(21nn=)2111211(21nn=42122143nn 四、错位相减法 源于等比数列前 n 项和公式的推导，对于形如nna b的数列，其中na为等差数列，nb为等比数
4、列，均可用此法.例 4 求2335(21)nxxxnx 的和 解：当1x 时，21122(1)(21)1(1)1nnnxxxnxSxxx；当1x 时，2nSn 小结：错位相减法的步骤是：在等式两边同时乘以等比数列nb的公比；将两个等式相减；利用等比数列的前 n 项和公式求和.变式练习：求数列 a,2a2,3a3,4a4,nan,(a 为常数)的前 n 项和。首末两项等距离的两项相加有公因式可提取以便化简后求和例求的和解这种方法就称为裂项相消求和法变式练习求数列的前项和解四错位相减比数列的公比将两个等式相减利用等比数列的前项和公式求和变式练习学习必备 欢迎下载)1(2)1(ann解：（1）若 a
5、=0,则 Sn=0（2）若 a=1,则 Sn=1+2+3+n=(1)2n n（3）若 a0 且 a1 则 Sn=a+2a2+3a3+4a4+nan，aSn=a2+2 a3+3 a4+nan+1(1-a)Sn=a+a2+a3+an-nan+1=Sn=当 a=0 时，此式也成立。Sn=五、分组求和法 若数列的通项是若干项的代数和，可将其分成几部分来求.例 5 求数列11111246248162nn，的前n项和nS 23411111111(2462)(1)222222nnnSnn n 变式练习：求数列11111,2,3,4,392781的前n项和 解：21122 3nnn 基本练习 1.等比数列na
6、的前项和 S2，则2232221naaaa_.2.设1357(1)(21)nnSn ，则nS_.3.1111 447(32)(31)nn .4.1111.2 43 54 6(1)(3)nn=_ 5.数列2211,(12),(122),(1222),n 的通项公式na ，前 n 项和nS 111nnnaaaa)1(1)1(121aanaaaann)1(1)1(121aanaaaann首末两项等距离的两项相加有公因式可提取以便化简后求和例求的和解这种方法就称为裂项相消求和法变式练习求数列的前项和解四错位相减比数列的公比将两个等式相减利用等比数列的前项和公式求和变式练习学习必备 欢迎下载 6 ;,2
7、12,25,23,2132nn 的前 n 项和为_ 提高练习 1数列an满足：a11，且对任意的 m，nN*都有：amnamanmn，则20083211111aaaa ()A20094016 B20092008 C10042007 D20082007 2数列an、bn都是公差为 1 的等差数列，若其首项满足 a1b15，a1b1，且 a1，b1N*，则数列nba前 10 项的和等于 ()A100 B85 C70 D55 3设 m=12+23+34+(n-1)n，则 m 等于 ()A.3)1(2nn B.21n(n+4)C.21n(n+5)D.21n(n+7)4若 Sn=1-2+3-4+(-1)
8、n-1n，则 S17+S3350等于 ()A.1 B.-1 C.0 D.2 5设an为等比数列,bn为等差数列，且 b1=0,cn=an+bn,若数列cn是 1,1,2,则cn的前 10项和为 ()A.978 B.557 C.467 D.979 61002-992+982-972+22-12的值是 ()A.5000 B.5050 C.10100 D.20200 7一个有 2001 项且各项非零的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为 .8若 12+22+(n-1)2=an3+bn2+cn，则 a=,b=,c=.9已知等差数列an的首项 a11，公差 d0，且其第二项、第五项、第十四项分别是等
9、比数列bn的第二、三、四项(1)求数列an与bn的通项公式；(2)设数列cn对任意自然数 n 均有1332211nnnabcbcbcbc成立 求 c1c2c3c2003的值 10已知数列an的前 n 项和 Sn满足:Sn=2an+(-1)n,n1.(1)求证数列an+32(-1)n是等比数列;(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对任意的整数 m4,有.8711154maaa 首末两项等距离的两项相加有公因式可提取以便化简后求和例求的和解这种方法就称为裂项相消求和法变式练习求数列的前项和解四错位相减比数列的公比将两个等式相减利用等比数列的前项和公式求和变式练习学习必备 欢迎下载 基础练习答案
10、 1、413n 2、(1)nn 3、31nn 4、1 11112 2323nn 5、121;22nnn 62332nnnS。提高练习答案 1解：amnamanmn，an1ana1nan1n，利用叠加法得到：2)1(nnan，)111(2)1(21nnnnan，)200911(2)20091200813121211(211112008321aaaa 20094016 答案：A.2解：ana1n1，bnb1n1 nbaa1bn1a1(b1n1)1 a1b1n25n2n3 则数列nba也是等差数列，并且前 10 项和等于：85102134 答案：B.3解：因为 an=n2-n.，则依据分组集合即得.
11、答案;A.4解：对前 n 项和要分奇偶分别解决，即：Sn=)(2)(21为偶为奇nnnn 答案：A 5解 由题意可得 a1=1,设公比为 q,公差为 d,则2212dqdq q2-2 q=0,q0,q=2,an=2n-1,bn=(n-1)(-1)=1-n,cn=2n-1+1-n,Sn=978.答案：A 6解：并项求和，每两项合并，原式=(100+99)+(98+97)+(2+1)=5050.答案：B 7 解：设此数列an,其中间项为 a1001,则 S奇=a1+a3+a5+a2001=1001a1001,S偶=a2+a4+a6+a2000=1000a1001.答案:10001001 8解：原式
12、=.6326)12()1(23nnnnnn 首末两项等距离的两项相加有公因式可提取以便化简后求和例求的和解这种方法就称为裂项相消求和法变式练习求数列的前项和解四错位相减比数列的公比将两个等式相减利用等比数列的前项和公式求和变式练习学习必备 欢迎下载 答案：61;21;31 9解：(1)由题意得(a1d)(a113d)(a14d)2(d0)解得 d2，an2n1，可得 bn3n1(2)当 n1 时，c13；当 n2 时，由nnnnaabc 1，得 cn23n1，故).2(32),1(31nncnn 故 c1c2c3c200332323223200232003 10(1)证明 由已知得 an=Sn
13、-Sn-1=2an+(-1)n-2 an-1-(-1)n-1(n2),化简得 an=2an-1+2(-1)n-1(n2),上式可化为 an+32(-1)n=2an-1+32(-1)n-1(n2),a1=1,a1+32(-1)1=31.故数列an+32(-1)n是以31为首项，公比为 2 的等比数列.(2)解 由（1）可知 an+32(-1)n=321n.an=312n-1-32(-1)n=322n-2-(-1)n,故数列an的通项公式为 an=322n-2-(-1)n.(3)证明 由已知得maaa11154=mmmm)1(21631331151913123)1(21121121232232=)20110151311(21)21111151311(21=.871201051201041513)21(511513)21525234(21211)211(513421555mmm 故)4(8711154maaam 首末两项等距离的两项相加有公因式可提取以便化简后求和例求的和解这种方法就称为裂项相消求和法变式练习求数列的前项和解四错位相减比数列的公比将两个等式相减利用等比数列的前项和公式求和变式练习