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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载数列求和的基本方法和技巧一、教学目标：1娴熟把握等差数列与等比数列的求和公式； 2能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算； 3熟记一些常用的数列的和的公式二、教学重点：特别数列求和的方法数列是高中代数的重要内容,又是学习高等数学的基础 . 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的位置 . 数列求和是数列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要肯定的技巧 . 下面,就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧 . 1 利用常用求和公式求和名师归纳总结 利用以下
2、常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 第 1 页,共 8 页1、 等差数列求和公式：S nna 12anna1nn1 d22、等比数列求和公式：S nna 1n qa 1anqqq11a 111q1q3、S nkn1k1n n1 4、S nkn1k21nn1 2n1265、S nkn1k31n n1 22例 1 已知log3xlog13,求xx2x3xn的前 n 项和 . 2解：由log3xlog13log3xlog32x122由等比数列求和公式得Snxx2x3xn（利用常用公式）x 1xn1 111122 1n1x12n2例 2 设 Sn1+2+3+ +n,nN *, 求fnnS
3、 nS n1的最大值 . 32解：由等差数列求和公式得Sn1nn1 ,Sn1n1 n2（利用常用公式）22fnnS nS n1n2n6432 34 n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - n164n学习必备欢迎下载1134825050nn 当n8,即 n8 时,fnmax18502 错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列a nbn 的前 n项和,其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列. 的通项之积（设制错位）（错位相减）（设制错位）（错位相减） 例 3 求和：Sn13x5x27x32n1 xn1
4、解：由题可知,2n1 xn1 的通项是等差数列2n 1 的通项与等比数列xn1设xSn1x3x25x37x42n1xn . 得 1xS n12x2x22x32x42xn12n1xn再利用等比数列的求和公式得：1xS n12x11xn12n1xnxS n2n1 xn12n1xn1x1x2例 4 求数列2,4,6,2n,前 n 项的和 . 222232n解：由题可知,2n 的通项是等差数列2n 的通项与等比数列1 的通项之积 n 22n设Sn2462n 222232n1S n2462n 22223242n1得 11S n222222n222223242n2n122112nn2n1S n4nn221
5、3 倒序相加法求和名师归纳总结 这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列（反序）,再把它与原第 2 页,共 8 页数列相加,就可以得到n 个a 1an. 例 5 求证：C03 C15 C22n1Cnn1 2nnnnn- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 证明：设S nC03 C15 C2学习必备1 欢迎下载. 2nCn nnnn把式右边倒转过来得S n2n1 Cn2n1 Cn13 C1 nC0 n（反序）nn又由CmCnm可得3 Cn1Cn . . nnS n2n1 C02n1 C1nnnn+得2S n2n2C0C1Cn1Cn
6、2n12n（反序相加）nnnnSnn1 2nsin289的值sin289 . 例 6 求sin21sin22sin23sin28821sin22sin23sin288解：设Ssin将式右边反序得Ssin289sin288x,sinsin23sin22sin21 . （反序）又由于sinxcos902xcos2x1sin289cos289（反序相加） +得cos21sin22cos222Ssin2189 S 44.5 （4）分组法求和有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,如将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可7,. ,a113n2,2 例 7
7、求数列的前n 项和：11 ,14,1aa2n解：设Sn1114 1713naa2an1将其每一项拆开再重新组合得名师归纳总结 Sn111a11147n1n3n2n（分组）第 3 页,共 8 页aa2n当 a1 时,Snn3n21 n3 n1 3 n1 （分组求和）2na当a1时,S n113 n1an a112a12ak例 8 求数列 nn+12n+1的前 n 项和 . 3 k2解：设akkk1 2k1 2 k3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - S nnkk1 2k1 学习必备欢迎下载n2k33 k2kk1k1将其每一项拆开再重新组合得Sn2nk33n
8、k2n22nnn2 12n（分组）kk1k1k12 1 32 3n331 2n2n121 2n1 （分组求和）n n12222nn1 2 n2（5）裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的详细应用 重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解,然后 . 通项分解（裂项）如：名师归纳总结 （ 1）a nfn1 fn（2）cossin1tann1 tann第 4 页,共 8 页ncos n1 （ 3）a nn11 1n11（4）an2n 21 1121121 1nn2n1 2n2nn1n21n11 n1n2（ 5）a nnn1 2n1 12n,就S
9、n1n12n6 annn212n1 n11n1 2nnn1 2nn2n1n1 1例 9 求数列112,213,n1n1,的前 n 项和 . （裂项）n1n1n1n解：设an就Sn1111（裂项求和）223nn12132n1nn11- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 10 在数列 a n 中,a nn11n21学习必备欢迎下载an21,求数列 bn 的前 n 项的和 . n,又b nn1a n解：a nn11n21n1n1n1n11（裂项）n2bnn218 1 1nn2211 4（裂项求和）数列 bn 的前 n 项和Sn8 11112233n81n1
10、18nn1（6）合并法求和针对一些特别的数列,将某些项合并在一起就具有某种特别的性质,因此,在求数列的和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求 Sn. 例 11 求 cos1 + cos2 + cos3 + + cos178 + cos179 的值 . 解：设 Sn cos1 + cos2 + cos3 + + cos178 + cos179 （找特别性质项）cosncos 180n Sn （cos1 + cos179 ） +（ cos2 + cos178 ） + （ cos3 + cos177 ） + +（cos89 + cos91 ） + cos90 （合并求和） 0 例 12 在各项均为
11、正数的等比数列中,如a5a69 ,求log3a 1log3a 2log3log3a10的值 . 解：设Snlog3a 1log3a2log3a 10得3a5a6（找特别性质项）由等比数列的性质mnpqamanapaq和对数的运算性质logaMlogaNlogaMN（合并求和）Snlog3a 1log3a10log3a2log3a 9loglog3a 1a10log3a 2a 9log3a5a6log39log39log39 10 （7）利用数列的通项求和先依据数列的结构及特点进行分析,找出数列的通项及其特点,然后再利用数列的通项揭示的规律来名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共
12、 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 求数列的前n 项和,是一个重要的方法. 学习必备欢迎下载例 13 求1111111111之和 . n1（找通项及特点）n 个1解：由于111111999191 10k1 99k 个k 个（分组求和）1111111111n个11 1011 1 1021 11031 1 10n1 99991 10110210310n111111 99n个110 10n11 n9109（找通项及特点）1 10n1109n 81例 14 已知数列 a n ：ann8n3 ,求n1n1 anan1的值 . 1 解：n1 anan18n1 n1n3 n1n41 2
13、 （设制分组）8n21n4 n1n4 3 4（裂项）4n12n148n13n1n1 anan14n1n12n148n1n13n14（分组、裂项求和）4118134413 3课后习题：一、挑选题名师归纳总结 1已知a n为等差数列,其公差为-2 ,且a 是3a 与a 的等比中项,S 为a n的前 n 项和,nN*,就第 6 页,共 8 页S 10的值为（） C90 D 110 A-110 B-90 2数列a n的首项为 3,b n为等差数列且b na n1a nnN*；如就b 32,b 1012,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 就a =（）学习必备欢迎
14、下载A0 B3 C8 D11 3已知定义在 0, 上的函数 f x 满意 f x 3 f x 2,当 x 0,2 时,f x x 22 x 设 f x *在 2 n 2,2 n 上的最大值为 a n n N ,就 a =（）A 3n B1 n C3 n 1 D 1 n 13 34设 a n 是各项为正数的无穷数列,iA 是边长为 a a i 1 的矩形面积（i 1,2,3,）,就 A n 为等比数列的充要条件为（）Aa n 是等比数列；Ba a 3 , a 2 n 1 , 或 a 2 , a 4 , a 2 n , 是等比数列；Ca a 3 , a 2 n 1 , 和 a 2 , a 4 ,
15、a 2 n , 均是等比数列；Da a 3 , a 2 n 1 , 和 a 2 , a 4 , a 2 n , 均是等比数列,且公比相同；5设 S 为等差数列 a n 的前 n 项和,如 a 1 1,公差 d 2,S k 2 S k 24,就 k =（）A8 B7 C6 D5 6已知数列 a n 的前 n 项和 S 满意：S n S m S m n,且 a 1 1那么 a 10（）A1 B9 C10 D55 二、填空题7设S 是等差数列a n（nN ）,的前n 项和,且a 11,a47,就S 9_；ABC 的 面 积 为8在等差数列a n中,a3a 737,就a2a4a 6a8_ 9在等比数列
16、 a n 中,a a 1 1, 4 a 4,就公比 q=_；a 1 a 2 a n210已知 ABC 的一个内角为 120 ,并且三边长构成公差为 4 的 等 差 数 列 , 就_. 11九章算术 “ 竹九节” 问题：现有一根 9 节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面 4 节的容积共为 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,就第 5 节的容积为 升；12等差数列 a n 前 9 项的和等于前 4 项的和如 a 1 1, a k a 4 0,就 k=_三、解答题名师归纳总结 13已知等差数列a n 满意a 20,a6a810第 7 页,共 8 页（I ）求数列a n 的通项公式；- -
17、- - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （II ）求数列an1的前 n 项和学习必备欢迎下载n 214已知等比数列a n的各项均为正数,且2a 13 a21a29 a a63（I ）求数列a n的通项公式a nlog3a ,求数列1的前 n 项和T S ,且1,1,1（II ）设b nlog3a 1log3a 2b n15已知公差不为0 的等差数列的首项1a为a（aR）, 设数列的前n 项和为a 1a2a 4成等比数列（1）求数列 a n 的通项公式及 S n16求以下数列的前 n 项和 S ：名师归纳总结 （1） 5,55, 555,5555, ,5 10 9n1, ；（2）1 ,1 3 211 ,4 3 5,12,；n n（3）a nn1n1；n 为奇数（4）a,2a2,3a3,nan,；2 sin 89 （ 6）2 sin 12 sin 22 sin 3（5） 1 3,24,35, n n2,（7）已知数列 a n的通项a n6 n5,求其前 n 项和S 2n n 为偶数第 8 页,共 8 页- - - - - - -