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1、精品资料欢迎下载多元函数的极限与连续习题1. 用极限定义证明 :14)23(lim12yxyx。2. 讨论下列函数在（ 0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。（1）yxyxyxf),(；(2) yxyxyxf1si n1si n)(),(；(3) yxyxyxf233),(；(4) xyyxf1si n),(。3. 求极限（1）220)(lim220yxxyxy；（2）11lim222200yxyxyx；（3）22001sin)(limyxyxyx；（4）222200)sin(limyxyxyx。4. 试证明函数00)1ln(),(xyxxxyyxf在其定义域上是连续的。
2、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页精品资料欢迎下载1. 用极限定义证明 :14)23(lim212yxyx。因为1,2yx，不妨设0|1|,0|2|yx，有54|2|42|2|xxx，|22123|1423|22yxyx|1|2|2|15|1|2|2|2|3yxyxx|1|2|15yx0，要使不等式|1|2|15|1423|2yxyx成立取 1 ,30min，于是0，0 1 ,30min，),(yx：|1|,|2|yx且) 1 , 2(),(yx，有|1423|2yx，即证。2. 讨论下列函数在（ 0,0）处的两个累
3、次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。（1）yxyxyxf),(；1limlim00yxyxyx，1l i mli m00yxyxxy，二重极限不存在。或0l i m0yxyxxyx，31l i m20yxyxxyx。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页精品资料欢迎下载(2) yxyxyxf1sin1sin)(),(；|1sin1sin)( |0yxyxyx可以证明0|)|(|lim00yxyx所以0),(lim00yxfyx。当kx1，0y时，yxyxyxf1sin1sin)(),(极限不存在，因此yxyxyx1
4、si n1si n)(limlim00不存在，同理yxyxxy1si n1si n)(limlim00不存在。(3) yxyxyxf233),(；02lim),(lim2300 xxxyxfxxyx，当 P(x, y)沿着32xxy趋于（ 0,0）时有1)(lim),(lim23232330320 xxxxxxyxfxxxyx，所以),(lim00yxfyx不存在；0),(limlim00yxfyx，0),(limlim00yxfxy。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页精品资料欢迎下载(4) xyyxf1sin),(
5、|1sin|0yxy0),(lim00yxfyx，01s i nlimlim00 xyyx，xyxy1s i nl i ml i m00不存在。3. 求极限（1）220)(lim220yxxyxy；| )ln(|4)(| )ln(|0222222222yxyxyxyx，又0ln4lim)ln(4)(lim202222200ttyxyxtyx，1)(lim)22ln(22)0,0(),(lim222200yxyxyxyxyxeyx。（2）11lim222200yxyxyx；211)11)(lim11lim22222200222200yxyxyxyxyxyxyx。精选学习资料 - - - - -
6、- - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页精品资料欢迎下载（3）22001sin)(limyxyxyx；|1sin)( |22yxyxyx，而0)(l i m00yxyx故01si n)(lim2200yxyxyx。（4）222200)sin(limyxyxyx。令cosrx，sinry，)0,0(),(yx时，0r，1sinlim)sin(lim220222200rryxyxryx。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页精品资料欢迎下载4. 试证明函数00)1ln(),(xyxxxy
7、yxf在其定义域上是连续的。证明：显然 f(x, y)的定义域是 xy-1. 当0 x时，f(x, y)是连续的， 只需证明其作为二元函数在y轴的每一点上连续。以下分两种情况讨论。（1） 在原点（ 0,0）处f(0, 0)=0, 当0 x时0)1ln(00)1ln(),(1yxyyyxxyyxfxy, 由于1)1l n (lim100 xyyxxy不妨设1|1)1l n (|1xyxy，2|)1l n(|1xyxy，从而0， 取2，当|0,|0yx时，|)1ln(|0)1ln(|1xyxyyxxy|2|)1ln(|1yxyyxy，于是，无论0,0 xx，当|,|yx时，都有)0, 0(0),(
8、lim00fyxfyx（2） 在),0(y处。 （)0y当0 x时，|)1ln(| ),0(),(|1yxyyyfyxfxy|)() 1)1( l n(|1yyxyyxy|1)1ln(|1yyxyyxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页精品资料欢迎下载当 x=0时, |),0(),(|yyyfyxf, 注意到，当0y时1)1l n (lim10 xyyyxxy，于是，无论0,0 xx， 当0y时0| ),0(),(|lim0yfyxfyyx，即 f(x, y)在在),0(y处连续，综上， f(x, y)在其定义域上连续。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页