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1、六、逆矩阵逆矩阵及其性质 若方阵 A, B满足等式AB=BA=I( I 为单位矩阵 ) 则称 A为 B的逆矩阵，或称 B为 A的逆矩阵 , 记作A=或 B=这时 A,B 都称为可逆矩阵（或非奇异矩阵，或满秩矩阵）. 否则称为不可逆矩阵（或奇异矩阵，或降秩矩阵）. 可逆矩阵具有性质：1 若 A,B 为可逆矩阵，则 AB仍为可逆矩阵，且（反序定律）一般地，若 A1 ,A2 , ,As为可逆矩阵，则2 矩阵 A 可逆的充分必要条件是： det A0. 3 若矩阵 A可逆，则det1 0 且 det=(det=A, (a0) =() , 4 矩阵 A 可逆的充分必要条件是：矩阵A的特征值全不为零 .
2、伴随矩阵与逆矩阵表达式 设 Aij为矩阵 A=(aij)的第 i 行第 j 列元素 aij的代数余子式，则矩阵名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - A*=称为矩阵A的伴随矩阵 . 若 A为非奇异矩阵，即 det A0, 则 A的逆矩阵表达式为注意， A*的第 i 行第 j 列元素是 A的第 j 行第 i 列元素的代数余子式 . 对角矩阵的逆矩阵 对角矩阵D =,di0 ( i =1,2,.,n) 的逆矩阵为D1=显然对
3、角矩阵的逆矩阵仍是对角矩阵. 三角形矩阵的逆矩阵 三角形矩阵L=, 的逆矩阵为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - =P=式中(i =1,2,.,n) 显然非奇异下（上）三角形矩阵的逆矩阵仍是下（上）三角形矩阵. 正定矩阵的逆矩阵 1 高斯-若当法正定矩阵 A=(aij)的逆 A1=(bij)可由下列递推公式求出：, , ( k=1,2,.,n) 最后得到式中 n 为该正定矩阵 A的阶. 2 三角阵法 其步骤如下：名师
4、资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - （1） 把正定矩阵 A=(aij) 表示为A=D式中 D为实的非奇异对角矩阵D=为实的非奇异下三角矩阵 . =是的转置矩阵 . di(i =1,2,.,n)与ij( i =2,.,n;j=1, ,n )由下面递推公式算出：（2）求出 D的逆矩阵名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - -
5、- - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - =（3）求出的逆矩阵式中（4）求出 A的逆矩阵=(D=()=式中注意，这种方法的好处是避免了求平方根的运算. 分块矩阵的逆矩阵 设非奇异矩阵A的分块矩阵为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - A=式中 B11, B22为方子阵，那末 A的逆矩阵A1=由下面公式求出 初等变换法求逆矩阵 设=B对矩阵作一系列行的初等变换， 使虚线左边一块矩阵化为单位矩
6、阵，而右边一块单位矩阵就变为 A的逆矩阵 B=A1, 即名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 逆矩阵的近似求法 设为矩阵 A的初始近似逆矩阵，可由下列迭代公式求出更精确的逆矩阵：(n=0,1,2, . ) 式中 I 为与 A同阶的单位矩阵 . 计算机求逆程序的检验矩阵 用下列 n 阶非奇异矩阵及其逆矩阵， 来检验大矩阵求逆的计算程序. A=名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -