2022年逆矩阵的求法 .pdf

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1、目录摘要,1 关键词,1 Abstract ,1 Key words,1 引言 ,1 1 方法总结 ,1 1.1定义法,2 1.2 伴随矩阵法,2 1.3 初等变换法,3 1.4 分块矩阵法 ,5 1.4.1 分块矩阵的一般求法 , 5 1.4.2 准对角线型矩阵的求逆 ,5 1.4.3 准三角型矩阵求逆,6 1.4.4上三角形矩阵求逆,7 1.5等价标准型法 ,8 1.6 恒等变形法 ,9 1.7 线性方程组法 , 9 1.8 克莱姆法则法 ,10 1.9 Hamiton-Caley定理法,13 1.10 分解矩阵法 , 14 1.11 多项式互素法 , 15 1.12 行列式法 , 15

2、1.13 公式法, 15 1.13.1 二阶矩阵求逆法 , 16 1.13.2 初等矩阵求逆法 , 16 1.13.3 对角线及其上方元素全为1的上三角矩阵的求逆法 ,16 1.13.4 正交矩阵求逆法 , 16 1.13.5 其他矩阵求逆法 , 16 1.14 递推法求矩阵的逆 ,17 2 结论,17 致谢,17 参考文献 , 17 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 19 页 - - - - - - - - - 1 逆矩阵的求法数学科学学院学生刘文竹指导教

3、师郭英新摘要 ：矩阵理论是线性代数的一个主要内容，也是处理实际问题的重要工具，而逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位. 为了更便捷地求逆矩阵，根据不同矩阵的不同特点简单介绍了几种求逆矩阵的方法. 并对部分方法原理进行了简要论证且给出了相应的典型例题. 关键字 ：逆矩阵；分块矩阵；初等变换；伴随矩阵Methods of Finding Inverse Matrix Student majoring in Mathematics and Applied Mathematics Liu Wenzhu Tutor Guo Yingxin Abstract: Matrix theory is a

4、 main content of linear algebra and an important tool dealing with practical problem. Inverse matrix has a very important position in matrix theory. In order to solve the inverse matrix more easily, we introduce several simple inverse matrix methods according to different characteristics. This paper

5、 also gives brief demonstration to part of the methods and corresponding typical examples for all of the approaches. Key words: Inverse matrix; Block matrix; Elementary transformation; Adjoint matrix. 引言 矩阵理论是线性代数以及高等代数的核心内容，无论是二次型，还是线性变换以及欧几里得空间都可以借助于矩阵简便的解决相关问题可以说，掌握矩阵理论是学好线性代数必不可少的条件而求逆矩阵在矩阵中占有重要

6、地位所以，本文详细归纳了一系列的求解方法， 并力求在某些方法的基础上推广逆矩阵的求法或找到一种新的求法本文在已有的几种常见方法的基础上对其进行深入探索研究，并对已经学过的知识进行了更深层次的研究，找到了多种解决逆矩阵求解的方法. 早在十九世纪末，人们在研究行列式的性质和计算时，提出了对角矩阵的概念，由于计算机的发展，更是为矩阵对角化的应用开辟了广阔的前景，它经常出现在诸如可用于求解微分方程组，用于研究数理统计量的分布，还有用于研究集合曲面的标准形等不同的科技领域中，这就使得对角矩阵成为计算数学中应用及其广泛的矩阵而在且逆矩阵的方法中经常利用对角矩阵为过渡过程，在本文中就运用了此法名师资料总结

7、- - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 19 页 - - - - - - - - - 2 1 方法总结1.1 定义法1n级方阵A称为可逆的，如果有n级方阵B, 使得EABBA1这里E是单位矩阵，那么我们可以将矩阵A的逆矩阵表示如下：1AB. 例 1. 设A为n阶矩阵，并且满足0242EAA, 求1A. 解：0242EAAEAA2242EAA22EEAA由定义可知1AEA1.2 伴随矩阵法设A是n阶实矩阵，若0A, 那么*11AAA证明: 设1n阶矩阵111212212212nn

8、nnnnaaaaaaAaaa由行列式等于它的任意一行（列）的所有元素与它们对应代数余子式的乘积的和，以及行列式的某一行（列）的元素与另外一行(列)的对应元素的代数余子式的乘积的和等于零，以下等式成立：11220ijijinjnAija Aa Aa Aij，若，若1220iijijninjAija Aa Aa Aij，若，若这里的代数余子式，中元素是行列式ijijaAA由此可知，若令名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 19 页 - - - - - - - - -

9、 3 1121121222*12,nnnnnnAAAAAAAAAA那么AAAA*AAAA000000000000EEEEA0000000000000A, 由此可得，EAAAAAA*11由矩阵定义可知：*11AAA证毕. 注：用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快捷，又有规律可循 . 因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可 . 若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免出现符号及计算的差错 . 对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过EAA1

10、来检验 . 一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查 . 例 2. 矩阵 Adcba, 且1cbda，求1A. 解：dcbaA1cbda0A可逆，并且*11AAA22122111*AAAAA*dbAca*11AAAcbdaacbd1acbd=acbd证毕. 1.3 初等变换法1求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法. 如果A可逆，则 A可通过初等变换，化为单位矩阵 I ，即存在初等矩阵SPPP,21使sppp21AE1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 1

11、9 页 - - - - - - - - - 4 用A 右乘上式两端，得：sppp211A2比较（1）（2）两式，可以看到当A通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵E作同样的初等变换，就化为A的逆矩阵1A . 用矩阵表示A E初等变化1E A这是求逆矩阵的初等行变换法，或者1AEEA列初等变换这是用列初等变换求逆矩阵，这都是实际应用中比较简单的一种方法. 需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换. 同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵 . 现在让我们从具体的题目中看看这类题的解析. 例3. 已知矩阵 A, 求1A, 其中101011100A231100125001125001E01301

12、0013010013010125001231100006112113410066312500112500113013010013010010122019102111111001001663663A解：1113410066313010122111001663故A证毕. 1.4 分块矩阵法1.4.1 分块矩阵的一般求法设A、B、C、D均可逆，求证1111111111BACDACBACDBACDBABACDBAADCBA成立. 证: 设A、D分别为 r 阶、s阶的方阵，则：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理

13、- - - - - - - 第 5 页，共 19 页 - - - - - - - - - 5 1111111110000BACDACBACDEBACDBABACDBAAEEDCEBAsr1111111111BACDACBACDBACDBABACDBAADCBA证毕. 由于这个公式太难记， 因此我们在解决这类题目时往往将其转化为三角分块矩阵再求其逆 . 1.4.2 准对角线型矩阵的求逆设A、B都是非奇异矩阵 , 且A为n阶方阵，B为m阶方阵，若矩阵 CBA00，则1C1100BA. 证明：A、B均为非奇异矩阵，则00BA且000BABACA可逆设AWZYX,mnIIBAWZYX0000其中00n

14、mX AEY BZ AW BE， 又A、B均为可逆矩阵，1100XAYZWB11100BAC证毕. 可以将上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角线型矩阵中去，即：11111000000000000000000000000AAAAAAAA1.4.3 准三角型矩阵求逆设A、C为非奇异矩阵，则10CBA11110CBCAA. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 19 页 - - - - - - - - - 6 证：CAEBAECBA0001两边求逆得：111

15、110000CACBAEBAE1111111100000CBCAACAEBAECBA证毕. 同理可证1111100CBCAACBA. 此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用. 例4. 已知0052002112001100A，求1A . 解：将A分块如下：120052002112001100OAAAO， 其中125212,2111AA可求的1*1*1122121212111,2511|3AAAAAA从而1121112003311003312002500OAAAO1.4.4 上三角形矩阵求逆2如果

16、n阶矩阵nnnnnnaaaaaaaaA,21,222, 11, 112110000可逆，那么他的逆矩阵是名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 19 页 - - - - - - - - - 7 1,21,21,211,2122, 11111, 11111211111110000nnnnnnnnaaaaaaaaA其中：111,1,111,1,2,1,1,2,2;3,4,iiii ijj j i jk j i k k kikjttinttt tinjn例5：求上三角矩

17、阵2000520031102131A的逆矩阵 . 解: 根据上述定理可知：2,21,312211223131331323133231212212tttttttt41,23133233424144243414434tttttt21133133412212241414414tttttt因此，21000452100412110212311A1.5 由等价标准行求可逆矩阵3设A施n阶可逆矩阵，A的秩等于n，存在可逆矩阵B和C，使得ECBA，11BCA，故BCA1. 证：首先构造矩阵nnEEAD220然后对D进行如下的初等变换：(1) 对D的前几行EA进行初等行变换(2) 对D的前几列EA进行初等列变换

18、则经过有限次的上述变换后，D可变为00BCEEEAD初等行及列变化由此可得BCA1. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 19 页 - - - - - - - - - 8 此方法在一般教材中很少提到，到若同时采用初等行、列变换，把已知可逆矩阵置于含单位矩阵的分块矩阵中，有时候会起到事半功倍的效果. 这实质上是从等价标准形的角度给出了矩阵的一种新的求解方法. 例6. 求可逆矩阵100152131A的逆矩阵 . 解：构造矩阵得0001000000100000011

19、001000101520011310001000000100001311001001120100010011001122351001120011000101311A1.6 恒等变形法恒等变形法求逆矩阵：有些计算命题表面上与求逆矩阵无关, 但实质上只有求出矩阵的逆矩阵才能算出来 , 而求逆矩阵须对所给的矩阵等式恒等变形, 且常变形为两矩阵的乘积等于单位矩阵的等式. 例6. 已知,6EA试求11A, 其中13223122A证：由EA6等式两边同时乘以6A则EAA612EAA11111AA, 又13223122A11113223122AA证毕. 1.7 利用线性方程组来来求矩阵的逆4定理：若n阶矩阵

20、A可逆，线性方程组BAX, 其中TnnbbbbB121的解为nninninnnniiniiiaabaaaaabaaaaabaaaAx1,1,2,1 ,21,221,2222111, 111, 112111，于是1A 的第i行是名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 19 页 - - - - - - - - - 9 nninninnnniiniiiaaeaaaaaeaaaaaeaaaay1,1,2,1 ,21,221,2222111, 111, 112111，其中i

21、e是第i个分量为1的单位向量 . 例7. 求矩阵3000013000013000013000013A的逆矩阵解：设1212,TTnnXxxxBbbb, 解线性方程组BAX5545434323212133333bxbxxbxxbxxbxx5155424543233543223425432231451333333333333333bxbbxbbbxbbbbxbbbbbx将上式中的54321,bbbbb用54321,eeeee代替便可得到1213214321543211333333333333333A1.8 克莱姆法则求解逆矩阵对于n阶矩阵nnijaA的逆矩阵1A， 大多数教材上教材上通过1*1AA

22、A给出的（对于该定理的证明， 已经在第二种解法中给出） ， 现在我们用克莱姆法则来验证矩阵A的逆矩阵1*1AAA. 我们只当A可逆时，A的逆矩阵1A 是与A同阶的矩阵 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 19 页 - - - - - - - - - 10 不妨设nnnnnnxxxxxxxxxA2122221112111根据逆矩阵的定义可知EAA1, 即：100010001212222111211nnnnnnaaaaaaaaa将左边两个矩阵相乘确定出所得矩

23、阵的各个位置上的元素，再利用矩阵相等的条件，由左右两边两个矩阵的第一列对应元素相等可以得到如下方程组：001121211112212211211121121111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa当A时非奇异矩阵时，就有0A，从而根据克莱姆法则有：AAaaaaaaaaaaaaaaaxnnnnnnnnnnn11212222111211222211211001，AAaaaaaaaaaaaaaaaxnnnnnnnnnnn12212222111211122111121001AAaaaaaaaaaaaaaaaxnnnnnnnnnn121222211121121222112111001

24、同理，由左右两边两个矩阵的第二列对应元素相等可以得到如下的方程组：010222212122222212212122121211nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa，从而根据克莱姆法则可知：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 19 页 - - - - - - - - - 11 AAaaaaaaaaaaaaaaaxnnnnnnnnnnn21212222111211222211212010，AAaaaaaaaaaaaaaaaxnnnnnnnnnn

25、n22212222111211122111122010AAaaaaaaaaaaaaaaaxnnnnnnnnnn221222211121121222112112010再依次从左右两边两个矩阵的第3、4n列对应元素相等可以得到类似的方程组，同样由克莱姆法则得：niAAxAAxAAxinniiiii4 ,3;2211，这样1A 中的每一个元素都已经求出了，全部代入既得：AAAAAAAAAAAAAAAAAAAnnnnnn2122212121111*21222121211111AAAAAAAAAAAAnnnnnn这就是用克莱姆法则验证了矩阵A的逆矩阵1*1AAA. 例8. 求可逆矩阵201013121A

26、的逆矩阵 .解：矩阵 A的行向量为32, 1,，由标准基321,表示为：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 19 页 - - - - - - - - - 12 3132123211232解以321,为未知量的方程组得：1123212331232419992113331259991241999211333125999A1.9 利用Hamiton-Caley 定理法求逆矩阵5 Hamiton-Caley定理: 设 A是数域 P上一个nn矩阵，AEf)(是A的特征

27、多项式，则0)1()()(12211EAAaaaAAfnnnnn. 如果A可逆，则 A的特征多项式的常数项0) 1(Aann，由定理知0)(111EAAAAfnnnn于是EAEAAnnnn)(11211因此得)(112111EAAAnnnn)1 (此式给出了1A的多项式计算方法 . 例 9. 已知201034011A，求1A. 解：矩阵 A的特征多项式为：254)(23AEf名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 19 页 - - - - - - - - - 1

28、3 因023，所以矩阵 A可逆，由)1 (式知)54(2121EAAA=113028026211.10 分解矩阵法求逆矩阵2设A为n阶可逆矩阵，且XCYBA, 其中1B已知， C 是rr可逆矩阵，nr，又设XYBC11可逆，则1111111YBXYBCXBBA(1将已知的矩阵分解成两个或两个以上矩阵的和（一般以分解为两个最佳），然后再求解其逆 . 例 10. 求矩阵5543264432653326542265431A的逆矩阵 . 解：654326543265432654326543211111A5432111111111111111111111由XCYBA公式得：135432614432651

29、532654162654371911A证毕. 1.11 利用多项式互素的充要条件求矩阵的逆6设A为一个n阶方阵， C 为复数域， fx ， g xP x ，且0fA则 g A 可逆 的 充 分 条 件 为,1fxg x；此 时 有,u xv xP x， 使 得1u x fxv x g x，且1g Av A. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 19 页 - - - - - - - - - 14 证明: 设 fx 与 g x 互素，fx 与 g x 在 C 上

30、无公共根0fA，fx 的特征值均为 0 ，又if为 fA 之特征值，01,2,ifin . 0ig, 即 g A 无零特征值，从而 g A 可逆当,1fxg x时，必有,u xv xC x , 使得1u x fxv x g x, v A g AE , 即1g Av A. 例 11. 已知n阶方阵A满足2AA，证明AE可逆，并求1AE. 证：令2,1fxxx g xx,1fxg x且0fAg AAE 可逆，又22fxx g x22g AEAE, 从而112gAEAAEEA211证毕. 1.12 用行列式求逆矩阵设 Annija为n阶矩阵，且 A为满秩矩阵 , 则 A可逆，且1111i 111i+

31、11n121i 12i+12n21n1ni 1nni+1nnni1nTTTnTAaaaaAaaaaAAAaaaaA，2，2，其中， 2， ，11n， ，为nR的初始单位向量组，即i00,00i12n， ，1 ， ， ， ，例12. 设1.23.12.46.15.44.74.10.20.1A，求 A的逆矩阵 . 1121233122123313212333.12.45.44.70.4+0.17+1.610.4.0.17 1.610.20.11.22.46.14.718.669.72+918.669.72 94.10.11.23.16.15.422.018+12.4712.0722.01812.4

32、7124.10.2TTTAAA解：，.071.23.12.46.15.44.77.1584.10.20.1A名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 19 页 - - - - - - - - - 15 11211n0.40.171.6118.669.7297.15822.01812.4712.070.0560.0240.2252.6071.3581.2583.0761.7421.686TTTAAAAA1.13 公式法求逆矩阵1.13.1 二阶矩阵求逆公式：若abA

33、cd，则11dbAcaA1.13.2 初等矩阵求逆公式：1ijijEE11iiEEk1i ji jEkEk1.13.3 对角线及其上方元素全为1的上三角矩阵的逆矩阵111101110001A的逆矩阵为：111000011000001100001A1.13.4 正交矩阵的求逆公式：若A为正交矩阵，则1TAA1.13.5 其他常用的求逆公式：111111*11TTABBAAAAAAA123,sA AAA 可逆，则111112321,ssAAAAAAA例 13.已知100010001A,111011001B, 求1AB. 解：由于A是初等矩阵，由公式得：1AA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载

34、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 19 页 - - - - - - - - - 16 而B为元素都为1的上三角矩阵，由公式得：1111011001B, 再由公式得：1111100101011010011001001010AB. 1.14 用递推法求矩阵的逆高等代数中求逆矩阵的两种基本方法行列式法和初等变换法. 行列式法以公式1adj AAA( adj A 表示A的伴随矩阵 )求逆；初等变换法通过 (,A E行初等变换1,A EE A行初等变换计算逆，其中 E 为与 A同阶的单位矩阵 . 张贤科6

35、 阐述了Moore-Penrose 逆以及 Hamilton-Caylay矩阵逆的递推计算法，徐仲等7 给出了加边矩阵逆矩阵的计算定理 . 在他们的基础上考虑一般可逆方阵的逆矩阵递推求法，给出了逆矩阵的递推计算公式 . 1.14.1 1mA，mA，m，m，ma，mc如引理及推论所述， 又令1mmmA，1mmmA，则11101100mmmmmmmAAc1011100mmmmAc，其中，11111Aa. 1.14.2 设1121,0,1,2,1mmiAdiag a aaaim，则11111121,mmAdiag aaa. 1.14.3 设abAcd0adbc，则11dbAcaadbc. 1.14.

36、4 设1m阶方阵1mmmijmmaAaA， 其中mA为 m 阶方阵，m为1m矩阵，m为1m矩阵，11maa ，则当mA，1mA皆可逆时，有1111111100110mmmmmmmmmmmmmmAAAaAAAA，其中，111,11mmAa. 例 14. 求矩阵 A的逆矩阵，其中141382561A. 解:111A，且2144038A，于是，13 ，14 ，14c，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 19 页 - - - - - - - - - 17 12101

37、24841100313144A，又2158,264，20114，212c，121000021031291311310234488422000291322913122A. 2 讨论以上各种求逆方法只是我的一些粗浅认识，也有不当之处，我希望我的这篇文章能给大家带来帮助，能帮我们更快跟准确的解决好繁琐的求逆矩阵的问题. 同时，它还是我们更好地学习线性代数的必备基础知识，认真掌握它，可供我们以后继续在数学方面的深造打下坚实的基础 . 但是我很希望给位老师和同学给予指导，能使我的这篇文章更加完善和实用 .致谢四年的读书生活在这个季节即将画上一个句号，而我的人生却只是一个逗号，我将面对又一个征程的开始 .

38、 四年的求学生涯在师长、亲友的大力支持下，走的辛苦却也收获满囊，在论文即将付梓之际，思绪万千，心情久久不能平静. 伟人、名人为我所崇拜，可是我更急切的要把我的敬意和赞美献给一位平凡的人，我的导师，我不是您最出色的学生，而您却是我最尊敬的老师，您治学严谨，学识渊博，思想深邃，视野雄阔，为我营造了一种良好的精神氛围. 授人以鱼不如授人以渔，置身其间，耳濡目染，潜移默化，是我不仅接受了全新的思想观念，树立了宏伟的学术目标，领会了基本的思考方式，从论文题目的选定到论文写作的指导，经由您悉心的点拨再经思考后的领悟，常常让我有“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”. 感谢我的爸爸妈妈，焉得塧草，言树之背，养育

39、之恩，无以回报，你们永远健康快乐是我最大的心愿 . 在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意！同时也感谢学院为我提供良好的做毕业设计的环境. 最后再一次感谢所有在毕业设计中曾经帮助过我的良师益友和同学，以及在设计中被我引用或参考的论著的作者. 参考文献：1 王萼芳，石生明. 高等代数 M.3 版. 北京 : 高等教育出版社,2003:177-193. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - -

40、 - - 第 18 页，共 19 页 - - - - - - - - - 18 2 高明逆矩阵的求法J 阴山学刊 2006,2(20):14-163 苏敏逆矩阵求法的进一步研究J 2004,2(16):28-304 连文星 , 刘爱荣 . 求逆矩阵最简新方法J. 河南教育学院学报( 自然科学版 ),1997, (03):8-10 5 杜汉玲求逆矩阵的方法也与解析J 2004,4(17):18-206张玉莲，董李娜求逆矩阵的一些方法J 2007,2(22):71-737 高尔雄，高坤敏，吴景艰. 线性代数 M. 北京 : 人民教育出版社，1978.8 ，P463-479 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 19 页 - - - - - - - - -