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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容, 很多实际问题用矩阵的思想去解既简洁又快捷. 逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数讨论的主要内容之一 . 本文将给出几种求逆矩阵的方法 .1. 利用定义求逆矩阵定义: 设A、B 都是 n 阶方阵 , 假如存在 n 阶方阵 B 使得 AB= BA = E, 就称A为可逆矩阵 , 而称B为A 的逆矩阵 . 下面举例说明这种方法的应用 . 例1 求证 : 假如方阵 A 满意A k= 0, 那么EA是可逆矩阵 , 且证明（E-A）1 = E + A + A2 + +AK1由
2、于 E 与A 可以交换 , 所以1= E-AK , E- A E+A + A2 + + AK因A K = 0 , 于是得E-A （E+A+A 2 + +A K1）=E,同理可得（ E + A + A2 + +AK1）E-A=E,因此 E-A是可逆矩阵 , 且E-A1= E + A + A2 + +AK1. 同理可以证明 E+ A 也可逆 , 且E+ A 1= E -A + A 2 + +（ -1 ）K 1A K 1. 由此可知 , 只要满意 A K =0,就可以利用此题求出一类矩阵 E A的逆矩阵 . 0 1 0 00 2 0 0例2 设 A = , 求 E-A 的逆矩阵 . 0 0 0 30
3、 0 0 0分析 由于 A中有很多元素为零 , 考虑 A K 是否为零矩阵 , 如为零矩阵 , 就可以采纳例 2 的方法求 E-A的逆矩阵 . 名师归纳总结 解简洁验证第 1 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 00200006而A2 =0006, A3=0101020, A4 =0 00000000E-AE+A+ A0000000062 + A3=E, 所以E-A1= E+A+ A2 + A3=0126 3. 00100012. 初等变换法求元素为详细数字的矩阵的逆矩阵,常用初等变换法 . 假如 A可逆,就A可通过初等变换,化为单位矩阵
4、I ,即存在初等矩阵P 1,P 2,P S使（1）p 1p2psA=I,用 A1右乘上式两端,得：（2）p 1p2psI= A1比较（ 1）（2）两式,可以看到当 A通过初等变换化为单位矩阵的同时,对单位矩阵 I 作同样的初等变换,就化为A的逆矩阵 A1 . 用矩阵表示（ A I ）初等行变换为（ I A1 ）,就是求逆矩阵的初等行变换法,它是实际应用中比较简洁的一种方法. 需要留意的是, 在作初等变换时只答应作行初等变换 . 同样,只用列初等变换也可以求逆矩阵. 510011/613/64/3231例1 求矩阵 A的逆矩阵 . 已知A=013. 12523110012解A I01301001
5、3010125001231100125001000130100101/23/21/10011/61/61/30011/61/631 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1/613/64/3故 A 1= 1 / 2 3 / 2 1 . 1 / 6 1 / 6 1 / 3在事先不知道 n阶矩阵是否可逆的情形下,也可以直接用此方法 . 假如在初等变换过程中发觉左边的矩阵有一行元素全为 0,就意味着 A不行逆,由于此时说明 A =0,就A 1不存在 . 1 2 3例2 求A= 4 5 6 . 7 8 91 2 3 1 0 0
6、1 2 3 1 0 0解 A E= 4 5 6 0 1 0 0 3 6 4 1 07 8 9 0 0 1 0 6 12 7 0 11 2 3 1 0 00 3 6 4 1 0 . 0 0 0 1 2 1由于左端矩阵中有一行元素全为 3. 相伴阵法0,于是它不行逆,因此 A不行逆 . 定理 n 阶矩阵 A=a ij 为可逆的充分必要条件是 A非奇特 . 且A1 =1A 11A 21.A n1A 12A 22.A n2.AA 1 nA 2n.A nn其中 Aij 是 A 中元素 a ij 的代数余子式 . 矩阵A 11A 21.A n 13 . A 12A 22.A n2称为矩阵 A的相伴矩阵,记
7、作 A3,于是有 A1=1 A A.证明A 1nA 2n.A nn0,必要性：设A可逆,由A A1 =I ,有AA1= I ,就 AA1= I ,所以 A即A为非奇特 . 充分性：设A为非奇特,存在矩阵2 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - A 11A 21.A n1B=1A 12A 22.A n2,A.A 1 nA 2n.A nn其中AB=a 11a 120.a 1 n=1A 11A 210.A n1a21a22.a2nA 12A 22.A n2.A. =an 1a n2.ann1A 1nA 2n.A nnA.00.
8、1=I 0A.001.0.A.1.A00.100.A同理可证 BA=I. 由此可知,如 A可逆,就 A1 =1 A A3. 用此方法求逆矩阵,对于小型矩阵,特殊是二阶方阵求逆既便利、快阵,又有规律可循 . 由于二阶可逆矩阵的相伴矩阵,只需要将主对角线元素的位置互换,次对角线的元素变号即可 . 如可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵,在求逆矩阵的过程中,需要求 9个或9个以 上代数余子式,仍要运算一个三阶或三阶以上行列式,工作量大且中途难免显现符号及运算的差错 . 对于求出的逆矩阵是否正确,一般要通过AA1=I 来检验 . 一旦发觉错误,必需对每一运算逐一排查. 4分块矩阵求逆法4.1. 准对角形矩阵的
9、求逆设A命题设A11 、A22 都是非奇特矩阵,且 A11 为n阶方阵, A22 为m阶方阵证明A 110A 11100A 220A 221由于 A =A 110=A 11A 220, 所以 A可逆. 0A 221=X ZY,于是有XYA 110=In0, WZW0A 220Im3 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 其中 X A 11 =I n , Y A 22 =0,Z A 11 =0,W A22 =I m . 又由于 A11 、A22 都可逆,用 A 111、A221分别右乘上面左右两组等式得：1X= A111,
10、Y=0,Z=0,W= A 22故 A21 = A 111010A 22把上述结论推广到每一个子块都是非奇特矩阵的准对角外形矩阵中去,即：A 1A 2.A k1=A 11A 21.A k14.2. 准三角形矩阵求逆命题设A11 、A22 都是非奇特矩阵,就有A 11A 111A 12A 221A 11A 121=A 111证明0A 220A 221由于A 11A 12IA 111A 12=00A 220I0A 22两边求逆得所以A 11A 12I1=A 111A 121A 11A 121A 11101=0IA 110A 220A 2201A 12A 111I0A 220I0A 2211A 111
11、A 12A 221A 11=0A 221同理可证1 1A 11 0= A1 111 0A 21 A 22 A 11 A 21 A 22 A 22 1此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵 . 是特殊方阵求逆的一种方法,并且在求逆矩阵之前,第一要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用 . 5. 恒等变形法4 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义,此方法也常用与矩阵的理论推导上 . 就是通过恒等变形把要求的值化简出来,题目中的逆矩阵可以不求,利用AA1 =E,把题目中的逆矩
12、阵化简掉；100例1 运算（ A+4E）T （4E-A）1（16E-A2 ）的行列式,其中 A=120解令A4 ET4 EA 1 16EA2=D 141D=A4 ET4 EA 1 16 EA2 =4 EA T 4EA 14 EA 4EA =4 EA 4 EA T=4 EA 2. 虽然题目中显现了（ 4E-A）1. 但是经过化简之后不再显现此式,因此得D=4EA2=22500. 例2 已知 n 阶矩阵 A满意 A 2 +2A-3E=0.求证： A+4E可逆并求出 A+4E的逆 . 证明 把A 2 +2A-3E=0变形为 A 2 +2A-8E=5E,即（A+4E）（ A-2E）=-5E,可得（ A
13、+4E）（-A/5+2E/5 ）=E,所以存在一个矩阵 B=-A/5+2E/5 ,使（ A+4E）B=E,由定义得 A+4E可逆,且（A+4E）1 =B=-A/5+2E/5. 另外,有些运算命题中虽显现逆矩阵,但通过适当的矩阵运算可消去,因而不必急于求出逆矩阵 . 6利用线性方程组求逆矩阵如n阶矩阵 A可逆,就 A A 1=E,于是 A 1的第 i 列是线性方程组 AX=E的解,i=1,2, ,n,E 是第 i 个重量是 I 的单位向量 . 因此,我们可以去解线性方程组 AX=B,其中 B=（b 1,b 2 , ,b n ）T , 然后把所求的解的公式中的 b 1,b 2 , ,b n 分别用
14、E1=（1,0,0, ,0 ）,E2 =（0,1,0, ,0 ）, ,5 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - En =0,0,0, ,1 代替,便可以求得 A 1 的第1,2, n列,这种方法在某些时候可能比初等变换法求逆矩阵略微简一点 . 下面例子说明该方法的应用 . 3 1 0 0 00 3 1 0 0例 求矩阵 A= 0 0 3 1 0 的逆矩阵 . 0 0 0 3 10 0 0 0 3解 设X=（x 1,x 2 ,x 3 ,x 4 ,x 5）T ,B=b 1,b 2 ,b 3,b 4 ,b 5 T 解方程组 A
15、X=B,即：3 x 1 x 2 b 13 x 2 x 3 b 23 x 3 x 4 b 33 x 4 x 5 b 43 x 5 b 55 4 3 2x 1 3 3 b 1 3 b 2 3 b 3 3 b 4 b 5 4 3 2x 2 3 3 b 2 3 b 3 3 b 4 b 5 解得：x 3 3 3 3 2b 3 3 b 4 b 5 2x 4 3 3 b 4 b 5 1x 5 3 b 5然后把 B=（b 1,b 2 , ,b n ）列,分别用E1=（1,0,0, ,0 ）,E2 =（0,1,0, ,0 ）, ,En =0,0,0, ,1 代入,得到矩阵 A 1的第 1,2 ,3,4,5列,分
16、别用x 1= 3 1,0,0,0,0 T , x 2 =3 2, 3 1,0,0,0 T , x 3=3 3,3 2 , 3 1,0,0 T , 6 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - x 4 =34,33 ,32,31,0T , x 5=35,34 ,33 ,32 ,31T5. 313233334A1 =031323334003132330003132000031这种方法特殊适用于线性方程组 题的解决方法 . AX=B比较简洁求解的情形,也是很多工程类问以上各种求逆方法只是我的一些粗浅的熟悉,或许有很多的不当之处,我
17、期望 我的这篇文章能给大家带来帮忙,能帮忙我们更快更准地解决好繁琐的求逆矩阵问 题. 同时,它仍是我们更好的学习线性代数的必备基础学问,仔细把握它, 可供我们 以后连续在数学方面深造打下坚实的基础 . 但我很期望各位老师和同学给于指导 . 能 使我的这篇文章更加完善和有用 . 参 考 文 献1 北京高校数学系几何与代数教研室代数小组. 高等代数 M . 北京 : 高等训练出版社 , 2001. 2 杨明顺 . 三角矩阵求逆的一种方法J . 渭南师范学院学报 , 2003. 3 丘维声 . 高等代数 M . 北京 : 高等训练出版社 ,2001. 4 杨子胥 . 高等代数习题集 M . 济南 :
18、 山东科学技术出版社 ,1984. 5 赵树原 . 线性代数 M . 北京 : 中国人民高校出版社 ,1997. 6 李宗铎 . 求逆矩阵的一个方法 J . 数学通报 ,1983. 7 贺福利等 . 关于矩阵对角化的几个条件 J . 高等函授学报 自然科学 版 ,2004 , 1 8 张禾瑞 . 郝炳新 . 高等代数 M. 北京: 高等训练出版社 .1999. 9 王永葆 . 线性代数 M. 长春：东北高校出版社 .2001. 10 同济高校遍 . 线性代数（其次版） . 北京: 高等训练出版社, 1982. 11 王萼芳,丘维声编,高等代数讲义. 北京高校出版社, 1983. 13 华东师范高校数学系编 . 数学分析 . 人民训练出版社, 1980 14 杜汉玲求逆矩阵的方法与解析高等函授学报 自然科学版 第17卷第4期2004年8月7 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 15 苏敏 逆矩阵求法的进一步讨论河南纺织高等专科学校学报,2004 年第 16 卷第 2 期8 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页