《2022年初中数学校本教材《生活中的数学》 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年初中数学校本教材《生活中的数学》 .pdf（45页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、中学八年级数学校本课程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 45 页序言数学是打开知识大门的钥匙，是整个科学的基础知识。创新教学的先行者里斯特伯先生指出：“学生学习数学就是要解决生活问题，只有极少数人才能攻关艰深的高级数学问题，我们不能只为了培养尖端人才而忽略或者牺牲大多数学生的利益，所以数学首先应该是生活概念。”在生活中学数学，以学生生活中实实在在的鲜活材料来吸引学生对科学的兴趣。我们选取的都是从学生生活实践中取材，将数学知识巧妙地运用于生活之中，增加了学生对数学的兴趣，实现新课改所倡导的情感体验，培养良好的科学态度和正确价
2、值观的目标。数学校本课程的开发要满足学生已有的兴趣和爱好，又要激发和培养学生新的兴趣和爱好，要要求和鼓励学生投入生活，亲身实践体验。选题要尊重学生的实际、学生的探究本能和兴趣，给与每个学生主体性发挥的广阔空间，从而更好的培养学生提出问题、分析问题、解决问题的素质和能力。使学生成为学习的主人，学有兴趣，习有方法，必有成功。学生的个性在社会活动中得以健康发展，学生的潜能在自学自育中得到充分开发。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 45 页课程纲要一、 课程目标：以贴近生活实际、加强数学应用为宗旨，针对数学这门课的特点，从生活中挖
3、掘数学，提高学生应用数学知识解决有关问题的能力，培养学生的观察，分析能力，充分发挥学生的创造性，开发学生自身的潜能，并且加强对学生的动手操作能力的训练，鼓励学生能够展示自己的研究成功，培养学生的成功心态，使学生的心理得到健康的发展，使每位学生的能力得到充分体现。二、 课程概况：本课程由八年数学教师具体负责实施。本课程在八年实施。三、 课程内容与活动安排：让学生体会数学史可发生在我们的周围，我们的生活空间是无穷的数学世界，在课堂上多设情景，应用数学解决问题，让他们充分发挥自己的创造性，感受到数学的乐趣，在愉快、轻松的学习过程中掌握数学知识，从而培养学生良好的学习习惯，观察事物的能力，形成正确的人
4、生观、价值观。授课对象：八年学生授课时间：周四下午第6 节授课地点：各班教室精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 45 页目录生活中的数学问题几何就在你身边归纳与发现勾股定理（一）勾股定理（二）生活中的纳税问题生活中的节能问题镜子改变了什么精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 45 页第一节生活中的数学问题数学来源于生活，同时又服务于生活，例如下面几个问题： 1、钟面上有 1、2、3、4、 11、12共十二个数。 (1)试在某些数的前面添加负号，使它们的代数和
5、为零。 (2)能否改变钟面上的数，比如只剩下六个偶数，仍按第(1)小题的要求来做 ; (3)请试着改变第 (1)小题，使它更加有趣一些。如：哪些时间里分针与时针所夹的那些数的前面添加负号，钟面上的各数的代数和就为零; (4)在解上述各题的过程中，你能总结出一些什么规律？2、1)每位同学发一张开的白纸，然后叫同学沿纸的长边对折成16 开的纸，再将 16开纸对折成 32 开纸，通过测量和计算回答下列问题开纸和 16开纸的形状相关相似吗？16开纸和 32 开纸的形状相似吗？猜想：如果将纸的对折操作继续进行下去，那么得到的16开、32开、64开、K开（为自然数），纸都相似吗？ (2)要使一个矩形纸沿长
6、边对折后仍同原来纸的形状相似，那么该纸的长和宽之比为多少？ (3)翻开你手中教材的第一页或最后一页，找出纸张的开数，如“开本7871024116”或“开本 8501168132”计算纸的长和宽之比，试问纸的长和宽之比是否同1.414很接近？并解释误差的原因。试讨论如此设计纸张大小的好处是什么？进而，造纸厂生产纸时，如何设计纸的大小为最优？3、 某顾客有 10元钱，第一次在商店买件小商品花去元，第二次再去买该小商品时，发现每一打（12件）降价 0.8元，他比第一次多买了10件，花去元。问他第一次买的小商品是多少件？（设、为整数）。4、百货公司的一页帐簿上沾了墨，关于1 月 13日出售气压热水瓶。
7、只知道单价及金额后面的三个数码是7.28，数量与金额前面的三个数码都看不清了，请你帮助查清这笔帐。月日摘要数量（只）单价（元）金额（元）113气压热水瓶49.367.285、 有一块长 4 厘米宽 3 厘米的园地，现要在园地辟一个花坛，使花坛的面积是原园地面积的一半，问如何设计？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 45 页6、 缝纫师傅想用一块三角形的布料剪出一块面积最大的正方形方巾，现在他手中只有一把剪刀，问他应该如何剪？7、 小王年初向建设银行贷款2万元用于购房，商定年利率为10%，按复利计算（即本年的利息计入次年的本金
8、生息），若这笔借款分 15 次等额归还，每年 1 次，15年还清，并从借后次年年初开始归还，问每年应还多少钱（精确到 1 元）？ 8、 一张纸片，第一次将其撕成四片，以后，每次将其中的一片撕成更小的四片。如此进行下去，试问（ 10撕 5次，共有多少张纸片？（ 2）撕 8次、10 次各有多少张纸片？（ 3）撕 n 次，共有多少张纸片？（ 4）撕成 22 张，需撕几次？（5）能否将纸片撕成1993片？为什么？9、在一条直线的流水线上，依次在A1、A2、A3、A4、A5有 5 个机器人在工作，现欲设一零件供应点，问应设于何处，可使5 个机器人与它的距离总和为最小。如果是 6 个机器人，则怎样？一般地
9、，n个机器人的情况下，又应如何设置？ | | | | A1 A2 A3 A4 A510、 2006年暑假，小明每天在家都看电视，周一至周五每天看3小时，周六、周日每天看 5小时。 （暑假是从 7月 21日正式开始。）（1）请问小明八月份这个月里共看了多少时间的电视？（大家都知道新学期上学的这一天 9 月 1 日是星期五，八月份有31天。 ）（2）如果小明每天睡觉时间为8 小时，并且睡觉比看电视所多出来的时间正好是小明在八月里学习所用的时间。小明在假期里学习，有时一天4 小时，有时一天 5 小时，请问小明一天学5 小时的天数共有多少天？（3）请同学们结合上面的问题再编写出其它问题。精选学习资料
10、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 45 页第二节几何就在你的身边初学几何时，你往往会感到这门学科枯燥乏味，有的知识似曾相识，似懂非懂；有的知识则似乎很“玄”，离我们很远! 其实，日常生活中有几何，几何就在你的身边。当你骑自行车时，想过自行车的轮子为什么是圆形的，而不能是“鸡蛋形”的呢 ?因为“圆”形的特性可以使自行车平稳地前进；自行车的轮于有大有小，可供人们选择；两个轮子装的位置必须装得恰当，骑时会感到方便。这说明：物体的形状、大小、位置关系与日常生活有着紧密的联系，这也正是几何这门学科所要研究的。当你把一张长方形的纸裁成一个正方形时，
11、你想过这里面有几何知识吗? 图 1 图 2 图 3 几何中叫“比较线段的大小；把阴影部分裁去，可以看成在“长”上截取一段，使它等于“宽”，这就是几何中的“线段作图”；长方形的长与宽相等时，就是正方形，这更是几何中的一个重要结论。如果把正方形折成相等的两部分，除了图2 中所示的四种折法外，你还能想到其他的折法吗 ?不妨试试：过四条折痕相交的那个点“ ”，任意地折一条线，看看这样把正方形分成的两部分也一样吗? 当你走进用砖块铺地的房间时，你注意到这些砖块的形状吗？有的是等边三角形的，有的是长方形或正方形的。其实，任意形状的四边形砖块也能把地面拼得没有缝隙，请看图3 。这又将告诉我们几何中的一个重要
12、结论( 四边形的四个角的大小之和恰好等于 360 度) ，这个结论，与小学数学里学过的“三角形的三个角之和等于180度又有着紧密的联系。如果有兴趣的话，请你剪两块同样的直角三角形纸片，然后把两块纸片拼合成一个图形，你能拼出6 种不同的图形吗？这里又包含了许许多多的几何知识。比如，当你拼成一个等腰三角形时，就不难知道：等腰三角形可以分成两精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 45 页个同样的直角三角形，中间的那条线位置很特殊，今后研究等腰三角形时常常要用到它！精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -
13、 - - - - -第 8 页，共 45 页第三节归纳与发现归纳的方法是认识事物内在联系和规律性的一种重要思考方法，也是数学中发现命题与发现解题思路的一种重要手段这里的归纳指的是常用的经验归纳，也就是在求解数学问题时，首先从简单的特殊情况的观察入手，取得一些局部的经验结果，然后以这些经验作基础，分析概括这些经验的共同特征，从而发现解题的一般途径或新的命题的思考方法下面举几个例题，以见一般例 1 如图 2-99，有一个六边形点阵，它的中心是一个点，算作第一层；第二层每边有两个点(相邻两边公用一个点 )；第三层每边有三个点，这个六边形点阵共有n 层，试问第 n 层有多少个点？这个点阵共有多少个点？
14、分析与解 我们来观察点阵中各层点数的规律，然后归纳出点阵共有的点数第一层有点数：1；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 45 页第二层有点数： 16；第三层有点数： 26；第四层有点数： 36；第 n 层有点数： (n-1)6. 因此，这个点阵的第n 层有点(n-1)6 个n 层共有点数为例 2 在平面上有过同一点P，并且半径相等的n 个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆除P 点外无其他公共点，那么试问：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 45
15、页(1)这 n 个圆把平面划分成多少个平面区域？(2)这 n 个圆共有多少个交点？分析与解 (1)在图 2-100 中，设以 P 点为公共点的圆有1，2，3，4，5 个(取这 n 个特定的圆 )，观察平面被它们所分割成的平面区域有多少个？为此，我们列出表181由表 181 易知S2-S1=2，S3-S23，S4-S34，S5-S45，由此，不难推测精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 45 页Sn-Sn-1n把上面 (n-1)个等式左、右两边分别相加，就得到Sn-S1234n，因为 S1=2，所以下面对Sn-Sn-1=n，即
16、 Sn=Sn-1n 的正确性略作说明因为 Sn-1为 n-1 个圆把平面划分的区域数，当再加上一个圆，即当n 个圆过定点 P 时，这个加上去的圆必与前n-1 个圆相交，所以这个圆就被前 n-1 个圆分成 n 部分，加在 Sn-1上，所以有 Sn=Sn-1n(2)与(1)一样，同样用观察、归纳、发现的方法来解决为此，可列出表 182精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 45 页由表 182 容易发现a11，a2-a11，a3-a22，a4-a33，a5-a44，an-1-an-2n-2，an-an-1n-1n 个式子相加精选学
17、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 45 页注意请读者说明 an=an-1(n-1)的正确性例 3 设 a，b，c 表示三角形三边的长，它们都是自然数，其中abc，如果 b=n(n 是自然数 )，试问这样的三角形有多少个？分析与解 我们先来研究一些特殊情况：(1)设 b=n=1，这时 b=1，因为 abc，所以 a=1，c 可取 1，2，3，若 c=1，则得到一个三边都为1 的等边三角形；若c2，由于 ab=2，那么 ab 不大于第三边 c，这时不可能由 a，b，c 构成三角形，可见，当b=n=1 时，满足条件的三角形只有一个(
18、2)设 b=n=2，类似地可以列举各种情况如表183这时满足条件的三角形总数为：1+2=3(3)设 b=n=3，类似地可得表184精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 45 页这时满足条件的三角形总数为：123=6通过上面这些特例不难发现，当b=n 时，满足条件的三角形总数为：这个猜想是正确的因为当b=n 时，a 可取 n 个值(1，2，3，n)，对应于 a 的每个值，不妨设a=k(1kn)由于 bcab，即 ncnk，所以 c 可能取的值恰好有k 个(n，n1，n2， nk-1)所以，当 b=n 时，满足条件的三角形总数为
19、：例 4 设 123 n 缩写为 n！(称作 n 的阶乘 )，试化简： 1！12！23！3 n！n. 分析与解 先观察特殊情况：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 45 页(1)当 n=1 时，原式 =1=(11)！-1；(2)当 n=2 时，原式 =5=(21)！-1；(3)当 n=3 时，原式 =23=(3 1)！-1；(4)当 n=4 时，原式 =119=(4 1)！-1由此做出一般归纳猜想：原式=(n+1)！-1. 下面我们证明这个猜想的正确性1+原式=1+(1！12！23！3+n！n) =1！22！23！3+n！
20、n =2！+2！23！3+n！n =2！3+3！3+n！n =3！+3！3+n！n=n！+n！n=(n1)！，所以原式 =(n+1) ！-1. 例 5 设 x0，试比较代数式x3和 x2+x+2 的值的大小精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 45 页分析与解 本题直接观察，不好做出归纳猜想，因此可设x 等于某些特殊值，代入两式中做试验比较，或许能启发我们发现解题思路为此，设 x=0，显然有x3x2+x+2设 x=10，则有 x3=1000，x2+x2=112，所以x3x2+x+2设 x=100，则有 x3x2+x+2观察、
21、比较，两式的条件和结论，可以发现：当x 值较小时，x3x2+x+2 ；当 x 值较大时， x3x2+x+2那么自然会想到：当x=？时， x3=x2+x+2 呢？如果这个方程得解，则它很可能就是本题得解的“临界点”为此，设x3=x2x2，则x3-x2-x-20，(x3-x2-2x)(x-2)=0 ，(x-2)(x2+x+1)=0 因为 x0，所以 x2+x+1 0，所以 x-2=0，所以 x=2这样精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 45 页(1)当 x=2 时，x3=x2+x+2；(2)当 0 x2 时，因为x-20，x2
22、+x+20，所以 (x-2)(x2x+2)0，即x3-(x2x+2)0，所以 x3x2x2. (3)当 x2 时，因为x-20，x2+x+20，所以 (x-2)(x2+x+2) 0，即x3-(x2x2)0，所以 x3x2x2综合归纳 (1)，(2)，(3)，就得到本题的解答精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 45 页练习七1试证明例 7 中：2平面上有 n 条直线，其中没有两条直线互相平行(即每两条直线都相交 )，也没有三条或三条以上的直线通过同一点试求：(1)这 n 条直线共有多少个交点？(2)这 n 条直线把平面分割为
23、多少块区域？然后做出证明 .) 3求适合 x5=656356768 的整数 x(提示：显然 x 不易直接求出，但可注意其取值范围：505656356768 605，所以 502x602) 勾股定理的证明精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 45 页【证法 1】 （课本的证明）做 8 个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为 c，再做三个边长分别为a、b、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即abcabba214214222，
24、整理得222cba. 【证法 2】 （邹元治证明）以 a、b 为直角边，以 c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B 三点在一条直线上， B、F、C 三点在一条直线上，C、G、D 三点在一条直线上 . RtHAE RtEBF, AHE = BEF.AEH + AHE = 90o,DGCFAHEBabcabcabcabcbabababacbacbacbacbacbacba精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 45 页AEH + BEF = 90o.
25、 HEF = 180o90o= 90o. 四边形 EFGH 是一个边长为 c的正方形. 它的面积等于 c2. RtGDH RtHAE, HGD = EHA.HGD + GHD = 90o,EHA + GHD = 90o. 又GHE = 90o, DHA = 90o+ 90o= 180o. ABCD 是一个边长为 a + b的正方形，它的面积等于2ba. 22214cabba. 222cba.【证法 3】 （赵爽证明）以 a、b 为直角边（ ba） ， 以 c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状 .RtDAH RtABE, HD
26、A = EAB. bacGDACBFEH精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 45 页ababccABCDEHAD + HAD = 90o，EAB + HAD = 90o， ABCD 是一个边长为 c的正方形，它的面积等于c2. EF = FG =GH =HE = ba ,HEF = 90o. EFGH是一个边长为 ba的正方形，它的面积等于2ab. 22214cabab.222cba.【证法 4】 （1876 年美国总统 Garfield证明）以 a、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积
27、等于ab21. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B 三点在一条直线上 .RtEAD RtCBE, ADE = BEC.AED + ADE = 90o,AED + BEC = 90o.DEC = 180o90o= 90o. DEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于221c. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 45 页PHGFEDCBAabcabcabcabc又DAE = 90o, EBC = 90o, ADBC.ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于221ba.222121221cabba.222cba.
28、【证法 5】 （梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为 c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上 . 过 C 作 AC 的延长线交 DF 于点 P. D、E、F在一条直线上 , 且 RtGEF RtEBD, EGF = BED，EGF + GEF = 90，BED + GEF = 90，BEG =180o90o= 90o. 又AB = BE = EG = GA = c，ABEG 是一个边长为 c 的正方形 . ABC + CBE = 90o. RtABC RtEBD,ABC = EBD.精选学习资料 - - - - - - - -
29、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 45 页cccbacbaABCEFPQMNEBD + CBE = 90o. 即CBD= 90o.又BDE = 90o，BCP = 90o，BC = BD = a.BDPC 是一个边长为 a的正方形 . 同理， HPFG是一个边长为 b 的正方形 . 设多边形 GHCBE 的面积为 S，则,21222abSbaabSc2122, 222cba.【证法 6】 （项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（ba） ，斜边长为 c. 再做一个边长为c的正方形 . 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条
30、直线上 . 过点 Q作 QPBC，交 AC 于点 P. 过点 B 作 BMPQ，垂足为 M；再过点F作 FNPQ，垂足为 N. BCA = 90o，QPBC，MPC = 90o，BMPQ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 45 页BMP = 90o，BCPM 是一个矩形，即 MBC = 90o. QBM + MBA = QBA = 90o，ABC + MBA = MBC = 90o，QBM = ABC，又BMP = 90o，BCA = 90o，BQ = BA = c，RtBMQ RtBCA. 同理可证 RtQNF RtA
31、EF. 从而将问题转化为【证法4】 （梅文鼎证明） . 【证法 7】 （欧几里得证明）做三个边长分别为a、b、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 H、C、B 三点在一条直线上，连结BF、CD. 过 C 作 CLDE，交 AB 于点 M，交 DE 于点L. AF = AC，AB = AD，FAB = GAD ，FAB GAD，FAB 的面积等于221a，GAD 的面积等于矩形ADLM cbacbaABCDEFGHMLK精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 45 页的面积的一半，矩形 ADLM 的面积 =2a. 同理可证，
32、矩形 MLEB 的面积 =2b. 正方形 ADEB 的面积= 矩形 ADLM 的面积 + 矩形 MLEB 的面积222bac，即222cba. 【证法 8】 （利用相似三角形性质证明）如图，在RtABC 中，设直角边AC、BC 的长度分别为a、b，斜边 AB 的长为 c，过点 C作 CDAB，垂足是 D. 在ADC 和ACB 中，ADC = ACB = 90o，CAD = BAC，ADC ACB. ADAC = AC AB，即ABADAC2. 同理可证， CDB ACB，从而有ABBDBC2. 222ABABDBADBCAC，即222cba. 【证法 9】 （杨作玫证明）做两个全等的直角三角形
33、，设它们的两条直角边长分别为a、bABDCacb精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 45 页（ba） ，斜边长为 c. 再做一个边长为c的正方形 . 把它们拼成如图所示的多边形 . 过 A 作 AFAC，AF 交 GT 于 F，AF 交 DT 于 R. 过 B作 BPAF，垂足为 P. 过 D 作 DE 与 CB 的延长线垂直，垂足为E，DE 交 AF 于 H. BAD = 90o，PAC = 90o，DAH = BAC.又DHA = 90o，BCA = 90o，AD = AB = c ，RtDHA RtBCA. DH =
34、 BC = a，AH = AC = b. 由作法可知，PBCA 是一个矩形，所以 RtAPB RtBCA. 即 PB = CA = b，AP= a，从而 PH = ba. RtDGT RtBCA , RtDHA RtBCA. RtDGT RtDHA . DH = DG = a，GDT = HDA . 又DGT = 90o，DHF = 90o，GDH = GDT + TDH = HDA+ TDH = 90o，987654321PQRTHGFEDCBAabcabccc精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 45 页DGFH 是一个
35、边长为 a的正方形 . GF = FH = a . TFAF，TF = GTGF = ba . TFPB 是一个直角梯形，上底TF=ba，下底BP= b，高FP=a +（ba）.用数字表示面积的编号（如图） ，则以 c 为边长的正方形的面积为543212SSSSScabaabbSSS21438= abb212，985SSS，824321SabbSS= 812SSb.把代入，得98812212SSSSbSSc= 922SSb = 22ab. 222cba. 【证法 10】 （李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b（ba） ，斜边的长为c. 做三个边长分别为a、b、c 的正方形，把它们拼成
36、如图所示形状，使 A、E、G 三点在一条直线上 . 用数字表示面积的编号（如图）.TBE = ABH = 90o，MHRTGFEDCBAba87654321精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 45 页TBH = ABE. 又BTH = BEA = 90o，BT = BE = b，RtHBT RtABE. HT = AE = a.GH = GTHT = ba. 又GHF + BHT = 90o，DBC + BHT = TBH + BHT = 90o，GHF = DBC. DB = EBED = ba，HGF = BDC =
37、90o，RtHGF RtBDC. 即27SS. 过 Q 作 QMAG，垂足是 M. 由BAQ = BEA = 90o，可知ABE = QAM ，而 AB = AQ = c，所以 RtABE RtQAM . 又 RtHBT RtABE. 所以 RtHBT RtQAM .即58SS. 由 RtABE RtQAM，又得QM = AE = a，AQM = BAE. AQM + FQM = 90 o，BAE + CAR = 90 o，AQM = 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 45 页BAE，FQM = CAR. 又QMF =
38、ARC = 90o，QM = AR = a，RtQMF RtARC. 即64SS. 543212SSSSSc，612SSa，8732SSSb，又27SS，58SS，64SS，8736122SSSSSba=52341SSSSS=2c，即222cba.【证法 11】 （利用切割线定理证明）在 RtABC 中，设直角边BC = a，AC = b，斜边 AB = c. 如图，以 B 为圆心 a 为半径作圆，交AB 及 AB 的延长线分别于D、E，则 BD = BE = BC = a . 因为 BCA = 90 o，点 C 在B 上，所以AC 是B 的切线 . 由切割线定理，得ADAEAC2=BDABB
39、EAB=acac= 22ac，即222acb，abaaBACEDc精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 45 页222cba.【证法 12】 （利用多列米定理证明）在 RtABC 中，设直角边 BC = a，AC = b，斜边 AB = c（如图）.过点 A 作 ADCB，过点 B 作 BDCA，则 ACBD 为矩形，矩形 ACBD 内接于一个圆 . 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有BDACBCADDCAB， AB = DC = c，AD = BC = a，AC = BD = b，222ACBC
40、AB，即222bac，222cba.【证法 13】 （作直角三角形的内切圆证明）在 RtABC 中，设直角边 BC = a，AC = b ，斜边 AB = c . 作 RtABC 的内切圆 O，切点分别为D、E、F（如图） ，设 O的半径为 r. AE = AF，BF = BD，CD = CE，BFAFCDBDCEAEABBCAC= CDCE= r + r = 2r, 即rcba2，bacabcACBDcbarrrOFEDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 45 页crba2. 222crba，即222242crcr
41、abba，abSABC21，ABCSab42，又AOCBOCAOBABCSSSS = brarcr212121 = rcba21= rccr221 = rcr2，ABCSrcr442，abrcr242，22222cababba，222cba. 【证法 14】 （利用反证法证明）如图，在RtABC 中，设直角边AC、BC 的长度分别为a、b，斜边 AB 的长为 c，过点 C作 CDAB，垂足是 D. 假设222cba，即假设222ABBCAC，则由ABABAB2=BDADAB=BDABADAB可知ADABAC2， 或者BDABBC2. 即AD ： AC AC ：AB，或者 BD：BCBC：AB.
42、在ADC 和ACB 中，A = A，ABDCacb精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页，共 45 页若 AD：ACAC：AB，则ADCACB. 在CDB 和ACB 中，B = B，若 BD：BCBC：AB，则CDBACB. 又ACB = 90o，ADC90o，CDB90o. 这与作法CDAB 矛盾. 所以，222ABBCAC的假设不能成立. 222cba. 【证法 15】 （辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为 c. 作边长是 a+b 的正方形 ABCD. 把正方形 ABCD 划分成上方左图所示的几个部分
43、，则正方形ABCD 的面积为abbaba2222；把正方形ab21ab21ab21ab212c2b2aAADDBBCCbababababaccccbaababbaba精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 33 页，共 45 页ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为22214cabba =22cab. 22222cababba, 222cba. 【证法 16】 （陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b（ba） ，斜边的长为c. 做两个边长分别为a、b 的正方形（ ba） ，把它们拼成如图所示形状，使E、H
44、、M 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）. 在 EH = b 上截取 ED = a，连结 DA、DC，则 AD = c. EM = EH + HM = b + a , ED = a，DM = EM ED = aba = b. 又CMD = 90o，CM = a，AED = 90o， AE = b，RtAED RtDMC. EAD = MDC，DC = AD = c. ADE + ADC+ MDC =180o，ADE + MDC = ADE + EAD = 90o，ABCDEFGHMabcabcacabc1234567精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结
45、- - - - - - -第 34 页，共 45 页ADC = 90o. 作 ABDC，CBDA，则 ABCD 是一个边长为 c的正方形 . BAF + FAD = DAE + FAD = 90o，BAF=DAE. 连结 FB，在ABF 和ADE 中，AB =AD = c ，AE = AF = b，BAF=DAE，ABF ADE. AFB = AED = 90o，BF = DE = a. 点 B、F、G、H 在一条直线上 . 在 RtABF 和 RtBCG 中，AB = BC = c，BF = CG = a，RtABF RtBCG. 54322SSSSc，6212SSSb，732SSa，764
46、51SSSSS，6217322SSSSSba=76132SSSSS=5432SSSS=2c222cba. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 35 页，共 45 页第六节生活中的纳税问题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 36 页，共 45 页纳税是每个公民的义务，对于每个工作人员来说，除了工资部分按国家规定纳税外，个人劳务增收也应纳税现行劳务报酬纳税办法有三种：(1)每次取得劳务报酬不超过1000 元的(包括 1000 元)，预扣率为 3，全额计税(2)每次取得劳务报酬1000
47、 元以上、 4000 元以下，减除费用800 元后的余额，依照20的比例税率，计算应纳税额(3)每次取得劳务报酬4000 元以上的，减除 20的费用后，依照 20的比例税率，计算应纳税额每次取得劳务报酬超过20000 元的(暂略)由(1)，(2)，(3)的规定，我们如果设个人每次劳务报酬为x 元，y 为相应的纳税金额 (元)，那么，我们可以写出关于劳务报酬纳税的分段函数：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 37 页，共 45 页例 5 小王和小张两人一次共取得劳务报酬10000 元，已知小王的报酬是小张的 2 倍多，两人共缴纳个人所得税
48、1560 元，问小王和小张各得劳务报酬多少元？解根据劳务报酬所得税计算方法(见函数 )，从已知条件 分析可知小王的收入超过 4000 元，而小张的收入在10004000 之间，如果设小王的收入为 x 元，小张的收入为y 元，则有方程组：由得 y=10000-x ，将之代入得x(1-20 )20+(10000-x-800)20 =1560，化简、整理得 0.16x-0.2x+1840=1560 ，所以 0.04x=280 ，x=7000( 元)则 y=10000-7000=3000( 元)所以答小王收入 7000 元，小张收入 3000 元精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归
49、纳总结 - - - - - - -第 38 页，共 45 页例 6 如果对写文章、出版图书所获稿费的纳税计算方法是其中 y(x)表示稿费为 x 元应缴纳的税额那么若小红的爸爸取得一笔稿费，缴纳个人所得税后，得到6216元，问这笔稿费是多少元？解设这笔稿费为 x 元，由于 x4000，所以，根据相应的纳税规定，有方程x(1-20) 20(1-30)=x-6216 ，化简、整理得0.112x=x-6216 ，所以 0.888x=6216 ，所以 x=7000( 元)答这笔稿费是 7000 元练习六精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 39 页
50、，共 45 页1按下列三种方法，将100 元存入银行， 10 年后的本利和各是多少？ (设 1 年期、 3 年期、5 年期的年利率分别为5.22，6.21，6.66保持不变 ) (1)定期 1 年，每存满 1 年，将本利和自动转存下一年，共续存10 年；(2)先连续存三个 3 年期， 9 年后将本利和转存1 年期，合计共存 10 年；(3)连续存二个 5 年期2李光购买了 25000 元某公司 5 年期的债券， 5 年后得到本利和为 40000 元，问这种债券的年利率是多少？3王芳取得一笔稿费，缴纳个人所得税后，得到2580 元，问这笔稿费是多少元？4把本金 5000 元存入银行，年利率为0.