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1、普 通 高 中 数 学 课 程【校 本 教 材】生 活 中 的 数 学 推 理 尤 溪 五 中 高 二 数 学 备 课 组 20222023 学 年生 活 中 的 数 学 推 理 第 一 节 有 趣 的 数 学 谜 语.2 课 时 第 二 节 鸡 兔 同 笼 问 题.1课 时 第 三 节 九 宫 图 的 应 用.1课 时 第 四 节 大 衍 求 一 术.2 课 时 第 五 节 让 梨 游 戏.1课 时 第 六 节 幻 方 与 魔 阵.2 课 时 第 七 节 数 学 中 的 简 单 逻 辑 推 理 问 题.1课 时 第 八 节 欺 骗 眼 睛 的 几 何 问 题.2 课 时 第 九 节 数 独.
2、2 课 时 1第 一 节 有 趣 的 数 学 谜 语 猜 谜 是 一 种 非 常 有 趣 有 益 的 智 力 活 动,猜 谜 语 也 是 锻 炼 思 维 能 力 的 一 种 好 方 法。听 了 谜 语 以 后,就 会 动 脑 筋 想:这 说 的 是 什 么 东 西 呢?“思 源 于 疑”,“疑”是 思 维 的 开 始,是 创 造 的 基 础,大 家 觉 得 是 不 是 呢?今 天 我 们 就 来 猜 谜 语!先 看 几 个 简 单 例 子:1.一 加 一 不 是 二。(打 一 字)“一”字、加 号“+”、再 来 一 个“一”字,组 合 在 一 起,得 到 的 字 不 是“二”,而 是“王。谜
3、底 是 王。2.一 减 一 不 是 零。(打 一 字)“一”字、减 号 再 来 一 个“一”字,组 合 在 一 起,得 到 的 字 不 是“零”,而 是“三”。谜 底 是 三。3.八 分 之 七。(打 一 成 语)“八 分 之 七”用 数 学 符 号 写 出 来,把 数 字 7 写 在 分 数 线 上 面,8 写 在 分 数 线 下 面,谜 底 是 成 语“七 上 八 下”。在 上 面 这 些 谜 语 里,用 一 些 很 简 单 的 数 学 知 识,对 谜 语 的 文 字 作 出 新 的 理 解,可 以 帮 助 猜 出 答 案。另 外 一 类 谜 语,谜 底 是 数 学 名 词。还 是 来 看
4、 几 个 例 子:4.七 六 五 四 三 二 一。(打 一 数 学 名 词)平 常 报 数 目,是 从 小 到 大 顺 着 数,就 像 流 行 歌 曲 里 唱 的,“一 二 三 四 五 六 七,我 的 朋 友 在 哪 里”。现 在 他 说“七 六 五 四 三 二 一”,是 从 大 到 小,倒 过 来 数 了,所 以 谜 底 是“倒 数”。5.讨 价 还 价。(打 一 数 学 名 词)买 东 西 讨 价 还 价,要 经 过 反 复 协 商,才 能 达 成 双 方 都 同 意 的 钱 数。这 种 协 商 钱 数 的 过 程,可 以 戏 称 为“商 数”。谜 底 是 商 数。6.你 盼 着 我,我
5、盼 着 你。(打 一 数 学 名 词)“你 盼 着 我”,是 你 在 等 候 我;“我 盼 着 你”,是 我 在 等 候 你。两 人 互 相 等 候,可 谓“相 等”。谜 底 是 相 等。7.成 绩 是 多 少?(打 二 数 学 名 词)2学 习 成 绩 是 用 得 分 的 数 目 计 算 的。问“多 少”,可 以 换 一 个 说 法,改 问“几 何?”在 中 国 古 代 数 学 书 里,问 一 种 物 品 有 多 少 个,总 是 问 物 有 几 何?”直 到 现 在,有 些 地 区 的 方 言 里,买 东 西 问 价 钱,还 是 说“几 何?”所 以,问“成 绩 多 少”,等 于 是 问“分
6、 数,几 何?”谜 底 是 两 个 数 学 名 词:分 数、几 何。今 天 我 们 见 到 的 谜 语 都 与 数 学 有 关,被 我 们 称 为 数 学 谜 语,根 据 谜 面 和 谜 底 的 不 同,数 学 谜 语 有 不 同 的 分 类。同 学 们 不 妨 一 猜,可 在 紧 张 学 习 之 余 博 得 一 乐,还 可 以 提 高 学 习 数 学 的 兴 趣。请 同 学 们 在 说 谜 底 的 时 候,将 你 的 猜 谜 思 路 和 过 程 有 条 理 地 向 大 家 展 示。一、以 数 学 用 语 为 谜 底 的 谜 语 1.五 角 一 趟 2.两 羊 打 架 3.完 全 合 算 4.
7、勤 点 钞 票 5.两 边 清 点 6.有 情 人 终 成 眷 属 7.合 法 开 支 8.打 得 鸳 鸯 各 一 方 9.垂 钓 1 0.马 术 1 1.庠 1 2.岁 岁 重 阳 今 又 重 阳 1 3.追 本 溯 源 1 4.对 症 下 药 1 5.多 十 分 1 6.集 体 钓 鱼 1 7.协 议 离 婚 1 8.打 成 和 局 1 9.团 体 赛 2 0.刮 胡 子 2 1.摩 拳 擦 掌 22.谁 押 林 冲 去 沧 州(打 两 个 数 学 用 语)二、以 数 字 为 谜 面 的 谜 语 2 3.(打 一 成 语)25.一 二 三 四 五 六 七 九 十(打 一 字)书 名)2 7
8、.三 八 二 十 四(打 一 体 育 用 语)格)三、以 方 程 为 谜 面 的 谜 语 29.x=只-吾(打 一 工 业 用 语)四、以 数 学 家 为 谜 底 的 谜 语 31.东 坡 游 春 五、以 数 学 科 目 为 谜 面 的 谜 语 33.解 析 几 何(打 一 口 头 用 语)六、以 运 算 符 号 为 谜 面 的 谜 语 34.+-X(打 一 成 语)2 4.十 百 千(打 一 成 语)2 6.壹 贰 叁 肆 伍 陆 柒 捌 玖(打 一 古 28.7X 9(打 一 古 军 事 书 名,卷 帘 30.乂=旭+3(打 一 化 学 用 语)3 2.回 眸 一 笑 百 媚 生 3谜 底
9、:1.一 元 二 次(推 算 法)2.对 顶 角 3.绝 对 值 4.常 数(通 假 法)5.分 数 6.同 心 圆 7.有 理 数 8.公 分 母 9.等 于(通 假 法)10.乘 法 11.内 角(分 解 法)12.循 环 节 13.求 根 14.开 方 15.余 角(换 算、通 假)16.公 垂 线 17.约 分 18.平 角 19.公 共 角 20.平 角(词 性 通 假)21.等 角 22.两 个 解、差(问 答 法。答 曰:两 个 解 差,分 开 即 是)23.大 有 人 在 24.万 无 一 失(别 解 为 没 有“一”和“万”)25.口(谜 面 意 为“只 少 八”)26.拾
10、遗 记(意 为 忘 记 写“拾”)27.女 子 双 打(双 打 即 两 打,二 十 四)28.三 十 六 计(7X 9 计 六 十 三,反 序 读 之 即 得)29.成 品(八 口 减 五 口 为 三 口,三 口 即 成“品”字)30.结 晶(九 日 除 以 3得 3 日,结 合 为“晶”)31.苏 步 青 32.杨 乐 33 十 八 斤(谜 面 别 解 为 把“析”分 解 开 是 多 少?)34.支 离 破 碎(把 支 分 解 开 即 为“+、二 X”)你 能 总 结 出 猜 数 学 谜 语 的 基 本 方 法 吗?【猜 一 猜,练 一 练】第 一 组:1.群 策 群 力 2.裁 判 职 责
11、 3.批 准 法 规 4.弹 簧 弹 性 5.人 人 富 裕 6.啦 叭 套 子 7.主 动 争 取 8.听 候 下 令 9.财 政 赤 字 10.伪 造 账 目 11.追 问 到 底 12.准 备 参 赛 13.交 换 赛 场 14.热 身 赛 15.团 体 赛 16.互 相 呼 喊 17.中 秋 明 月 18.平 原 铁 道 19.货 真 价 实 20.提 弦 调 音 谜 底:1.公 理 2.定 理 3.定 律 4.有 限 5.无 穷 6.大 于 号 7.不 等 号 8.等 号 9.负 数 10.无 理 数 11.求 根 12.等 比 13.更 比 14.相 似 15.合 比 16.对 称
12、 17.圆 18.直 径 19.绝 对 值 20.正 弦 第 二 组:1.断 纱 接 头(打 一 数 学 名 词)2.抬 头 望 月 正 好 初 八(打 一 三 角 函 数 名)3.一 笔 债 务(打 一 数 学 名 词)4.两 牛 打 架(打 一 数 学 名 词)5.大 甩 卖(打 一 数 学 名 同)6.再 见 吧 妈 妈(打 一 数 学 名 词)47.医 生 提 笔(打 一 数 学 名 词)9.110(打 一 成 语)11.大 同 小 异(打 一 数 学 名 词)13.周 而 复 始(打 一 数 学 名 词)15.夏 周 之 间(打 一 数 学 名 词)17.算 盘 珠(打 一 数 学
13、名 词)8.99(打 一 成 语)10.103 与 1002(打 一 成 语)12.并 驾 齐 驱(打 一 数 学 名 词)14.考 试 不 作 弊(打 一 数 学 名 词)16.捷 道(打 一 数 学 名 词)18.联 合 国 宪 章(打 一 数 学 名 词)19.岁 岁 重 阳,今 又 重 阳(打 一 数 学 名 词)谜 底:1.延 长 线;2.正 弦;3.负 数;4.对 顶 角;5.绝 对 值;6.分 子 分 母;7.开 方;8.百 无 一 是;9.一 成 不 变;10.千 变 万 化;1 1.近 似;12.平 行;13.循 环;14.真 分 数;15.商;16.直 径;17.代 数;1
14、8.最 大 公 约 数;19.循 环 节。【数 学 谜 语 集 锦】(一)、打 数 学 名 词 方 面 的 21.朱 元 璋 登 基;22.婚 姻 法;1.五 四 三 二 一;2.缺 了 会 计;3.邮 寄 账 本;4.信 件 统 计;5.替 人 查 账;6.查 账;7.开 奖;8.算 术 老 师 的 教 鞭;9.一 笔 债 务;10.商 店 盘 货;11.用;1 2.同 室 操 戈;1 3.团 体 赛;14.兵 对 兵,将 对 将;15.左 右 夹 攻;1 6.重 判;17.轻 判;18.车 站 告 示;1 9.背 着 喇 叭;2 0.待 命 冲 锋;23.演 员 招 考 制 度;24.五
15、角;25.员;26.刀 口;27.海 峡 两 岸 盼 统 一;28.有 情 人 终 成 眷 属;29.马 路 没 弯 儿;30.两 个 寨 子 隔 条 岗,南 寨 没 有 北 寨 强;南 寨 好 汉 有 五 条,不 及 北 寨 人 一 双。31.健 全 法 制;32.儿 童 储 蓄;33.聚 散 无 常;34.千 丝 万 缕;35.身 高;36.会 谈;37.欲 言 又 止;38.保 持 距 离,同 时 起 飞;39.五 角 钱 一 趟;4 0.浮 萍;41.互 盼;42.合 家 欢;43.恰 如 其 分;44.一 望 无 际;45.一 模 一 样;46.哨 声 响 了;47.减 法 没 算
16、对;48.垂 钓;49.走 致 富 之 路;5 0.北;551.抬 头 望 月,正 好 初 八;52.二 胡 调 音;53.时 刻 盼 望 上 战 场(打 数 学 二 名 词);54.丞(打 数 学 三 名 同);55.一 个 邮 递 员 掀 起 了 信 箱 的 盖 子,在 清 点 有 多 少 信 件。你 能 根 据 这 一 情 况 猜 出 三 个 数 学 名 词 吗?(二)、打 数 学 家 名 字 方 面 的 1.虎 丘 游 春;2.博 览 群 书。(三)、打 其 它 方 面 的 1.八 十 五(打 一 影 片 名);2.三 八 二 十 四(打 一 体 育 名 词);3.四 加 四(打 一
17、字);4.+-X+(打 一 政 治 名 词);5.圆 规 画 鸡 蛋(打 一 城 市 名 称);6.力(打 一 珠 算 口 诀);7.千 古 兴 亡 多 少 事(打 三 学 科 名 称);8.向 阳 村 和 青 松 村 比 赛 篮 球。向 阳 队 是 东 方 乡 的 冠 军,而 青 松 队 是 长 丰 乡 的 冠 军,这 场 两 个 冠 军 队 的 比 赛 打 得 非 常 激 烈、精 彩,每 球 必 争,比 分 不 相 上 下,直 到 最 后 一 分 钟,向 阳 队 罚 进 一 球 才 分 出 胜 负。当 有 人 问 起 胜 负 情 况 和 比 分 时,向 阳 队 的 球 员 说,这 次 比
18、赛 是“白”字 比“杂”字,我 们 只 赢 了 一 分。你 知 道 两 个 队 各 得 几 分?谜 底:(一)、L 倒 数:2.无 理 数;3.函 数;4.函 数;5.代 数;6.对 数;7.对 数;8.指 数:9.负 数;10.复 数;11.半 角;12.内 角;13.公 共 角;14.同 位 角;15.两 面 角;16.加 法(谜 面 意 即“加 罚”,“罚”与“法”谐 音);17.减 法;18.乘 法(乘 车 方 法,取 乘 法);19.负 号;20.等 号;21.消 元;22.结 合 律;23.优 选 法;24.半 圆;25.圆 心;26.切 点;27.同 心 圆;28.同 心 圆;2
19、9.直 径;30.算 盘;31.圆 规;32.微 积 分;33.不 定 积 分;34.繁 分 式;35.立 体 几 何;36.集 合 论;37.控 制 论;38.平 行;39.一 元 二 次;40.不 定 根;41.相 等;42.共 圆;43.精 确 值;44.无 穷 大;45.全 等;46.集 合;47.误 差;48.等 于(“于”与“鱼”谐 音);49.趋 向 无 穷;50.反 比(反 扣 法,“北”反 为“比”);51.正 弦(假 借 法,因 为 初 八 月 亮 是 上 弦,“上”含“正”,故 为“正 弦”);52.正 弦;53.等 角、正 切;54.大 于、小 于、分 子(用 增 损
20、法 猜 测);55.开 立 方、函 数、几 何。(二)、1.苏 步 青;2.张 广 厚。6(三)、1.月 到 中 秋;2.女 子 双 打(“三 八”扣“女 子”,“二 十 四”扣“双 打”,因 为 十 二 为 一 打);3.积(“四 加 四”和 是 八,再 由“和 八”拼 成“积”字);4.分 裂 主 义;5.太 原(“原”与“圆”谐 音);6.二 一 添 作 五;7.历 史、代 数、几 何;9.九 十 九 比 九 十 八(“白”是“百”减“一”:“杂”是“九”、“十”、“八”的 组 合)。注:1、不 同 的 谜 面 有 时 有 相 同 的 谜 底;2、同 一 个 谜 面 它 的 谜 底 有
21、时 是 由 几 部 分 组 成 的,且 这 几 部 分 都 是 并 列 的,必 须 都 猜 出 来 才 算 全 对;3、第 五 十 五 个 谜 语 属 哑 谜,最 后 一 个 谜 语 属 故 事 谜。猜 数 学 谜 语 可 锻 炼 思 维 能 力,提 高 学 习 数 学 的 兴 趣。在 猜 谜 的 过 程 中,有 时 需 要 一 步 步 地 深 入,前 面 猜 测 的 结 果 可 能 成 为 下 一 步 的 前 提。因 此,算 法 思 想 始 终 渗 透 在 数 学 谜 语 中,条 理 清 晰,理 由 充 分,推 理 正 确,才 能 一 步 步 地 贴 近 谜 面。同 时,请 学 生 表 述
22、答 案 的 过 程 是 提 高 表 达 能 力 的 过 程。7第 二 节 鸡 兔 同 笼 问 题 鸡 兔 同 笼,这 个 问 题,是 我 国 古 代 著 名 趣 题 之 一。大 约 在 1500年 前,孙 子 算 经 中 就 记 载 了 这 个 有 趣 的 问 题。书 中 是 这 样 叙 述 的:“今 有 雉 兔 同 笼,上 有 三 十 五 头,下 有 九 十 四 足,问 雉 兔 各 几 何?”这 四 句 话 的 意 思 是:有 若 干 只 鸡 兔 同 在 一 个 笼 子 里,从 上 面 数,有 35个 头;从 下 面 数,有 94只 脚。求 笼 中 各 有 几 只 鸡 和 兔?第 一 类:列
23、 表 举 例 法。方 法 1:根 据 鸡 和 兔 共 20只 的 条 件,假 设 鸡 只 有 1 只,那 么 兔 有 19只,腿 共 有 78条。在 这 样 的 逐 一 举 例 中,直 至 寻 求 到 所 求 的 答 案。方 法 2:先 作 一 些 分 析,比 较 后 再 试。头/个 鸡/只 兔/只 腿/条 20 1 197820 2187620 3177420 41672 20 13754方 法 3:先 假 设 鸡 和 兔 各 占 一 半,再 列 表。头/个 鸡/只 兔/只 腿/条 20 1 19 7820 5 15 7020 10 10 6020 15 5 5020 14 6 5220 1
24、3 7 548头/个 鸡/只 兔/只 腿/条 20 10 10 6020 12 8 5620 13 7 546054,说 明 兔 子 多 了,应 减 少 兔 子 的 只 数。上 面 三 种 方 法 中,第 一 张 表 格 是 常 规 的 逐 一 列 举 法,即 根 据 鸡 与 兔 共 20只 的 条 件,假 设 鸡 只 有 1只,那 么 兔 就 有 19只,腿 共 有 78条;假 设 鸡 有 2 只,那 么 兔 就 有 18只,腿 共 有 76条。,再 这 样 的 逐 一 举 例 中,直 至 找 到 所 求 的 答 案。第 二 类:作 图 分 析 法。方 法 1:先 画 20个 圆 圈 表 示
25、 20个 头。再 为 每 个 动 物 画 两 条 腿,20只 动 物 只 用 完 40条 腿,还 多 出 了 14条 腿。把 剩 下 的 14条 腿 用 完,要 给 其 中 的 7 只 动 物 加 2 条 腿,这 7 只 就 是 兔 子,另 外 的 13只 就 是 鸡。方 法 2:先 画 20个 头,接 着 假 设 全 部 是 兔,共 画 80条 腿,多 出 了 26条 腿,要 给 其 中 的 13只 动 物 去 掉 2 条 腿,这 13只 就 是 鸡,另 外 的 7 只 就 是 兔 了。第 三 类:方 程 解 答 法。解 法 1:设 其 中 有 X 只 兔,有 Y 只 鸡。列 式 为:X+Y
26、=20,4X+2Y=54o最 后 算 出 X=7,Y=13o解 法 2:设 其 中 有 X 只 兔,有(20-X)只 鸡。列 式 为:2X+4x(20-X)=54,最 后 算 出 X=7,得 出 兔 的 只 数 是 7 只,那 么 20 X=13就 是 鸡 的 只 数。第 四 类:假 设 推 理 法。方 法 1:假 设 这 20只 全 部 是 兔 子,那 么 就 应 该 有 80条 腿,而 题 目 只 告 诉 我 们 有 54条 腿,我 们 算 的 80与 实 际 相 比 多 算 了 26条 腿,这 是 为 什 么 呢?因 为 一 只 鸡 是 两 条 腿,而 我 们 把 它 当 成 四 条 腿
27、 算 了,如 果 用 一 只 鸡 来 换 一 只 兔,就 要 减 少 2 条 腿,也 就 是 我 们 把 多 少 只 鸡 当 成 了 兔 子,显 然 26+2=13(只),所 以 鸡 有 13只,兔 子 有 7 只。可 以 列 式 为:(20X4-54)4-(4-2)=13(只),20-13=7(只)。方 法 2:假 设 这 20只 全 部 是 鸡,那 么 就 应 该 有 40条 腿,比 实 际 少 了 14条 腿,是 因 为 每 只 兔 子 少 算 了 2 条 腿,这 样 共 有 兔 子 是 7 只,鸡 则 是 13只。列 式 如 下:(54-20 x4)+(42)=13(只),20 13=
28、7(只)。9解 决 鸡 兔 同 笼 问 题 通 常 使 用 假 设 法,可 以 假 设 所 有 的 动 物 都 是 兔 子,并 求 出 在 假 设 情 况 下 的 总 腿 数,再 把 实 际 的 腿 数 和 假 设 情 况 下 的 腿 数 相 比 较,看 看 多 出 了 多 少,每 多 2 只 腿 说 明 有 一 只 鸡,将 多 出 的 腿 数 除 以 2 就 算 出 共 有 多 少 只 鸡。也 可 以 假 设 全 部 是 兔 子 来 解。方 法 3:把 一 只 鸡 和 一 只 兔 看 做 一 个 整 体,一 个 整 体 中 就 有(4+2=6)条 腿,54条 腿 应 该 是 几 个 这 样
29、的 整 体 呢?54+6=9(个),在 9 个 这 样 的 整 体 里 兔 子 的 只 数 应 该 不 是 9 只,因 为 9 只 兔 和 11只 鸡 的 腿 的 条 数 超 过 了 总 条 数 54。那 么 就 把 兔 看 成 8 只,还 是 偏 大,最 后 把 兔 的 只 数 看 成 7 只,鸡 是 13只,腿 的 总 条 数 就 正 好 是 54 了。列 式 为:4+2=6(只),54+6=9(个),9-1=8(只),9-2=7(只),20-7=13(只),7X4=28(条),13X2=26(条)28+26=54(条)第 五 类:“金 鸡 独 立”法 此 方 法 是:每 只 鸡 都 用
30、一 只 脚 站 着,而 每 只 兔 子 都 用 后 脚 站 起 来”。显 然,在 这 种 情 况 下,总 脚 数 出 现 了 一 半,是 27,此 时,鸡 的 脚 数 与 鸡 的 头 数 是 相 等 的,兔 子 的 脚 数 是 兔 子 的 头 数 的 2 倍。所 以,从 27中 减 去 总 的 头 数 20得 7,就 是 兔 子 的 头 数。当 然,20-7=13,鸡 就 是 13只 了。鸡 兔 同 笼 问 题 早 在 我 国 古 代 数 学 名 著 孙 子 算 经 中 就 出 现 过,社 会 发 展 到 今 天,鸡 和 兔 同 装 一 笼 的 此 类 事 件 应 该 不 多 见 了。但 学
31、生 可 以 借 助“鸡 兔 同 笼”这 个 载 体 经 历 尝 试、创 新 的 过 程,让 学 生 感 受 到 数 学 思 想 的 运 用 与 解 决 实 际 问 题 的 联 系,体 会 到 数 学 的 价 值。作 业:设 计 一 个 算 法,输 入 鸡 兔 的 头 和 脚 数,输 出 鸡 和 兔 的 数 量。10第 三 节 九 宫 图 的 应 用 一、数 学 故 事:任 意 写 一 个 三 位 数 做 几 次 简 单 运 算,可 以 发 现 一 个 小 小 规 律。任 意 写 一 个 三 位 数,例 如 135o把 它 的 数 字 倒 过 来 写,成 为 531。用 其 中 较 大 的 减
32、去 较 小 的,得 到 531-135=396。换 几 个 另 外 的 三 位 数,也 做 同 样 的 计 算,分 别 得 到 876-678=198,995-599=396,963-369=594。以 上 4个 式 子 里 得 到 的 差,有 一 个 明 显 的 共 同 点:差 的 中 间 一 位 数 字 都 是 9。再 仔 细 看 看,还 发 现 一 个 共 同 点:差 的 首、尾 两 位 数 字 的 和 等 于 9。这 样,通 过 观 察 和 归 纳,就 发 现 了 三 位 数 颠 倒 相 减 的 规 律。还 可 以 再 随 意 写 很 多 三 位 数 颠 倒 相 减 的 例 子,来 验
33、 证 上 面 得 到 的 规 律,结 果 大 部 分 都 完 全 符 合,只 有 两 种 例 外 情 形。第 一 种 例 外,如 594-495=99,差 是 两 位 数 99,不 是 三 位 数。第 二 种 例 外,如 323-323=0,这 时 的 差 是 0。由 此 可 见,刚 才 初 步 归 纳 出 来 的 规 律,需 要 作 两 点 小 补 充:第 一,如 果 差 的 末 位 数 字 是 9,这 个 差 一 定 是 99;第 二,如 果 差 的 末 位 数 字 是 0,这 个 差 一 定 是 0。在 其 他 情 形 下,差 都 是 三 位 数。这 样 一 来,规 律 就 完 整 了。
34、你 可 以 让 你 的 朋 友 转 过 身 去,在 纸 上 任 意 写 三 位 数,然 后 颠 倒 相 减,只 要 把 差 的 末 位 数 字 告 诉 你,就 能 猜 出 差 是 多 少。无 论 哪 种 情 形,只 要 掌 握 规 律,总 能 应 答 如 流,一 猜 就 准。二、九 宫 图 的 应 用 历 史 古 老 而 悠 久 的 中 华 文 化 的 宝 殿 中,有 两 颗 璀 璨 夺 目 的 明 珠 一 河 图 洛 书,至 今 吸 引 着 众 多 学 者 的 研 究 热 情,人 们 为 河 图 洛 书 的 神 话 般 的 传 说,高 深 的 奥 义,丰 富 的 内 容,简 洁 的 形 式
35、万 分 惊 讶,对 河 图 洛 书 与 中 国 的 思 想 文 化、社 会 科 学、自 然 科 学 的 密 切 联 系 更 是 迷 惑 不 解。种 种 论 述 表 明,河 图 洛 书 是 中 华 文 化 的 总 源 头,对 中 国 及 世 界 文 化 的 发 展,都 有 过 深 刻 的 影 响。然 而,令 我 们 每 个 人 吃 惊 和 迷 惑 不 解 的 是,河 图 洛 书 只 是 两 个 简 单 的 数 字 图。1 1龙 马 载 河 图,神 龟 背 洛 书 河 图 洛 书 是 我 们 祖 先 创 造 出 来 的,翻 遍 祖 国 的 各 种 古 典 著 作,我 们 根 本 找 不 到 这 位
36、 创 始 人。河 图 洛 书 的 产 生,至 少 要 追 溯 到 四 千 五 百 多 年 以 前,那 时,人 类 尚 处 于 无 文 字 时 代,人 类 的 认 识 水 平 还 十 分 低,很 难 想 象 那 时 就 有 人 能 够 制 造 出 如 此 高 深 莫 测 的 图 书。在 我 国 各 种 古 籍 中,对 河 图 洛 书 的 起 源,仅 有 两 个 龙 马 载 河 图,神 龟 背 洛 书 的 传 说。(-)龙 马 载 河 图 相 传 远 古 时 期 的 孟 津 河 边,一 天 河 水 忽 然 大 涨,波 浪 滔 天,水 中 有 一 巨 兽,似 龙 非 龙,似 马 非 马,浪 里 飞
37、腾。当 时 的 伏 羲 黄 帝 与 众 臣 听 到 有 人 报 告,立 即 去 河 边 观 看,只 见 河 中 洪 涛 巨 浪,波 浪 中 一 巨 兽 踏 水 如 登 平 地,大 体 象 马 却 身 有 鱼 鳞,高 八 九 尺,有 两 翼,形 体 象 骆 驼,身 上 负 有 由 花 点 构 成 的 图 案,黄 帝 命 人 走 近 河 边,将 图 案 记 录 下 来,刚 刚 记 下,怪 兽 即 没 而 不 见。后 伏 羲 皇 帝 认 真 研 究 了 这 副 图 发 现 它 正 是 由 十 种 花 点 组 成,这 十 种 花 点 代 表 1 T 0这 10个 数,两 种 花 点 构 成 一 组,布
38、 局 在 东 西 南 北 中 五 个 位 置 上,每 组 花 点 所 表 示 的 数,其 差 均 是 5.这 种 和 谐 统 一,四 方 对 称 的 特 征,黄 帝 越 研 究 越 感 到 奇 妙 无 比,后 来 他 就 依 此 画 八 卦,建 甲 历,定 时 辰,治 理 国 家。由 于 此 幅 图 是 在 孟 津 河 中 发 现 的,故 称 此 图 为 河 图。(二)神 龟 背 洛 书 公 元 前 2 3世 纪,大 禹 治 水 的 时 候,在 黄 河 支 流 洛 水 中,有 一 天 突 然 浮 规 出 一 个 大 乌 龟,当 时,大 禹 与 治 水 士 兵 正 在 河 边 现 察 洛 河 水
39、 情,商 议 治 理 黄 河 大 计,遇 到 乌 龟 在 河 里 上 下 翻 腾 就 十 分 奇 怪,只 见 此 龟 行 走 水 面,游 来 游 去,其 身 形 庞 大,甲 背 平 圆。近 处 仔 细 观 看,发 现 甲 上 载 有 9种 花 点 的 图 案,大 禹 令 士 兵 们 将 图 案 中 的 花 点 布 局 记 了 下 来,带 回 去 作 了 深 入 的 研 究,他 惊 奇 地 发 现,9种 花 点 数 正 好 是 1-9这 9个 数,各 数 的 位 置 排 列 也 相 当 奇 巧,纵 横 六 线 及 两 条 对 角 线 上 三 数 之 和 都 为 1 5,既 均 衡 对 称,又 深
40、 奥 有 趣,在 奇 偶 数 的 交 替 变 化 之 中 似 有 一 种 旋 转 运 动 之 妙。大 禹 受 到 启 发,他 参 照 九 数 而 划 分 天 下 雨 九 别,并 且 把 一 般 政 事 也 区 分 为 九 奥。据 史 记.夏 本 纪 写 道:夏 禹 治 水 时,”左 准 通、右 规 矩,载 四 时,以 开 九 州,通 九 道,陂 九 泽”大 禹 治 水 以 九 宫 为 据,应 用 到 测 量、气 象、地 理 与 交 通 运 输 之 中,从 而 治 理 黄 河,大 获 成 功,受 到 黄 河 两 岸 人 们 的 拥 12戴。由 于 神 龟 所 背 图 是 在 黄 河 支 流 洛
41、水 中 发 现,且 图 中 内 容 如 书 一 样 深 奥,故 人 们 称 此 为 洛 书。应 用:如 何 分 班?为 师 各 班 成 绩 均 匀,我 们 给 先 学 生 排 序,然 后 按 照 一 定 的 规 律 将 学 生 分 组。如 分 3 个 班,将 学 生 排 序 后,按 照 图 1 的 行(或 列)从 上 到 下 一 次 编 号 132321213为 一 组,向 下 重 复。所 有 编 号 为 1的 一 个 班,编 号 为 2 的 一 个 班,编 号 为 3 的 一 个 班。如 分 4 个 班 则 按 图 2 处 理;5 个 班 按 图 3 处 理;6 个 班 按 图 4 处 理。
42、1 4 3 23 2 1 42 3 4 14 1 2 3图 2图 31 3 4 5 22 4 5 1 35 2 3 4 13 5 1 2 44 1 2 3 5图 43 1 6 5 2 46 2 5 3 4 15 4 1 2 3 61 6 3 4 5 24 5 2 1 6 32 3 4 6 1 5作 业:按 照 示 例 4 图,请 与 同 学 合 作,编 制 一 张 分 7个 班 的 分 班 表。13第 四 节 大 衍 求 一 术 孙 子 算 经 成 书 不 会 迟 于 3 世 纪,大 体 在 公 元 67 270年 之 间。全 书 分 三 卷。卷 下 有 一 个 具 有 重 大 意 义 的 问
43、 题:今 有 物 不 知 其 数,三 三 数 之 剩 二,五 五 数 之 剩 三;七 七 数 之 剩 二。问 物 几 何?答 日;二 十 三 工 今 译 之,即,现 有 一 些 东 西,不 知 其 数。三 个 三 个 的 数 剩 两 个,五 个 五 个 的 数 剩 三 个,七 个 七 个 的 数 剩 两 个;也 就 是 说,被 3 除 余 2,被 5除 余 3,被 7 除 余 2。问 这 些 东 西 有 多 少?这 就 是 后 来 驰 名 于 世 界 的“大 衍 求 一 术”的 起 源。孙 子 中 此 题 的 解 法 是“术 曰】三 三 数 之 剩 二.置 一 百 四 十,五 五 数 之 剩
44、三,置 六 十 三,七 七 数 之 剩 二,置 三 十,并 之,得 二 百 三 十 三,以 二 百 一 十 减 之 即 得。凡 三 三 数 之 剩 一,则 置 七 十;五 五 数 之 剩 一,则 置 二 十 一,七 七 数 之 剩 一,则 置 十 五。一 百 六 以 上,以 一 百 五 减 之 即 得。”用 现 代 的 方 法 解 释 之,即&以 表 示 3 的 倍 数,5E M J表 示 5的 倍 数 等 等,则 70=3EMJ+1=5EMJ=7LM1(1)21=31 口=5IACI+1=7LM1(2)15=5CAfn=7LM2+1(3)用 3,5,7 除 得 的 余 数 2,3,2 分 别
45、 乘(1),(2),(3)式,便 得 140=3彻 1+2=5LM3=7M J63=3CM:=+3=7LM230=3LM1=5C M=7LM J+2233=3CMJ+2=5CMJ+3=7 A fJ+2最 后 一 行 是 三 式 相 加 的 结 果。它 表 明 233是 3 的 倍 数 多 2,5 的 倍 数 多 3,7 的 倍 数 多 2,正 是 所 求 的 解。减 去 两 次 105,即 得 最 小 数 23。孙 子 算 经 的“物 不 知 数”题,数 字 很 简 单,用 试 验 的 方法 就 可 以 得 出 答 案。如 果 数 字 较 大,用 余 式 的 个 数 又 多,凭 猜 测 试 验
46、 就 不 能 解 决 问 题 了。这 种 一 般 性 的 一 次 同 余 式 组 的 科 学 解 法,是 由 秦 九 韶(生 活 于 13世 纪 中 期)首 先 解 决 的。他 的 基 本 思 路 是:把“物 不 知 数”问 题 改 变 一 下 形 式,将 除 得 的 余 数 2,3,2 分 别 用 表 示,除 数 3,5,7分 别 用 自,鱼,勿 表 示,就 有,(N m z*2(mod%)L JVr3(mod/3)解 法 也 随 之 变 成*”=70/1+2 1+15%-105。为 整 数)这 里 的 105=3X5X7,就 是 那 三 个 除 数 3,5,7的 乘 积。以 M 表 示 这
47、 个 积,那 么 70,21,15相 当 于 2 x 华、I XPi.竺、1 x 空 用 及 1、Kg、直 3分 别 代 表 2,1,1 就 有 d AK*於-,K,*、K3 g e 把 这 个 问 题 推 广 到 一 般 情 况,PL Pi Ps设,力,的 为 两 两 互 余 的 除 数 为,个 余 数,M=Oi加 力,就 有 下 面 的 同 余 式 组,ArN,L(modpi)“N/(mod/DI【N H y/m o d解 法 可 用 下 式 表 示,N=K1+Kz挈,2+K*Y-P MPi Pi Pi问 题 的 关 键 在 于 使 这 些 K1,K,分 别 满 足 同 余 式 iJ-=l
48、(niodj1)*=1(modA).Pl Pz Pi15l(modA)如 果=L 2,)不 是 两 两 互 素,秦 九 韶 已 经 知 道 将 它 们 化 为 互 素 的 方 法(计 算 太 繁,从 略 以 秦 九 韶 的 主 要 贡 献 就 是 得 到 了 求 KfG=1,2,3,)的 具 体 方 法。他 的 求 法 是,先 由 磬 累 减 2小 直 到 余 数 G V d 为 止,这 时 有 G w 当-(mod仑)$然 后,他 用 辗 转 相 除 法 求 出 A=Gqi+fiG=/过 2+外 rt=如+%,2=,344+茨 4具 体 求 法 是】Kz+1Kz q*K%+KiK 尸 q K
49、s+K2/22=-应+九 K*=q n K z+K j最 后 的,”等 于 1 时,就 不 再 往 下 计 算 了,这 时 K.就 是 所 求 的 数。(注 意 左 是 K 中 的 一 个,两 个 脚 码 不 是 一 回 事,不 可 混 淆。)所 谓“求 一”就 是 指 求 到。=1,这 就 是 有 名 的“大 街 求 一 术 o关 于 一 次 同 余 式 的 提 出 和 解 法,在 历 史 上 我 国 长 期 居 于 领 先 地 位。时 间 稍 迟,其 他 国 家 也 提 出 类 似 的 问 题,如 印 度 教 学 家 阿 利 耶 毗 陀(约 476550)曾 提 出 相 当 于 解 同 余
50、 式 组 r8x=4(mod29)门 117x7(niod45)的 问 题,他 用 消 元 法 解 得 结 果#=1001。这 一 成 果 的 出 现 在 时 间 上 已 略 晚 于 我 国,其 同 余 式 的 个 数 也 少 于 我 国。约 公 元 i 千 年 前 后 伊 斯 兰 学 者 阿 尔 海 坦 有 一 个 同 余 式 问 题,“一 数 分 别 除 以 2,3,4,5,6,余 数 都 是 工,除 以 7,无 余 数,求 这 个 数”。作 者 的 答 案 不 是 解 的 最 小 者。1202年 斐 波 纳 契 16的 算 经 上 有 好 几 道 一 次 同 余 式 题,然 而 其 论