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1、自由曲线与曲面 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life, there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望主要内容11.1 解析曲面解析曲面11.2 Bezier曲面曲面11.3 B样条曲面样条曲面11.4 NURBS曲面曲面11.5 曲面的其它表达曲面的其它表达11.6 曲面求交算法曲面求交算法11.1 解析曲面（代数曲面）解析曲面（代数曲面）代数曲面在造型系统中常见，但远远不能满足复杂曲面造型的要求适合构造简单曲面，不能构造自由曲面不同类型曲面拼接连续性难以保证不同曲面求交公式不一，程序实现量大工程设
2、计交互性差因此，CAD系统中除简单代数曲面外，必须具有强大的自由曲面造型能力Bezier、B样条、BURBS曲面在商用CAD系统中常见。给定空间n+1个点的位置矢量Pi（i=0，1，2，n），则Bezier曲线定义为：11.2 Bezier11.2 Bezier曲面的定义曲面的定义- -张量积曲面张量积曲面展开上式得：双三次双三次Bezier曲面曲面P(0.7,0.6)xyzovu10100.60.7BezierBezier曲面参数空曲面参数空间和三维欧式空间间和三维欧式空间的映射关系的映射关系Bezier曲面的特性1）2） 事实上，沿事实上，沿BezierBezier曲面任何曲面任何等参数等
3、参数的截线均为的截线均为一一BezierBezier曲线。显然，固定参数曲线。显然，固定参数v v，对参变量，对参变量u u而言而言是一簇是一簇BezierBezier曲线；固定参数曲线；固定参数u u，对参变量，对参变量v v而言也而言也是一簇是一簇BezierBezier曲线。曲线。vu1010 xyzo3）4) 其它特性与Bezier曲线类似：Bezier曲面的计算与绘制Bezier曲面的拼接 ，即两曲面的首末控制点相同。，即两曲面的首末控制点相同。A）G0连续B）G1连续最简单直接的方法为：最简单直接的方法为：，即有公共切平面，即有公共切平面l为了实现多张曲面拼接，需要更多的自由度和更
4、为了实现多张曲面拼接，需要更多的自由度和更为宽松的条件才可能实现。为实现这一目标往往为宽松的条件才可能实现。为实现这一目标往往需要更高阶的曲面，对低阶曲面可通过升阶方法需要更高阶的曲面，对低阶曲面可通过升阶方法提高阶次。提高阶次。l 特征多边形顶点数决定了它的阶次数，当特征多边形顶点数决定了它的阶次数，当n较大时，较大时，不仅计算量增大，稳定性降低，且控制顶点对曲不仅计算量增大，稳定性降低，且控制顶点对曲线的形状控制减弱；线的形状控制减弱；l不具有局部性，即修改一控制点对曲线产生全局不具有局部性，即修改一控制点对曲线产生全局性影响。性影响。l1972年年Gordon等用等用B样条基代替样条基代
5、替Bernstein基函数，基函数，从而改进上述缺点。从而改进上述缺点。Bezier曲面的不足 类似类似BezierBezier曲面，将均匀三次曲面，将均匀三次B B样条曲线推广样条曲线推广可得到可得到均匀双三次均匀双三次B B样条曲面样条曲面的定义如下：的定义如下：11.3 B11.3 B样条曲面样条曲面 B样条曲面的性质 由此可见，由此可见，B样条方法能够很方便绘制复杂曲面，并比样条方法能够很方便绘制复杂曲面，并比Bezier方法更灵活，因此应用更广泛。方法更灵活，因此应用更广泛。B B样条曲面的计算与绘制样条曲面的计算与绘制先沿等参数方向离散成网格点，然后依次连线绘制先沿等参数方向离散成
6、网格点，然后依次连线绘制 B样条曲面的反算 借鉴借鉴B B样条曲线的反算样条曲线的反算思想，先对给定型值点进思想，先对给定型值点进行行u u向反算，反算得到一组向反算，反算得到一组控制点，通过升阶使控制控制点，通过升阶使控制点数相等，再以此点数相等，再以此控制点控制点为型值点为型值点进行进行v v向反算，具向反算，具体步骤如下：体步骤如下：n,j;m,i ,.10210jida a）以）以U U向截面数据点（型值点）及端点向截面数据点（型值点）及端点u u向切矢，应用向切矢，应用B B样条曲线样条曲线反算，构造出各截面曲线，求出它们的反算，构造出各截面曲线，求出它们的B B样条控制顶点：样条控
7、制顶点：b b）仍以）仍以U U向视首末截面数据点处向视首末截面数据点处v v向切矢为向切矢为“位置矢量位置矢量”表示的表示的“数据点数据点”，又视四角角点扭矢为，又视四角角点扭矢为“端点端点v v向切矢向切矢”，应用曲线反，应用曲线反算，求出定义首末算，求出定义首末u u参数边界参数边界( (即首末截面曲线即首末截面曲线) )的跨界切矢曲线的的跨界切矢曲线的控制顶点。控制顶点。 c c）然后固定指标）然后固定指标i i，以第一步求出的，以第一步求出的n n1 1条截面曲线的控制顶条截面曲线的控制顶点阵列中的第点阵列中的第i i排即：排即： n,j,10 jid为为“数据点数据点”，以上一，以
8、上一 步求出的跨界切矢曲线的第步求出的跨界切矢曲线的第i i个顶点为个顶点为”端点切矢端点切矢”，在节点，在节点矢量矢量V V上应用曲线反算，分别求出上应用曲线反算，分别求出m m3 3条插值曲线即控制曲线条插值曲线即控制曲线的的B B样条控制顶点样条控制顶点 210210n,j;m,i ,.jid三次三次B B样条插值曲面的控制顶点样条插值曲面的控制顶点。 ，即为所求双，即为所求双11.4 NURBS11.4 NURBS曲面曲面追求内部表达模型的统一是追求内部表达模型的统一是CAGD领域学者们的重要目领域学者们的重要目标之一，标之一，NURBS不是终点，学者们仍在努力。不是终点，学者们仍在努
9、力。（目前（目前样条表达能力更强，但控制参数更多样条表达能力更强，但控制参数更多）11.5 其他表达方式二次曲面（二次曲面（quadric）是最基本的曲面表达：如球面、锥面、）是最基本的曲面表达：如球面、锥面、环面、抛物面、双曲面等；其特点为表达简单，计算量小，尤其环面、抛物面、双曲面等；其特点为表达简单，计算量小，尤其是求交运算容易获得其解析解，因此商用系统中广泛采用。是求交运算容易获得其解析解，因此商用系统中广泛采用。Quadric surfacesuperquadricsuperquadric toroids1)rz(a)ry()rx(112222/Ez/EE2/Ey2/Ex super
10、quadric ellipsoids1)rz()ry()rx(112222/Ez/EE2/Ey2/Ex superquadricsuperquadric曲面在商用曲面在商用CADCAD系统应用相对较少，但在动系统应用相对较少，但在动画软件中常用画软件中常用 隐式曲面隐式曲面Implicit Surface 隐式曲面是元球隐式曲面是元球(metaball)的更一般形式，它在表现人体的更一般形式，它在表现人体的肌肉、水滴、云、树等物体的造型和动画方面有很大的肌肉、水滴、云、树等物体的造型和动画方面有很大的优势的优势,隐式曲面造型目前尚在发展和完善阶段。隐式曲面造型目前尚在发展和完善阶段。 偏微分方
11、程（偏微分方程（PDE）曲面）曲面 PDE方法使用一组椭圆偏微分方程构造曲面，曲方法使用一组椭圆偏微分方程构造曲面，曲面的形状由所选择的偏微分方程和给定的边界条面的形状由所选择的偏微分方程和给定的边界条件确定。件确定。 等距曲面（等距曲面（Offset） F（u，v） S（u，v）+ d N S（u，v） 细分曲面细分曲面 前面我们介绍的各种解析曲面、前面我们介绍的各种解析曲面、BezierBezier曲面、曲面、B B样条样条曲面及曲面及NURBSNURBS曲面，其生成的曲面比较规则。曲面，其生成的曲面比较规则。 而实际工程中会有各种不规则的曲面，很多形体的而实际工程中会有各种不规则的曲面，
12、很多形体的表面也都是由不规则的曲面封闭包围而成。表面也都是由不规则的曲面封闭包围而成。 这些不规则的曲面往往是由规则曲面裁剪而成，裁这些不规则的曲面往往是由规则曲面裁剪而成，裁剪操作的关键在于曲面的求交，如图：剪操作的关键在于曲面的求交，如图：11.6 11.6 曲面求交算法介绍曲面求交算法介绍 当前的当前的CADCAD系统，大多采用精确的边界表示模型。在系统，大多采用精确的边界表示模型。在这种表示法中，零件形体的边界元素和某类几何元素相这种表示法中，零件形体的边界元素和某类几何元素相对应，它们可以是直线、圆（圆弧）、二次曲线、对应，它们可以是直线、圆（圆弧）、二次曲线、BezierBezie
13、r曲线、曲线、B B样条、样条、NURBSNURBS曲线等，也可以是平面、球曲线等，也可以是平面、球面、二次曲面、面、二次曲面、BezierBezier曲面、曲面、B B样条、样条、NURBSNURBS曲面等，求曲面等，求交情况十分复杂。交情况十分复杂。 在一个典型的在一个典型的CADCAD系统中，用到的几何元素通常有系统中，用到的几何元素通常有2525种，为了建立一个通用的求交函数库，所要完成的求交种，为了建立一个通用的求交函数库，所要完成的求交函数多达函数多达 2525325325种！一种好的思想是将几何元素种！一种好的思想是将几何元素进行归类，利用同一元素之间的共性来研究求交算法。进行归
14、类，利用同一元素之间的共性来研究求交算法。 C225 NURBS具有强大的表示能力，能使造型系统的几具有强大的表示能力，能使造型系统的几何元素表示统一起来，那么，几何造型系统的求交是否何元素表示统一起来，那么，几何造型系统的求交是否可以简化为可以简化为NURBS求交呢？非也求交呢？非也 ！ 通常样条曲面的求交算法采用通常样条曲面的求交算法采用离散逼近、迭代求精离散逼近、迭代求精与跟踪与跟踪的方法，求交精度不高，计算量大，速度慢，对的方法，求交精度不高，计算量大，速度慢，对共点、共线、共面难以处理，从而影响布尔运算的效率共点、共线、共面难以处理，从而影响布尔运算的效率和稳定性。和稳定性。 基本的
15、求交算法：基本的求交算法： 由于计算机内浮点数有误差，求交计算必须引进容差。假由于计算机内浮点数有误差，求交计算必须引进容差。假定容差为定容差为e e，则点被看成是半径为，则点被看成是半径为e e的球，线被看成是半径为的球，线被看成是半径为e e的圆的圆管，面被看成是厚度为管，面被看成是厚度为2 2e e的薄板。的薄板。 点与其它几何元素的求交比较简单，计算两个点是否相交，点与其它几何元素的求交比较简单，计算两个点是否相交，实际上是判断两个点是否重合，判断点和线（或面）是否相交，实际上是判断两个点是否重合，判断点和线（或面）是否相交，实际上是判断点是否在线（或面）上。实际上是判断点是否在线（或
16、面）上。 线与线的求交：有二次曲线与二次曲线、二次曲线与自由线与线的求交：有二次曲线与二次曲线、二次曲线与自由曲线及自由曲线与自由曲线求交三种。曲线及自由曲线与自由曲线求交三种。 线与面的求交：有二次曲线与二次曲面、二次曲线与自由线与面的求交：有二次曲线与二次曲面、二次曲线与自由曲面、自由曲线与二次曲面及自由曲线与自由曲面求交四种。曲面、自由曲线与二次曲面及自由曲线与自由曲面求交四种。 在几何元素之间的求交算法中，曲面与曲面之间的求交是最在几何元素之间的求交算法中，曲面与曲面之间的求交是最为复杂的一种，比其它元素的求交要复杂得多，曲面与曲面求为复杂的一种，比其它元素的求交要复杂得多，曲面与曲面
17、求交的基本方法主要有交的基本方法主要有代数方法、几何方法、离散方法和跟踪方代数方法、几何方法、离散方法和跟踪方法法四种。四种。 1代数方法代数方法 代数方法是利用代数运算，特别是求解代数方程代数方法是利用代数运算，特别是求解代数方程的方法求出曲面的交线。对于一些简单的曲面求交，的方法求出曲面的交线。对于一些简单的曲面求交，如平面和平面，平面和二次曲面，可以直接通过曲如平面和平面，平面和二次曲面，可以直接通过曲面方程求解计算交线，对于某些复杂的情况，则需面方程求解计算交线，对于某些复杂的情况，则需要进行分析和化简的运算后求解。要进行分析和化简的运算后求解。 2几何方法几何方法 几何方法求交是通过
18、对参与求交的曲面的形状大小、相互位置几何方法求交是通过对参与求交的曲面的形状大小、相互位置以及方向等进行计算和判断，识别出交线的形状和类型，从而可精以及方向等进行计算和判断，识别出交线的形状和类型，从而可精确求出交线。确求出交线。 几何求交适应性不是很广，一般仅用于平面以及二次曲面等简几何求交适应性不是很广，一般仅用于平面以及二次曲面等简单曲面的求交。单曲面的求交。( (机械制图画法几何中相贯线作图是几何求交法机械制图画法几何中相贯线作图是几何求交法) ) 3离散方法离散方法 离散方法求交是利用分割的离散方法求交是利用分割的方法，将曲面不断离散成较小的方法，将曲面不断离散成较小的三角形平面片来
19、逼近，然后用这三角形平面片来逼近，然后用这些简单面片求交得一系列交线段，些简单面片求交得一系列交线段，连接这些交线段即得到精确交线连接这些交线段即得到精确交线的近似结果。的近似结果。 离散求交一般过程：离散求交一般过程：1 1）用）用包围盒作分离性检查排除无交区包围盒作分离性检查排除无交区域；域；2 2）根据平坦性检查判断是）根据平坦性检查判断是否终止离散过程；否终止离散过程；3 3）连接求出）连接求出的交线段作为求交结果。的交线段作为求交结果。 然而离散法求出的交线逼近精度不高。如果要求的精度较然而离散法求出的交线逼近精度不高。如果要求的精度较高，需要增加离散层数。这将大大增加数据储存和计算
20、量。高，需要增加离散层数。这将大大增加数据储存和计算量。 离散求交精度不高，难以构成完整的交线离散求交精度不高，难以构成完整的交线。因此多用于初。因此多用于初始点的确定。始点的确定。S 1的参数域S 2 的参数域S 1S 2交线在两曲面参数域的映射 跟踪方法求交是通过跟踪方法求交是通过先求出初始交点先求出初始交点，然后从，然后从已知的初始交点出发，相已知的初始交点出发，相继继跟踪计算出下一交点跟踪计算出下一交点，从而求出整条交线的方法。从而求出整条交线的方法。 跟踪法的本质是构造跟踪法的本质是构造交线满足的微分方程组，交线满足的微分方程组，先求出先求出满足方程组的某个满足方程组的某个某个某个初
21、值解初值解，通过数值求通过数值求解解微分方程组的方法来计微分方程组的方法来计算算整个交线整个交线。 4跟踪方法跟踪方法 跟踪方法在计算相继跟踪方法在计算相继交点的时候，利用了曲面交点的时候，利用了曲面的局部微分性质，一般采的局部微分性质，一般采用数值迭代的方法求解，用数值迭代的方法求解，使得计算效率较高。使得计算效率较高。 跟踪法求交中要考虑跟踪法求交中要考虑的主要问题包括：的主要问题包括：1)1)如何如何求出初始交点并保证每一求出初始交点并保证每一交线分支都有初始交点被交线分支都有初始交点被求出；求出；2)2)如何计算奇异情如何计算奇异情况下的跟踪方向以及合理况下的跟踪方向以及合理选取跟踪的前进步长；选取跟踪的前进步长；3)3)如何处理相切的情况。如何处理相切的情况。思考题：思考题： 1.1.掌握掌握BeizerBeizer曲面的性质、计算与绘制方法曲面的性质、计算与绘制方法 2.2.掌握掌握B B样条曲面的性质、计算与绘制方法样条曲面的性质、计算与绘制方法 3.3.了解了解NURBSNURBS曲面及其特点曲面及其特点 4.4.了解曲面求交算法了解曲面求交算法