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1、(4). 三种势能三种势能重力势能重力势能mgzEp弹性势能弹性势能221kxEp万有引力势能万有引力势能rMmGEp(5). 保守力的特点保守力的特点0LrdF作功与路径无关作功与路径无关例例3：长为：长为l质量为质量为M的均质重梯上端的均质重梯上端A靠在光滑的竖直靠在光滑的竖直墙面上，下端墙面上，下端B落在水平地面上，梯子与地面夹角为落在水平地面上，梯子与地面夹角为060一质量也为一质量也为M的人从的人从B端缓慢爬梯，到达梯子中点时端缓慢爬梯，到达梯子中点时梯子尚未滑动，稍过中点，梯子就会滑动，求梯子与梯子尚未滑动，稍过中点，梯子就会滑动，求梯子与地面之间的摩擦系数地面之间的摩擦系数BA解
2、：系统力平衡解：系统力平衡 力矩平衡力矩平衡Mg21N2Nf21NNfMgN2200160cos2260sinlMglN求得：求得：321060例例4：在水平地面上的一个桶内成有水，桶的侧面有个：在水平地面上的一个桶内成有水，桶的侧面有个小孔，孔与水面相距为小孔，孔与水面相距为h水从小孔水从小孔流出，求水从小孔流出时的速度。流出，求水从小孔流出时的速度。解：在孔处取单位体积的小体元解：在孔处取单位体积的小体元体元左侧面积为单位面积，受力等于体元左侧面积为单位面积，受力等于该处的压强该处的压强0pghfllf此体元此体元 运动单位距离就可以流出运动单位距离就可以流出按照牛顿第二定律：按照牛顿第二
3、定律：ghfa速度：速度：ghasv22) 1( s0pfr右侧面积为单位面积，受力右侧面积为单位面积，受力0pfr此体元经受力此体元经受力ghf例例5. 质量为质量为m长为长为l的匀质棒可绕固定的支点在竖直的匀质棒可绕固定的支点在竖直平面内运动平面内运动. 若棒在与水平线成若棒在与水平线成030角位置从静止开始角位置从静止开始下落下落,试计算当棒落到水平位置时试计算当棒落到水平位置时,作用于支点的力作用于支点的力.解解: 由转动定理由转动定理cos2lmgdtdJ这里这里231mlJ 得到角加速度得到角加速度cos23lgdtd表达式可写成表达式可写成cos23lgdtddddtdcos23
4、lgdddlgdcos230mgdlgdcos23两边积分两边积分得到得到)sin(sin302lg轴反力的两个分量轴反力的两个分量xR和和yR,列出质心运动方程列出质心运动方程:法线方向法线方向sincossin22yxRRmglm切线方向切线方向cossincos2yxRRmgdtdlm或写成或写成sincossin)sin(sin230yxRRmgmgcossincoscos43yxRRmgmgdlgdcos23000yRxRmg当当0时时,得到得到sincossin)sin(sin230yxRRmgmgcossincoscos43yxRRmgmg43mgRx4mgRy0yRxR例例6.
5、 一长为一长为l的细麦杆可绕通过中心的细麦杆可绕通过中心o的水平转轴的水平转轴在铅锤面内自由转动。开始时麦杆静止于水平位置在铅锤面内自由转动。开始时麦杆静止于水平位置一质量与麦杆相同的甲虫以速度一质量与麦杆相同的甲虫以速度0v垂直落到麦杆的垂直落到麦杆的41长度处，落下后甲虫立即向端点爬行。问为使长度处，落下后甲虫立即向端点爬行。问为使麦杆以均匀的角速度旋转，甲虫沿麦杆爬行的速度麦杆以均匀的角速度旋转，甲虫沿麦杆爬行的速度多大？多大？o0v解：解： 以麦杆和甲虫为系统以麦杆和甲虫为系统碰撞过程角动量守恒，设碰后系统的角速度为碰撞过程角动量守恒，设碰后系统的角速度为于是有：于是有：2204112
6、14lmmlmvl解得：解得：lv7120碰后，当甲虫距轴心为碰后，当甲虫距轴心为x时系统的转动惯量为时系统的转动惯量为o0vx22121mxmlJ作用在系统上的重力矩为：作用在系统上的重力矩为：cosmgxM 据转动定理：据转动定理：MdtJd应有：应有：)cos( tmgxdtdJdtdJ即：即：)cos(2tmgxdtdxmx于是甲虫的速度为：于是甲虫的速度为：)cos(2tgv例例7. 光滑水平面上有一半径为光滑水平面上有一半径为R的固定圆环的固定圆环,长为长为l 2的匀质细杆的匀质细杆AB开始时绕着开始时绕着C点旋转点旋转,C点靠在环上点靠在环上,且无初速度且无初速度.假设而后细杆可
7、无相对滑动地绕着假设而后细杆可无相对滑动地绕着圆环外侧运动圆环外侧运动,直至细杆的直至细杆的B端与环接触后彼此分离端与环接触后彼此分离,已知细杆与圆环间的摩擦系数已知细杆与圆环间的摩擦系数处处相同处处相同,试求试求的取值范围的取值范围.RllABC解解: 设初始时细杆的旋转设初始时细杆的旋转角速度为角速度为0,转过转过角后角后角速度为角速度为.由于摩擦力由于摩擦力并不作功并不作功,故细杆和圆环故细杆和圆环构成的系统机械能守恒构成的系统机械能守恒应有应有:2202121PCJJ这里这里2231)2(121mllmJC22)2(121mrlmJPRr 解得解得:rrllrvrllC22022033
8、细杆质心细杆质心C将沿着圆的渐开将沿着圆的渐开 线运动线运动切向加速度为切向加速度为dtdddrdrdvdtdvaCCC切RllABCPrv2222043rlRl法向加速度为法向加速度为2raC法222023rlrlRllABCPrv列出细杆质心运动方程列出细杆质心运动方程NfNmaC切fmaC法不打滑的条件不打滑的条件:Nf即即RlrrlaaNfCC222)3(切法由于由于lr 0所以所以Rl 4例例8. 两个均质圆盘转动惯量分别为两个均质圆盘转动惯量分别为1J和和2J开始时第一个圆盘以开始时第一个圆盘以10的角速度旋转，的角速度旋转，第二个圆盘静止，然后使两盘水平轴接近，第二个圆盘静止，然
9、后使两盘水平轴接近，求：当接触点处无相对滑动时，两圆盘的角速度求：当接触点处无相对滑动时，两圆盘的角速度101r2r解：解： 受力分析：受力分析：1r2r101Ngm1ffgm22N1o2o无竖直方向上的运动无竖直方向上的运动gmfN11gmfN22以以O1点为参考点，点为参考点，计算系统的外力矩：计算系统的外力矩：)(2122rrgmNM0)(21rrf作用在系统上的外力矩不为作用在系统上的外力矩不为0，故系统的角动量不守恒。，故系统的角动量不守恒。只能用转动定律做此题。只能用转动定律做此题。对于盘对于盘1：111frdtdJ阻力矩阻力矩111JfrdtddtJfrd1111r2r101Ng
10、m1ffgm22N1o2odtJfrd111两边积分两边积分tfdtJrd0111110tfdtJr011110对于盘对于盘2：222frdtdJ222JfrdtddtJfrd2221r2r101Ngm1ffgm22N1o2odtJfrd222两边积分两边积分tfdtJrd022022tfdtJr0222于是有：于是有：22211011)(rJrJ不打滑条件：不打滑条件：2211rr接触点处两盘的线速度相等接触点处两盘的线速度相等1r2r101Ngm1ffgm22N1o2o可解得：可解得：212221102211rJrJrJ212221102112rJrJrrJ例例9: 质量为质量为2m,半径
11、为半径为R的均质圆盘形滑轮的均质圆盘形滑轮,挂质量分别为挂质量分别为m和和2m的物体的物体, 绳与滑轮之间的摩擦系数为绳与滑轮之间的摩擦系数为,问问为何值时为何值时绳与滑轮之间无相对滑动绳与滑轮之间无相对滑动.解解: 受力分析受力分析:mg1Tmg22Tm2m2T1T列方程列方程:mamgT1maTmg222:m:2m滑轮滑轮:122221RTRTmR不打滑的条件不打滑的条件:Ra mg2mg1T2T2T1TaamamgT1maTmg222122221RTRTmRRa 由以上四式解得由以上四式解得:mgT451mgT2322T1T2T1TdTT TdfddN绳中的张力分析绳中的张力分析任取线元
12、任取线元Rddl 此线元切向运动方程为：此线元切向运动方程为：2d2d2cos)(2cosddTTdfdT此线元法向运动方程为：此线元法向运动方程为：2sin)(2sinddTTdTdN2cos)(2cosddTTdfdT2sin)(2sinddTTdTdN利用近似：利用近似：12cosd22sindd忽略二阶无穷小量，得到：忽略二阶无穷小量，得到：dNdfdTdN TddN 两式相除得到：两式相除得到：dTdN TddN 两式相除得到：两式相除得到：TdTd解此方程得到：解此方程得到：eTT1当当2TT 时，时，于是得到摩擦系数为：于是得到摩擦系数为：56ln1例例10 均匀圆柱体均匀圆柱体
13、,从静止沿斜面下滑从静止沿斜面下滑,圆柱与斜面间摩擦系圆柱与斜面间摩擦系数为数为,当当摩擦系数为某一临界值时摩擦系数为某一临界值时,圆柱体恰纯滚动地圆柱体恰纯滚动地向向下滚动下滚动, 求此求此临界值临界值.解解:cossinmgmgmacRmgmRcos212质心运动方程质心运动方程mgfcaN转动定理转动定理纯滚动条件纯滚动条件:Rac解得解得:tan31例例11. 一个质量为一个质量为m 的卫星围绕着质量为的卫星围绕着质量为M,半径为半径为R的大星体作半径为的大星体作半径为 2R的圆周运动的圆周运动.从远处飞来一个从远处飞来一个质量为质量为2m, 速度为速度为RGMv 的小流星的小流星.恰
14、好沿着恰好沿着卫星运动方向追上卫星并和卫星发生激烈碰撞卫星运动方向追上卫星并和卫星发生激烈碰撞,结成结成新的星体新的星体,作用时间非常短作用时间非常短.假定碰撞前后位置的变化假定碰撞前后位置的变化可以忽略不计可以忽略不计, 新星的速度仍沿原来方向新星的速度仍沿原来方向.（1）试用计算表明新星的轨道类型）试用计算表明新星的轨道类型,算出轨道的偏心率算出轨道的偏心率.（2）如果小流星沿着卫星速度的反方向发生如上的碰撞）如果小流星沿着卫星速度的反方向发生如上的碰撞给出新星体能否与大星体给出新星体能否与大星体M碰撞的判断。碰撞的判断。（1）解）解: 轨道类型与新星轨道类型与新星的机械能的正负有关的机械
15、能的正负有关.如果动能大于势能如果动能大于势能,新星可以摆脱地球的新星可以摆脱地球的吸引吸引,轨道成为非闭合的轨道成为非闭合的如果动能小于于势能如果动能小于于势能,新星不能摆脱地球的新星不能摆脱地球的吸引吸引,轨道成为闭合的轨道成为闭合的,即椭圆轨道即椭圆轨道.可以用新星的机械可以用新星的机械能的正负来判断轨道的类型能的正负来判断轨道的类型. 偏心率的定义为偏心率的定义为近远近远rrrrevvab为了计算碰后的机械能为了计算碰后的机械能,首先要计算出碰后的速度首先要计算出碰后的速度.设碰后新星速度为设碰后新星速度为v碰撞过程动量守恒碰撞过程动量守恒.碰前卫星的运动方程为碰前卫星的运动方程为22
16、1)2(2RMmGRvm求得碰前卫星的运动速度求得碰前卫星的运动速度:RGMv21碰撞过程动量守恒碰撞过程动量守恒vmmvmmv2)2(1求得碰后新星的运动速度求得碰后新星的运动速度:RGMv23122此时的位置相当于在新星运动的近地点此时的位置相当于在新星运动的近地点.我们计算新星近地点的机械能我们计算新星近地点的机械能RmMGvmE2)3 (3212说明新星作椭圆轨道运动说明新星作椭圆轨道运动.下面我们讨论一下新星的机械能与远地点距离关系下面我们讨论一下新星的机械能与远地点距离关系新星运动角动量守恒新星运动角动量守恒vab远r远远vmrvmR3)3(2GMRrvrRv231222远远远得到
17、得到带入远地点的机械能表达式带入远地点的机械能表达式0)3 (36924RmGMvab远r远远rmMGvmE)3()3(212此能量应等于新星在近此能量应等于新星在近地点的机械能地点的机械能远远rmMGrGMRmE)3(92122)3(2122RmGM)3 (36924解得解得经化简得到经化简得到0362491912222RrrR远远RRr8 . 82491811228124912远偏心率偏心率63. 0近远近远rrrre（2）解：反方向碰撞，设碰后新星体的速度为）解：反方向碰撞，设碰后新星体的速度为v碰前卫星的速度碰前卫星的速度:RGMv21质量为质量为m碰前流星的速度碰前流星的速度:RGM
18、v2质量为质量为2m碰撞过程动量守恒碰撞过程动量守恒vmmvmmv2)2(1求得碰后新星的运动速度求得碰后新星的运动速度:RGMv23122此时的位置相当于在新星运动的远地点此时的位置相当于在新星运动的远地点.我们计算新星远地点的机械能我们计算新星远地点的机械能RmMGvmE2)3 (3212说明新星作椭圆轨道运动说明新星作椭圆轨道运动.新星运动角动量守恒新星运动角动量守恒近近vmrvmR3)3(2GMRrvrRv231222近近近得到得到带入近地点的机械能表达式带入近地点的机械能表达式0)3 (36924RmGMvv近近rmMGvmE)3()3(212此能量应等于新星在远此能量应等于新星在远
19、地点的机械能地点的机械能近近rmMGrGMRmE)3(92122)3(2122RmGM)3 (36924解得解得经化简得到经化简得到0362491912222RrrR近近RRRr4 . 02491811228124912近肯定与大星体相碰。肯定与大星体相碰。例例12. 半径为半径为R的圆环绕铅垂的直径轴以的圆环绕铅垂的直径轴以 的角速度旋转的角速度旋转一细杆长为一细杆长为RL2, 其两端约束在圆环上可作无摩擦其两端约束在圆环上可作无摩擦的滑动的滑动,细杆的位置用细杆的位置用OC与铅垂线的夹角与铅垂线的夹角 表示，表示，C为为细杆的质心试求细杆在圆环上的平衡位置，并分析细杆的质心试求细杆在圆环上
20、的平衡位置，并分析平衡的稳定性平衡的稳定性COR解：以圆环为参考系，以细杆解：以圆环为参考系，以细杆质心位于轴上时作为重力势能质心位于轴上时作为重力势能的的0点，任意位置时重力势能为点，任意位置时重力势能为x045)cos1 (45cos0mgRE重)cos1 (2mgRCORx045在细杆上任取线元在细杆上任取线元dl所受的惯性力（离心力）为所受的惯性力（离心力）为dlxxdlLmdf2离此力作功与路径无关，可用势能减少此力作功与路径无关，可用势能减少量描述设轴上的离心势能为，量描述设轴上的离心势能为，dl处的离心势能处的离心势能设为设为离dE，应有，应有离离dExddfx00 xdxdlL
21、mdEx02离dlxLm2221CORx045dlxcos)4sin(lRxdllRLmdE22cos)4sin(2离离心势能为：离心势能为：dllRLmEL220cos)4sin(2离222221cos32141轴JmR系杆总的有效势能系杆总的有效势能222cos32141)cos1 (2mRmgREp离重EEEp222cos32141)cos1 (2mRmgREpCO平衡条件：平衡条件：0ddEp稳定平衡条件：稳定平衡条件：022dEdp非稳定平衡条件：非稳定平衡条件：022dEdp由由0ddEp求出三个平衡位置：求出三个平衡位置：Rg2123cos, 0为讨论平衡位置的稳定性，计算二阶导
22、数为讨论平衡位置的稳定性，计算二阶导数)sin(cos31cos21222222mRmgRdEdp（）（） 时时222312RgmRdEdp当当Rg232时，时，022dEdppE取极小值，属稳定平衡取极小值，属稳定平衡当当Rg232时，时，022dEdppE取极大值，属不稳定平衡取极大值，属不稳定平衡CO（）（） 时时0312222RgmRdEdppE取极大值，属不稳定平衡取极大值，属不稳定平衡CO（）当（）当Rg2123cos时时224222233gRmdEdp因因1cos，即，即1232Rg，或，或224233gR所以当所以当Rg2123cos时，时，定属于稳定平衡定属于稳定平衡CO02
23、2dEdp例例13. 水平弹簧振子，弹簧的劲度系数为水平弹簧振子，弹簧的劲度系数为k，振子的，振子的质量为质量为m，水平阻尼力的大小与振子的运动速度成，水平阻尼力的大小与振子的运动速度成正比比例系数为正比比例系数为，求形成低阻尼振动的条件。，求形成低阻尼振动的条件。解：据牛顿第二定律，得到解：据牛顿第二定律，得到dtdxkxdtxdm22或或) 1 (22dtdxmxmkdtxd设特解为设特解为tAex带入（带入（1）式，得到）式，得到ttteAmAemkeA)(2mmk2mmk2得到得到mkmm422两个特解两个特解tmkmtmtAeAexx4212tmkmtmtAeAexx4222低阻尼（
24、欠阻尼）情况，振子作衰减振荡运动，低阻尼（欠阻尼）情况，振子作衰减振荡运动，e 指数的变量必须是复数。需满足条件指数的变量必须是复数。需满足条件mkm42即：即：kmv2xtabctmkmtmtmkmtmBeAexxx42422122a.低阻尼（欠阻尼）：低阻尼（欠阻尼）：mkm42b.临界阻尼：临界阻尼：mkm42c.高阻尼（过阻尼）：高阻尼（过阻尼）：mkm42例例14. 两弹性系数都是两弹性系数都是k的弹簧它们与质量为的弹簧它们与质量为m两固定端之间的距离为两固定端之间的距离为L，等于两弹簧原长的和，等于两弹簧原长的和，微微波动一下滑块，使其作微小的微微波动一下滑块，使其作微小的振动运动
25、，求振动圆频率。振动运动，求振动圆频率。的绝缘滑块连接，滑块内植入一电量为的绝缘滑块连接，滑块内植入一电量为Q的正点电荷的正点电荷两固定端处各放一电量为两固定端处各放一电量为q的正点电荷的正点电荷qqQm,解：解：当位移为当位移为x时，滑块受力时，滑块受力x2020)2(4)2(42xLqQxLqQkxF滑块运动方程滑块运动方程202022)2(4)2(42xLqQxLqQkxdtxdm202022)2(4)2(42xLqQxLqQkxdtxdm由于由于Lx ，对力作近似处理，对力作近似处理2020)2(4)2(42xLqQxLqQkxF22022024242xLxLqQxLxLqQkxLxLxLqQkx411411220LxLxLqQkxF411411220利用利用.1112ttt.1112ttt得到得到LxLxLqQkxF4141220滑块振动方程变为滑块振动方程变为xLqQkdtxdm302282振动圆频率为振动圆频率为30821LqQkm