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1、机械振动机械振动一、简谐振动的定义一、简谐振动的定义 1、定义：物体运动时，如果离开平衡位置的位、定义：物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或角位移）随时间按余弦（或正弦）函数的移（或角位移）随时间按余弦（或正弦）函数的规律变化，称这个物体在作规律变化，称这个物体在作简谐振动简谐振动或或简谐运动简谐运动。 2、两个特例：、两个特例：“弹簧振子弹簧振子”和和“单单摆摆” 。弹弹簧簧振振子子单单摆摆3、 相位相位（位相，周相位相，周相）：）：反映质点的运动状态。反映质点的运动状态。t =0 时位相值时位相值 ，称，称初相初相， ( t + )是是 t 时刻的相位，时刻的相位，由振动系统的由振动系统
2、的初始状态初始状态决定。决定。为方便计，规定：为方便计，规定：)20( 或或)cos( tAx注注：角频率：角频率就就是相位的变化速率。是相位的变化速率。vx 00arctan()4、两个同频率简谐振动的相位差：、两个同频率简谐振动的相位差：111cos()xAt 222cos()xAt 它们的它们的相差相差为：为：)()(12 tt12 （也可写成（也可写成 ）21 ),(2为为整整若若kk 两质点振动步调相同两质点振动步调相同 (同相同相),()12(为为整整若若kk 两质点振动步调相反两质点振动步调相反 (反相反相),012 若若质点质点2 比质点比质点1 相位相位超前超前 ,012 若
3、若质点质点2 比质点比质点1 相位相位滞后滞后 注注1：超前超前与与滞后滞后是相对的。是相对的。注注2：通常将：通常将 限制在限制在。 三、三、 简谐振动的速度和加速度简谐振动的速度和加速度1、位移、位移:)cos( tAx2、速度、速度:dsin()dxvAtt )2cos( tA3、 加速度加速度:)cos(dd222 tAtxa)cos(2 tAmaxvA Aa2max 为为速度振幅速度振幅；速度比位移的相位；速度比位移的相位超前超前为为加速度振幅加速度振幅；加速度与位移；加速度与位移反相反相。（1） x、v、a 周期均为周期均为T。（2）v比比 x 超前超前/2， a与与 x 反相。反
4、相。x2 2 xa2 都是简谐振动都是简谐振动txmaxxA tvmaxvA ta2maxaA (x-t 曲线叫振动曲线曲线叫振动曲线) 2、t =0=0时，时， 与与x 轴正向夹角为轴正向夹角为 。A)cos( tAxO Ox 1、矢量矢量 （模与振幅等值（模与振幅等值) )以匀角以匀角速度速度( (与角频率等值与角频率等值) )逆时针逆时针旋转。旋转。A AM( (t =0)=0)x0 0 xAM(t)t 这样这样, ,矢量矢量逆时针逆时针匀角速度旋转过程中，其匀角速度旋转过程中，其端点端点M在在x 轴上的投影点坐标为：轴上的投影点坐标为： x = A cos (t + )恰为恰为x 轴上
5、简谐振动。轴上简谐振动。 3、t = =t 时，时， 与与x 轴正向夹角为轴正向夹角为( (t + ) )。A四、四、 简谐振动的旋转矢量表示法简谐振动的旋转矢量表示法4、 旋转矢量法的应用旋转矢量法的应用已知振动曲线画旋转矢已知振动曲线画旋转矢 量在任意时刻的位置：量在任意时刻的位置：xtx利用旋转矢量制利用旋转矢量制 作振动曲线：作振动曲线：（1）画图）画图（2）求振动初相）求振动初相（3）求两个简谐振动的相位差）求两个简谐振动的相位差（4）两个简谐振动的合成问题）两个简谐振动的合成问题五、简谐振动的能量五、简谐振动的能量2221d112d22kpxEEEmAkxkAt Ek 、Ep 周期
6、为周期为T/2214kpEEkA xoA- ATttT/2EPEkEAkEpE212EkA Aox以水平弹簧以水平弹簧振子为例：振子为例：六、阻尼振动六、阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振因受阻力作用振幅不断减小的振动叫阻尼振动。因受阻力作用振幅不断减小的振动叫阻尼振动。（1）阻尼振动的动力学方程）阻尼振动的动力学方程Fkx 回回复复力力：由由牛牛二二定定律律：20,2 ,kmm 令令2202dd20ddxxxtt 动力学方程动力学方程:其解按其解按大小有三种情况。大小有三种情况。ddxfvt 阻阻力力：（：阻力系数）：阻力系数）2222dddd,0ddddxxxxkmkxxtmtmtt 称
7、为阻尼因子。称为阻尼因子。1、阻尼振动、阻尼振动振幅按指数规律衰减的振动，不是周期振幅按指数规律衰减的振动，不是周期运动，是往复运动。运动，是往复运动。（2）阻尼振动的运动学特征）阻尼振动的运动学特征xttteCeCx)(2)(1202202 xt0无往复性无往复性, 经较长时间单调返回平衡位置。经较长时间单调返回平衡位置。 tetCCx )(21无往复性，能很快地返回平衡位置。无往复性，能很快地返回平衡位置。 0220),cos( tAext=0 0 （过阻尼状态，如放在沥青中）（过阻尼状态，如放在沥青中）例例4.一个弹簧振子的质量为一个弹簧振子的质量为1.0kg，自由振动的本，自由振动的本
8、征频率为征频率为2Hz ，当存在某个大小与振子速率成正，当存在某个大小与振子速率成正比的阻尼力时，恰好处于临界阻尼振动状态，则比的阻尼力时，恰好处于临界阻尼振动状态，则弹簧的劲度系数弹簧的劲度系数K= N/m，阻尼力大小与，阻尼力大小与速率的比例系数速率的比例系数 = kg/s。解：解：已知已知m=1.0kg，0 0=2Hz，0 临界阻尼振动条件临界阻尼振动条件mK 2022020)22(0 . 1)2( vmmK158()N m mKm2220 2 2 Km)( 1 .2580 . 1162skg (十七届十七届.一一.4)例例5.水平弹簧振子系统中，弹簧的劲度系数为水平弹簧振子系统中，弹簧
9、的劲度系数为k，振子质量为振子质量为m，水平运动阻力大小与振子运动速率，水平运动阻力大小与振子运动速率成正比，比例系数为成正比，比例系数为 ，振子的运动方程，振子的运动方程_，形成低阻尼振动的条件是形成低阻尼振动的条件是_。解：解：将牛顿第二定律用于振子，得将牛顿第二定律用于振子，得kxxmx 0kxxxmm 202,kmm 令令有有(2001.一一.1)2020 xxx 形成低阻尼振动的条件为：形成低阻尼振动的条件为：202 2()2kmm 2 mk 2、 受迫振动受迫振动系统受力：系统受力： 弹性力弹性力 -kx 振动方程：振动方程：周期性策动力周期性策动力 F=F0cos t ：在外来策
10、动力作用下的振动：在外来策动力作用下的振动22ddddxxmkxCFtt 22002dd2cosddxxxfttt 000,2FkCfmmm （）阻尼力阻尼力 ddxCt 稳态解稳态解: x=Bcos( t+ )特点特点:稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化.(1)频率频率: 等于策动力的频率等于策动力的频率 (2)振幅振幅:(3)初相初相:022222 1/20()4fB 2202tg 例例6.固有频率为固有频率为0的弹簧振子，在阻尼很小的情的弹簧振子，在阻尼很小的情况下，受到频率为况下，受到频率为20的余弦策动力作用，作受迫的余弦策动力作用，作受迫振动并
11、达到稳定状态，振幅为振动并达到稳定状态，振幅为A。若在振子经平衡。若在振子经平衡位置时撤去策动力，则自由振动的振幅位置时撤去策动力，则自由振动的振幅A与与A的关的关系是系是_.稳定振动时振子频率即策动力频率，圆频率为稳定振动时振子频率即策动力频率，圆频率为 2 (2)，解：解：A=2A经平衡位置时速度最大为经平衡位置时速度最大为: V=。撤去策动力后，速度仍为撤去策动力后，速度仍为V，做自由振动，其圆频，做自由振动，其圆频率率 0，仍有关系，仍有关系V=AA=A, A=/A=2A(1996.一一.2)3、共振、共振在一定条件下在一定条件下, 振幅出现振幅出现 极大值极大值,出现剧烈振动的现象。
12、出现剧烈振动的现象。共振频率共振频率 :共振振幅共振振幅 :（1） 位移共振位移共振d0dB 22r02 0r2202fB 022222 1/20()4fB （2）速度共振）速度共振速度共振时，速度与策动力同相，一周期内策动力速度共振时，速度与策动力同相，一周期内策动力总作正功，此时向系统输入的能量最大。总作正功，此时向系统输入的能量最大。 （参考教材参考教材P161-162） cos2212221AAAAA七、七、 一维一维简谐振动的合成简谐振动的合成1、 同方向、同频率同方向、同频率的两个简谐振动的合成的两个简谐振动的合成2A1A21xyoAx11cosA22cosA11sinA22sin
13、A22112211coscossinsinarctan AAAA 111cos()xAt 222cos()xAt x = x1+ x2=A cos( t+ )两种特殊情况：两种特殊情况：（1）,2, 1,0 212 kk 12,AAA 若若A1=A2，A = 2A1，（2）若若A1 = A2，A = 0。称为。称为干涉相消干涉相消。12|,AAA 称为称为干涉相长干涉相长。 ,2, 1,0 )12(12 kk 2、同方向、不同频率同方向、不同频率的两个简谐振动的合成的两个简谐振动的合成 拍拍 11cos()xAt 22cos()xAt 为简化问题，设两谐振为简化问题，设两谐振动的动的振幅振幅和
14、和相位相位都都相等相等。x = x1+ x221212cos()cos()22Att 合振动合振动不是简不是简谐振动。谐振动。当当 2 1时时， 2- 1 2+ 10( )cos()xA tt 随随缓变；缓变；随随快变。快变。合振动可看作振幅缓变的合振动可看作振幅缓变的“简谐振动简谐振动”。21cos()cos()2tt 210( )2cos()2A tAt xtx2tx1t 拍拍拍频拍频 : 单位时间内强弱变化的次数。单位时间内强弱变化的次数。合振动的强弱合振动的强弱A02(t)随随 t 变化的现象拍变化的现象拍(beat)设拍周期为设拍周期为Tb实例：双簧口琴、双簧管实例：双簧口琴、双簧管
15、(oboe)、钢琴、钢琴(piano)调音调音(钢琴与钢琴与标准音叉声波形成拍标准音叉声波形成拍拍频越小，说明钢琴的音越准拍频越小，说明钢琴的音越准)。21212 cos()cos() 22xAtt 210( )2cos()2A tAt 2121b2 cos()2 cos22AtTAt 21b2T b212T 21b1/2T 21 3、 两个同频率两个同频率相互垂直相互垂直的的简谐振动的合成简谐振动的合成x=A1cos( t+ 1)y=A2cos( t+ 2)消去时间，消去时间，22221212212122cos()sin ()xyxyAAA A 得合运动的轨迹方程：得合运动的轨迹方程：（1）
16、合运动一般是在）合运动一般是在 2A1 ( x向向 )、2A2 ( y向向 ) 范围内的范围内的一个椭圆；一个椭圆；（2）椭圆的性质）椭圆的性质(方位、长短方位、长短轴、左右旋轴、左右旋 )在在 A1 、A2确定之确定之后后, 主要决定于主要决定于 = 2- 1。 = 5 /4 = 3 /2 = 7 /4 = 0 = = /2 = 3 /4Q = /4P.22221212212122cos()sin ()xyxyAAA A 222xyxy22xyxy2cossinxyxyAAA A设振幅设振幅Ax=Ay，位相差，位相差 ,.,k,kyx210212 则上式表示的合振动就是圆周运动：则上式表示的
17、合振动就是圆周运动：222xyA例例7. 两个线振动合成一个圆运动的条件是两个线振动合成一个圆运动的条件是(1984.二二.2)答案：答案：同频率同频率；同振幅同振幅；两振动互相垂直两振动互相垂直；位相差为位相差为k=0，1，2， 212k 4、两个不同频率相互垂直两个不同频率相互垂直简谐振动的合成简谐振动的合成（1）两分振动频率相差很小）两分振动频率相差很小 = ( 2- 1) t + ( 2- 1)可看作两频率相等而可看作两频率相等而位相差位相差随随缓慢变化，缓慢变化，合运动轨迹将按上页图依次缓慢变化。合运动轨迹将按上页图依次缓慢变化。 轨迹称为李萨如图形轨迹称为李萨如图形(Lissajo
18、us figures)（2）两振动的频率相差较大，但成）两振动的频率相差较大，但成整数比整数比应用：应用：测频率测频率已知一个振动的频率，可以根已知一个振动的频率，可以根据李萨如图形求出另一个振动的频率。据李萨如图形求出另一个振动的频率。x:y y- x=0机械波机械波一、机械波的基本特征一、机械波的基本特征1、 机械波机械波产生条件产生条件:（1）波源波源（2）弹性媒质弹性媒质 由以弹性力互相联系由以弹性力互相联系着的质点组成。着的质点组成。产生振动。产生振动。传播振动。传播振动。 （1）波动中每一个质点均在其平衡位置附近振动，）波动中每一个质点均在其平衡位置附近振动，不不“随波逐流随波逐流
19、”，传播的是振动状态传播的是振动状态。2、 波动的特征：波动的特征： （2）波动中，传播方向上各质点的振动依次滞后，）波动中，传播方向上各质点的振动依次滞后，即即后动后动的点在相上总的点在相上总滞后于滞后于先动先动的点。各点的振动频率的点。各点的振动频率均与波源的相同。均与波源的相同。 （3）波源作一次全振动，将传出一个完整的波形。）波源作一次全振动，将传出一个完整的波形。（2）波振面波振面 由振动相位相同的点联成的面由振动相位相同的点联成的面（同相面同相面），），简称简称波面波面。3、波的几何描述、波的几何描述（1）波射线波射线 表示波的传播方向的射线。简称表示波的传播方向的射线。简称波线波
20、线。某时刻处在最前面的波面，称为某时刻处在最前面的波面，称为波前波前。平面波平面波波面波面波波线线 球面波球面波波面波面波线波线（3）波形曲线：表示任一时刻同一波线上各质元相对）波形曲线：表示任一时刻同一波线上各质元相对于各自平衡位置的分布情况曲线。于各自平衡位置的分布情况曲线。yox4、波的特征量、波的特征量 u波速、波长与波频波速、波长与波频波速由介质的性质决定，波速由介质的性质决定， 波频由波源的振动频率决波频由波源的振动频率决定定（波源、观测者均不动时波源、观测者均不动时） 。二、二、 平面简谐行波平面简谐行波 写出波线上某点写出波线上某点x0 的振动方程；的振动方程； 建立坐标系；建
21、立坐标系； 在波线上任取一点在波线上任取一点x，并写出该点处质点的振动相并写出该点处质点的振动相对于对于x0 处质点落后或超前的时间：处质点落后或超前的时间： 将将x0 处质点的振动表达式中的处质点的振动表达式中的 t 加上或减去加上或减去 t 即即可。可。uxxt)(0 即从振动落后或超前的角度考虑问题并求得波动方程。即从振动落后或超前的角度考虑问题并求得波动方程。2x ux tT 2 或者：在相位里加上或减去或者：在相位里加上或减去 即可。即可。1、波函数波函数：)(cos uxtAy（1）建立）建立一维平面简谐波波函数一维平面简谐波波函数的一般步骤：的一般步骤：（2）波函数的意义：）波函
22、数的意义： x 一定，一定，y t 给给出出 x 点的点的振动方程振动方程。 t 一定，一定，y x 给给出出 t 时刻空间各点位移时刻空间各点位移分布，即分布，即波形曲线波形曲线。 一般地一般地 y =y (x, t ) 表波线上各质点在不同时表波线上各质点在不同时刻的位移，刻的位移，反映了波形的反映了波形的传播传播。y ( x+ x , t + t ) = y (x,t) , 其中其中 x = u t 。 yTt0振动曲线振动曲线 x 一定一定 x y0波形曲线波形曲线 t 一定一定xx y0y(x,t)uy(x+x,t+t)2、 波的能量波的能量 波的强度波的强度（1）波动能量的特点）波
23、动能量的特点 波动质元波动质元中总能量：中总能量：W= Wk + Wp const ，随时随时间间 t 作周期性的变化。作周期性的变化。 对某一质元，其对某一质元，其动能动能与与势能势能等值同相。等值同相。同时达最大，同时达最大，同时为同时为0 。 质元经过其平衡位置时具有最大的振动速度质元经过其平衡位置时具有最大的振动速度 , 同时其形变也最大，因而动能、势能最大；质元在最大同时其形变也最大，因而动能、势能最大；质元在最大位移时，动能、势能均为零。位移时，动能、势能均为零。 波的实质是能量的传播过程，且波的能量是以波的波的实质是能量的传播过程，且波的能量是以波的传播速度和方向传播的。传播速度
24、和方向传播的。)(sin222uxtAVWWWpk 例例8.某时刻的弦波如图示，此时图中用实线示出的某时刻的弦波如图示，此时图中用实线示出的弦段中，振动动能最大的部位在弦段中，振动动能最大的部位在_处，振动处，振动势能最大的部位在势能最大的部位在_处。处。ABC解：因解：因B处的拉伸最甚，故处的拉伸最甚，故B处的振动势能最大处的振动势能最大（第二空第二空），本题是行波（不是驻波），而行波），本题是行波（不是驻波），而行波的振动动能恒等于振动势能，故振动动能的最大的振动动能恒等于振动势能，故振动动能的最大部位也在部位也在B处（处（第一空第一空） 波动传播时，介质单位体波动传播时，介质单位体 积内
25、的总积内的总机械能。机械能。（2）能量密度：）能量密度：)(sin222uxtAVWw （3）平均能量密度（对时间平均）平均能量密度（对时间平均)221 2 2Aw （适于各种弹性波适于各种弹性波）22A （特征特征） 单位时间内垂直通过某一截面的能量单位时间内垂直通过某一截面的能量, , 称称为波通过为波通过该截面的能流该截面的能流，或叫，或叫能通量能通量。（4）能流能流P :wSutWP )(sin222uxtASu 在一个周期内能流的平均值称为在一个周期内能流的平均值称为平均能流平均能流:wSuP 通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能流通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能流称为称
26、为平均能流密度平均能流密度，通常称为，通常称为能流密度能流密度或或波的强度波的强度。wuSPI uAI2221 （5） 能流密度（波的强度）能流密度（波的强度）uA2221 对无吸收媒质：波传播时振幅的变化对无吸收媒质：波传播时振幅的变化 平面波：平面波：A1= A2 ； 球面波：球面波： A1 r1 = A2 r23、声波，次声波和超声波（、声波，次声波和超声波（参考教材参考教材P183）例例9.声波是声波是_(填填“横波横波”或或“纵波纵波”).若声波若声波波源是置于空气中的一个球面物，它发出的球面波源是置于空气中的一个球面物，它发出的球面简谐波在与球心相距简谐波在与球心相距 r0处的振动
27、振幅为处的振动振幅为A0，不计空，不计空气对声波能量吸收等引起的损耗，则在气对声波能量吸收等引起的损耗，则在 rr0 处声处声波振动振幅为波振动振幅为A=_。声波是声波是纵波纵波解：解：2AI 波的强度波的强度(能流密度能流密度)r0处的平均能流密度为处的平均能流密度为200AkI r处的平均能流密度为处的平均能流密度为2AkI 不计能量的损耗，有不计能量的损耗，有IrIr202044 00ArrA (2001.一一.2)4、惠更斯原理、惠更斯原理（1）原理内容）原理内容:介质中波传到的各点介质中波传到的各点, 都可看作是发射都可看作是发射子波的波源子波的波源 (点波源点波源)。在以后的任一时
28、刻。在以后的任一时刻, 这些子波面的这些子波面的包络面包络面（包迹）（包迹）就是该时刻的波前就是该时刻的波前 。 （2） 应用：应用： 已知某时刻的波振面，用作已知某时刻的波振面，用作图法确定下一时刻的波振面。图法确定下一时刻的波振面。tt+tutt+tt 用惠更斯原理作图法解释波用惠更斯原理作图法解释波的衍射现象的衍射现象 。 用惠更斯原理作图法解释波用惠更斯原理作图法解释波的反射和折射规律。（的反射和折射规律。（参考教材参考教材P187-188）5、波的干涉、波的干涉（1）波的叠加原理）波的叠加原理 波动波动互不相干互不相干地按自身的方式传播，在波的地按自身的方式传播，在波的交汇交汇处，质
29、元的振动是相交汇的各个波处，质元的振动是相交汇的各个波单独传播单独传播时激发的时激发的振动之和。振动之和。同频率、同振动方向、同频率、同振动方向、 相位差恒定。相位差恒定。（2） 相干条件：相干条件：（3）干涉规律）干涉规律 r1r2相干波源相干波源：)cos(101010 tAy两列相干波在两列相干波在P点引起的振动点引起的振动 S1 S2 P)2 cos(10111 rtAy)2 cos(20222 rtAy)cos(202020 tAy叠加结果叠加结果：) cos(21 tAyyy cos22122212AAAAA 1210202)(rr cos22121IIIII 干涉加强的条件：干涉
30、加强的条件：,.3,2,1 ,0 ,2 kk ,21maxAAAA 2121max2IIIIII 干涉减弱的条件：干涉减弱的条件：,.3 , 2 , 1 , 0 ,)12( kk |,|21minAAAA 2121min2IIIIII 10= 20 时，时，.2 , 1 , 0,12 kkrr .2 , 1 , 0,2)12(12 kkrr 相长干涉相长干涉相消干涉相消干涉三、驻波三、驻波1、驻波的形成、驻波的形成：两列两列振幅相同振幅相同的的相干波在同一直线相干波在同一直线上相向传播上相向传播时交汇处产生的干涉。时交汇处产生的干涉。2、驻波的方程、驻波的方程22coscosyAxt 3、驻波
31、的特点、驻波的特点（2）频率特点：）频率特点：（3）振幅特点：）振幅特点：（4）相位特点：）相位特点：各质点同频率各质点同频率同一段振动同相同一段振动同相相邻段振动反相相邻段振动反相两相邻波腹（节）间距为两相邻波腹（节）间距为 /2相邻的波腹与波节间距为相邻的波腹与波节间距为/4（5）能量特点：）能量特点： 能量不传播能量不传播（1）驻波的波形：）驻波的波形： 不随时间改变不随时间改变4、实际驻波的产生、实际驻波的产生固定（封闭）端固定（封闭）端波节波节自由（敞开）端自由（敞开）端波腹波腹形成驻波时形成驻波时弦线振动弦线振动空气柱振动空气柱振动两个特例两个特例5、半波损失、半波损失（对（对入射
32、）入射）（1）波密）波密波疏，波疏，反射点反射点无相位突变无相位突变；（2）波）波疏疏波波密密，反射点反射点相位突变相位突变 . “半波损失半波损失”)3 . 2 , 1(2 nnL Lunu2 弦的弦的固有频率固有频率（本征频率本征频率）（3）反射波及其描述）反射波及其描述波腹波腹相位不变相位不变波疏媒质波疏媒质波密媒质波密媒质x驻波驻波波节波节驻波驻波相位突变相位突变波疏媒质波疏媒质波密媒质波密媒质x2 入射波波入射波波形延拓，形延拓，“砍砍”掉半个波形后掉半个波形后平移至分界面平移至分界面处再翻折即得处再翻折即得到反射波波形到反射波波形 入射波波入射波波形延拓，再翻形延拓，再翻折即得到反
33、射折即得到反射波波形波波形（3）反射波及其描述）反射波及其描述例例10.如图所示，在坐标原点如图所示，在坐标原点o处有一波源，它所激处有一波源，它所激发的振动表达式为发的振动表达式为 yo=cos2 t 。该振动以平面波。该振动以平面波形式沿形式沿x轴正方向传播，在距波源轴正方向传播，在距波源d处有一平面将处有一平面将波全反射回来（反射时无半波损失），则在坐标波全反射回来（反射时无半波损失），则在坐标x处反射波的表达式为处反射波的表达式为_.(1984.二二.1)2(2(4) xdvtcosAy )2(2(3) xdvtcosAy )(2(2) xdvtcosAy )(2(1) xdvtcos
34、Ay xxdoPB解：解：xxdoPB在波源坐标原点在波源坐标原点o处处的振动方程为的振动方程为0cos2yAvt 入射波使入射波使B点振动的振动方程为点振动的振动方程为0dcos2()uyAv t 上式亦为反射波使上式亦为反射波使B点振动的振动方程。点振动的振动方程。反射波使反射波使P点振动的振动方程为：点振动的振动方程为：0ddxcos2()uuyAv t 答案：答案：(3)例例11.在一根线密度为在一根线密度为=1g/m的弦上形成驻波，弦的弦上形成驻波，弦的张力为的张力为T=10N，若入射波与反射波分别为，若入射波与反射波分别为12cos,cosuuyyxAtxAt 波的频率为波的频率为
35、=50Hz,则在则在t=1/3s时的波形曲线为时的波形曲线为( )(1987.一一.1)例例11.在一根线密度为在一根线密度为=1g/m的弦上形成驻波，弦的弦上形成驻波，弦的张力为的张力为T=10N，若入射波与反射波分别为，若入射波与反射波分别为 uytcosAx,uytcosAx21 波的频率为波的频率为=50Hz,则在则在t=1/3s时的波形曲线为时的波形曲线为( )(1987.一一.1)解：解： 驻波驻波 ycostcosAxxx2221 u100Tms u100250m 1100,t233tstycosAycoscosAx 31002此此时时正与图形正与图形()相符。相符。例例12.
36、驻波可看作两列行波叠加而成，下图中圆点驻波可看作两列行波叠加而成，下图中圆点（）代表一维驻波的波节位置，叉（）代表其）代表一维驻波的波节位置，叉（）代表其波腹位置。若已知一列行波在不同时刻的波形图波腹位置。若已知一列行波在不同时刻的波形图依时序图（依时序图（a）、（）、（b）、（）、（c）所示。试在各图中）所示。试在各图中画出另一列行波在相应时刻的波形图（以虚线表画出另一列行波在相应时刻的波形图（以虚线表示）示）(1995.一一.8)解：两列行波叠加形成驻波时，它们在各波腹处解：两列行波叠加形成驻波时，它们在各波腹处引起的分振动必同相，而在波节处的必反相，据引起的分振动必同相，而在波节处的必反
37、相，据此可绘出另一列行波相应时刻的波形图。此可绘出另一列行波相应时刻的波形图。例例13.标准声源能发出频率为标准声源能发出频率为 Hz的声波，的声波，一音叉与该标准声源同时发声，产生频率为一音叉与该标准声源同时发声，产生频率为1.5Hz的拍音，若在音叉的臂上粘一小块橡皮泥，则拍的拍音，若在音叉的臂上粘一小块橡皮泥，则拍频增加，音叉的故有频率频增加，音叉的故有频率 _ .将上述音将上述音叉置于盛水的玻璃管口，调节管中水面的高度，叉置于盛水的玻璃管口，调节管中水面的高度，当管中空气柱高度当管中空气柱高度L从零连续增加时，发现在从零连续增加时，发现在L=0.34m和和1.03m时产生相继的两次共鸣，
38、由以上时产生相继的两次共鸣，由以上数据算得声波在空气中的传播速度为数据算得声波在空气中的传播速度为_.0 .2500 v v解：解：拍频为拍频为1.5Hz时有两种可能时有两种可能Hz.vvHz.vv515100 ，音叉粘上橡皮泥后质量增加，频率音叉粘上橡皮泥后质量增加，频率 应减小，应减小，(1993.一一.6)此时拍频增加，由此可判断出此时拍频增加，由此可判断出Hz.vv510 248.5Hz.Hz.vv 510共鸣时气柱内形成驻波，共鸣时气柱内形成驻波，共鸣时的气柱高度应满足关系共鸣时的气柱高度应满足关系212 )n(Ln故第一、二此共鸣时气柱的高度差故第一、二此共鸣时气柱的高度差212
39、LLm.)LL(381212 vu .sms.34352483811 四、机械波的多普勒效应四、机械波的多普勒效应( Doppler Effect ) 当波源当波源S和接收器和接收器R有相对运动时有相对运动时, 接收器所测得的频接收器所测得的频率率 R不等于波源振动频率不等于波源振动频率 S的现象。的现象。 参考系为媒质；参考系为媒质； S和和R相互靠近时相互靠近时Vs , VR 为正；为正；波源振动频率波源振动频率 S，波的频率，波的频率(媒质的振动频率媒质的振动频率) ， 接收到的频率接收到的频率 R。1、波源静止、波源静止, 接收器运动接收器运动 (VS =0, 设设 VR0)媒质的振动
40、频率：媒质的振动频率： = S波相对于观察者的速度：波相对于观察者的速度：RuV 波长：波长：Suu （ R ）RRu Vv RSuVu /RVu RuVu RV 单位时间内单位时间内 R 所接收的波的个数为所接收的波的个数为(感觉到的频率感觉到的频率)：2、接收器、接收器R静止静止, 波源运动波源运动 (VR=0, VS0) t=0时时S发出第一个发出第一个“波峰波峰”, 经历经历TS 时间，时间，S 前进前进VSTS，再发第二个再发第二个“波峰波峰”，两波峰之间的距离即就是介质中，两波峰之间的距离即就是介质中缩短了的波长：缩短了的波长：R SSsuTV TRSSsuuuTV T ，RSSu
41、uV 3、接收器、波源都运动、接收器、波源都运动（ S R）设设 VS 、VR均均0,RRuuV RRRSRSuu Vu V RSRSuTV T 若波源和观察者的运动不在两者的连线上，若波源和观察者的运动不在两者的连线上，VS，VR应为应为速度在连线上的分量。速度在连线上的分量。例例14.声波在空气中的传播速度为声波在空气中的传播速度为u1 ，在铜板中的，在铜板中的传播速度为传播速度为u2 ，设频率为，设频率为 的声波从图中静止的的声波从图中静止的波源波源S发出，经空气传播到以速度发出，经空气传播到以速度 V u1 向前运动向前运动的平行铜板，在铜板的正前方有一静止的接收者的平行铜板，在铜板的
42、正前方有一静止的接收者B,则则S接收到的由铜板反射回的声波频率接收到的由铜板反射回的声波频率1=_，B接收到的由铜板反射回的声波频率接收到的由铜板反射回的声波频率 2 =_。( 与与V平行）平行）SB0 (1994.一一.6)解：解：110201v,vuvu 波源波源S静止，以速度静止，以速度V 运动的铜板左侧接收到的声运动的铜板左侧接收到的声波频率为波频率为101uVu (1)铜板铜板VSBS接收到的运动的铜板上反射回的声波频率为接收到的运动的铜板上反射回的声波频率为111uuV (2)B处接收到的运动铜板前方发射的声波频率为（声处接收到的运动铜板前方发射的声波频率为（声波在铜板中传播，虽然
43、速度改变了，但频率不变）波在铜板中传播，虽然速度改变了，但频率不变）121uuV (3)由由(1)(2)得得1101uVuV 由由(1)(3)得得20 例例15.一维谐振子沿一维谐振子沿x轴作振幅为轴作振幅为A的简谐振动。求的简谐振动。求证：在振动区间内任一证：在振动区间内任一x处振子出现的概率线密度处振子出现的概率线密度（即（即x处附近无限小区间内单位距离上振子出现的处附近无限小区间内单位距离上振子出现的概率）概率）证：因振子在证：因振子在x x+dx区间出现的概率正比于振子区间出现的概率正比于振子在上述区间的时间间隔在上述区间的时间间隔dt与振动周期与振动周期 的比值，设的比值，设比例常量为比例常量为C，则有，则有ddtp xCT 代入代入ddxtv ，化为，化为 TvCp 由谐振动方程，由谐振动方程，x=Acos(t+ ),求得求得22)sin(xAtAv (1995.二二.14)221xAp 22222xACxATCp 由归一化条件，有由归一化条件，有 AAdxxAC1222 解方程得解方程得C=2，代回式可得，代回式可得221xAp 命题得证。命题得证。代入式，得概率密度代入式，得概率密度下周讲课内容：下周讲课内容：热学热学