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1、电磁学综述电磁学综述 （经典）电磁学的基本规律麦克斯韦方程组SVE dSdVLSBE dldSt 0SB dS021LSSEB dlJ dSdSct例：无限大带电导体板两侧面上的电荷面密度为例：无限大带电导体板两侧面上的电荷面密度为 0 ，现在导体板两侧分别充以介电常数现在导体板两侧分别充以介电常数 1 与与 2 （ 1 2）的均匀电介质。求导体两侧电场强度的大小。的均匀电介质。求导体两侧电场强度的大小。 1 2解：充介质后导体两侧电荷解：充介质后导体两侧电荷重新分布，设自由电荷面密重新分布，设自由电荷面密度分别为度分别为 0 1 和和 0 2022011, DD由由高高斯斯定定理理：2022
2、22101111 DEDE20210121 EE虑虑电电荷荷与与束束缚缚电电荷荷一一并并考考对对于于板板外外电电场场，将将自自由由002012 210212 EE例：在两平行无限大平面内是电荷体密度例：在两平行无限大平面内是电荷体密度 0的均匀的均匀带电空间，如图示有一质量为带电空间，如图示有一质量为m，电量为电量为q( 0oo q 0的小球的小球P。开始时开始时P相对管相对管静止，而后管带着静止，而后管带着P朝垂直于管的长度方向始终以匀朝垂直于管的长度方向始终以匀速度速度u运动，那么，小球运动，那么，小球P从从N端离开管后，在磁场中端离开管后，在磁场中做圆周运动的半径为做圆周运动的半径为R
3、= 。（不考虑重力及各种（不考虑重力及各种阻力）阻力） BPMNhu解：小球受洛仑兹力作用如图解：小球受洛仑兹力作用如图quBf mfamaf mquBhmfhahv2222 222uvv 总总相相对对于于磁磁场场的的合合速速度度muqBhqBmuqBmvR21 总总例：一球形电容器中间充以均匀电介质，该介质例：一球形电容器中间充以均匀电介质，该介质缓慢漏电，在漏电过程中，传导电流产生的磁场缓慢漏电，在漏电过程中，传导电流产生的磁场为为Bc，位移电流产生的磁场为位移电流产生的磁场为Bd，则则0)(0, 0)(0)(. 0, 0)( dcdcdcdcBBDBBCBBBBBAndSdIjc 解解：
4、传传导导电电流流密密度度+-为为其其对对称称轴轴取取如如图图的的两两个个元元电电流流具具有有球球对对称称性性方方向向沿沿径径向向，OOiijjBAcc ,.,点点的的磁磁场场为为零零在在由由对对称称性性PiiBA+-P.O O0 cBPOO为为任任意意点点，因因此此为为任任意意轴轴，点点的的总总磁磁场场为为零零所所有有电电流流元元在在由由此此推推广广，PtDjd 位位移移电电流流密密度度对对称称性性方方向向沿沿径径向向，也也具具有有球球dj0 dB同同理理分分析析0)( dcBBD+-UTxMBd 例：被电势差加速的电子从电子枪口例：被电势差加速的电子从电子枪口 T 发射出来，其发射出来，其初
5、速度指向初速度指向 x 方向。为使电子束能击中目标方向。为使电子束能击中目标 M 点，点，（直线（直线 TM 与与 x 轴夹角为轴夹角为 ），在电子枪外空间加一），在电子枪外空间加一均匀磁场均匀磁场 B , 其方向与其方向与 TM 平行，如图。已知从平行，如图。已知从 T 到到 M的距离为的距离为 d，电子质量为电子质量为 m，带电量为带电量为 e. 为使为使电子恰能击中电子恰能击中M点，应使磁感应强度点，应使磁感应强度 B =？解：电子被加速后解：电子被加速后meUv2 ，垂垂直直的的分分量量与与平平行行的的分分量量与与 sin,cos/vvBvvB cos:/1vdvdtMT 所所需需时时
6、间间为为到到电电子子从从 sin22vrvrT 电子绕一圈的周期电子绕一圈的周期eBmveBmvr sin 电电子子的的回回旋旋半半径径11,2,3,.MtkTk电子击中的条件是：emUdkB2cos2 联联立立解解得得： cos/1vdvdt sin22vrvrT 例：原点例：原点O（0, 0）处有一带电粒子源，以同一速率处有一带电粒子源，以同一速率v沿沿xy平面内的各个不同方向平面内的各个不同方向 （1800）发射质量）发射质量为为m, 电量为电量为q（0）的带电粒子，试设计一方向垂的带电粒子，试设计一方向垂直于直于xy平面，大小为平面，大小为B的均匀磁场区域，使由的均匀磁场区域，使由O发
7、射发射的带电粒子经磁场并从其边界逸出后均能沿的带电粒子经磁场并从其边界逸出后均能沿x轴正方轴正方向运动。（写出磁场边界线方程，并画出边界线）向运动。（写出磁场边界线方程，并画出边界线） xyO设：磁场方向向下且无边界设：磁场方向向下且无边界B 任一粒子束，任一粒子束，v, 其运动轨迹其运动轨迹vqBmvR o 过过o 作平行于作平行于y轴的直线轴的直线它与圆周交于它与圆周交于P点点P粒子在粒子在P点时，速度恰沿点时，速度恰沿x方向，若在此之后方向，若在此之后粒子不受磁力，则其将沿粒子不受磁力，则其将沿x轴正方向运动。轴正方向运动。 xyOB vo P即即P点应在磁场的边界上点应在磁场的边界上
8、)cos(sin RRyRxP点的坐标：点的坐标：不同不同 角角发出的粒子，其发出的粒子，其P点坐标均满足此方程点坐标均满足此方程222)(RRyx 由由上上式式：所有所有P点的轨迹方程，点的轨迹方程，也是磁场的边界方程也是磁场的边界方程B例：半径分别为例：半径分别为R1与与R2的两同心均匀带电半球面相的两同心均匀带电半球面相对放置（如图），两半球面上的电荷密度对放置（如图），两半球面上的电荷密度 1与与 2满足满足关系关系 1 R1 = - 2 R2 1）试证明小球面所对的圆截面试证明小球面所对的圆截面S为一等势面为一等势面 。 2）求等势面）求等势面S上的电势值。上的电势值。sR1R2oE
9、左左E右右1）均匀带电球面内场强为零）均匀带电球面内场强为零，与与实实际际矛矛盾盾右右左左0 EE因此场强必定都垂直于截面因此场强必定都垂直于截面为等势面为等势面上上在在Sl dEUS0: 2）S上任一点的电势上任一点的电势 U=U00)(214242112201012120222 RRRRRRUo法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律dtdi 楞次定律楞次定律闭合回路中感应电流的方向，总是使它所激发的磁场来阻止引起感应电流的磁通量的变化。感应电动势的两种基本形式：感应电动势的两种基本形式：动生电动势动生电动势 & & 感生电动势感生电动势 baildBv)( LSBEdldSt 感动生动生感生
10、感生例：如图一矩形管，画斜线的前后两侧面为金属板，例：如图一矩形管，画斜线的前后两侧面为金属板，其他两面（上下面）为绝缘板，用导线将两金属板相其他两面（上下面）为绝缘板，用导线将两金属板相连，金属板和导线的电阻可忽略不计。今有电阻率为连，金属板和导线的电阻可忽略不计。今有电阻率为 的水银流过矩形管，流速为的水银流过矩形管，流速为v0. 设管中水银的流速与设管中水银的流速与管两端压强差成正比，已知流速为管两端压强差成正比，已知流速为v0时的压强差为时的压强差为P0。在垂直于矩形管上下平面的方向上加均匀磁场，磁感在垂直于矩形管上下平面的方向上加均匀磁场，磁感应强度为应强度为B。求加磁场后水银的流速
11、求加磁场后水银的流速vablB解：设加磁场后水银的流速解：设加磁场后水银的流速v水银中产生感生电动势水银中产生感生电动势Bva blaR 水水银银的的电电阻阻： BvblRI 感感应应电电流流反反向向与与水水银银所所受受磁磁场场力力：vvablBBIaF 2 vlBabFP2 管管两两端端附附加加压压强强差差PP 0管管两两端端的的实实际际压压强强差差：vPlBPPPvv020001 据据题题设设02001PlBvvv 例：一矩形线框由无电阻的导线构成，其边分别与例：一矩形线框由无电阻的导线构成，其边分别与x,y轴平行，边长分别为轴平行，边长分别为a和和b，以初速以初速v0 沿沿x正方向运动，
12、正方向运动，当当t=0时进入磁感应强度为时进入磁感应强度为B的均匀磁场，磁场方向如的均匀磁场，磁场方向如图，充满图，充满x0的空间，设线圈的自感为的空间，设线圈的自感为L，质量为质量为m，并设并设b足够长，求线圈的运动与时间的关系。（不考足够长，求线圈的运动与时间的关系。（不考虑重力，框的电阻不计）。虑重力，框的电阻不计）。bayxv0 解：线框进入磁场后解：线框进入磁场后vBa 动动生生电电动动势势y方方向向沿沿有有电电流流产产生生 ,xIaBF 方方向向：dtdvmIaBmaF ）（方方向向反反产产生生变变变变 LIv00 IRRL 圈圈由由全全电电路路欧欧姆姆定定律律，线线LvBadtd
13、IdtdILvBa 022dtvdmdtdIaBdtdvmIaB vmLaBdtvd2222 由由上上两两式式：谐振动二阶微分方程谐振动二阶微分方程mLaB222 )cos( tAv)sin( tAx0, 0,0,00 vAvvxt时时由由初初始始条条件件：0)sin(0 xtvx 1 1）在电路的任一节点处，流入的电流强度之和等）在电路的任一节点处，流入的电流强度之和等于流出节点的电流强度之和于流出节点的电流强度之和 节点电流定律节点电流定律( (基尔霍夫第一定律基尔霍夫第一定律) )2 2）在稳恒电路中，沿任何闭合回路一周的电势降）在稳恒电路中，沿任何闭合回路一周的电势降落的代数和等于零。
14、落的代数和等于零。 回路电压定律回路电压定律( (基尔霍夫第二定律基尔霍夫第二定律) )欧姆定律的微分形式欧姆定律的微分形式电阻率电阻率电导率电导率 1 EJSlSlR 直直 流流 电电 路路例：在图面内两固定直导线正交，交点相连接，磁感例：在图面内两固定直导线正交，交点相连接，磁感应强度为应强度为B 的均匀磁场与图面垂直，一边长为的均匀磁场与图面垂直，一边长为a的正的正方形导线框在正交直导线上以匀速方形导线框在正交直导线上以匀速 v 滑动，滑动时导滑动，滑动时导线框的线框的A, B 两点始终与水平直导线接触，竖直直导线两点始终与水平直导线接触，竖直直导线则与导线框的其他部分接触。已知直导线单
15、位长的电则与导线框的其他部分接触。已知直导线单位长的电阻值均为阻值均为 r，试问：试问：1）导线框的）导线框的C, D两点移至竖直导两点移至竖直导线上时，流过竖直导线线上时，流过竖直导线CD段的感应电流是多少？段的感应电流是多少？2）此时导线框所受的总安培力为多大？此时导线框所受的总安培力为多大？BaABCDvaABCD右右左左II CD2ar2arar2I左左I右右I CD2ar2arar2I左左I右右IvBavBa24cos2 势势均均为为解解：左左右右两两侧侧动动生生电电动动并并联联电电路路由由基基尔尔霍霍夫夫定定律律，或或串串 rvaBaIBF21222 2）导线框所受磁场力等于）导线
16、框所受磁场力等于CD段导线所受的磁场力（也可根段导线所受的磁场力（也可根据据 I左，左， I右右 具体计算各边受力）具体计算各边受力）022022 arIarIarIarIIII左左右右右右左左rrvBararvBaRI2222 例：半径为例：半径为20cm的圆柱形空间内的均匀磁场的圆柱形空间内的均匀磁场B随时间随时间作线性变化作线性变化B=kt(k=225/ T/s). 用分别为用分别为 30 与与60 的半圆弧形电阻接成圆环同轴地套在圆柱形空间外，的半圆弧形电阻接成圆环同轴地套在圆柱形空间外，下图为其截面图。两半圆弧电阻连接处下图为其截面图。两半圆弧电阻连接处 M, N点用点用30 的直电
17、阻丝的直电阻丝MON相连。相连。 求：求：1） 电势差电势差UMN; 2) 在环外用多大阻值的电阻丝连接在环外用多大阻值的电阻丝连接M,N点可使直电点可使直电阻丝阻丝MON上电流为零。上电流为零。 MN30 30 60 KO解：总的电动势解：总的电动势VRdtdBl dEL92 V5 . 421 MN30 30 60 KO1 2 30 60 30 MNR3 1) K 断开，电流方向如图断开，电流方向如图1I 2I 3I 0303003060121232213 IIIIIII VIUIMN9 . 0301505 . 422 解解出出：2) K 合上，令合上，令I2 = 0, I4 如图如图4I
18、60300023112 IIUIMN得得：由由6043314 IRIII 例：例：10根电阻同为根电阻同为R的电阻丝连成如图所示的网络，的电阻丝连成如图所示的网络，试求：试求：A，B 两点间的等效电阻两点间的等效电阻RAB.ARRRRRRRRRRBABCDFE由对称性知由对称性知AC与与EB，AF与与DB电流相同电流相同III1I2设：总电流为设：总电流为 I , 由节点电流关系得其他电流由节点电流关系得其他电流I-I1I2-I1I - I2I1I-I1I - I2-I1由对称性由对称性 I - I2= I2由由AC间电压间电压2RI1=R(I-I1）+R(I2-I1)IIII83212 )(
19、21121IIRRIRIIIURABAB RRAB815 例：如图电路，每两点间实线所示短导线的电阻为例：如图电路，每两点间实线所示短导线的电阻为1 1 ，则则A,BA,B两端点间的电阻为两端点间的电阻为ABCDOABCDO据对称性可将原电路等效成下据对称性可将原电路等效成下图实线与虚线电路的并联，两图实线与虚线电路的并联，两电路的电阻相同电路的电阻相同rrrrrR321211 23232111rRRRRAB总总电电阻阻为为：例：无限长密绕螺线管半径为例：无限长密绕螺线管半径为r，其中通有电流，在螺其中通有电流，在螺线管内部产生一均匀磁场线管内部产生一均匀磁场B，在螺线管外同轴地套一粗在螺线管
20、外同轴地套一粗细均匀的金属圆环，金属环由两个半环组成，细均匀的金属圆环，金属环由两个半环组成，a、b为为其分界面，半圆环电阻分别为其分界面，半圆环电阻分别为R1 和和 R2，且且R1 R2,，如如图，当图，当B增大时，求增大时，求: Ua a）的大线圈共面且同心，固定大线的大线圈共面且同心，固定大线圈，并在其中维持恒定电流圈，并在其中维持恒定电流 I，使小线圈绕其直径以使小线圈绕其直径以匀角速匀角速 转动如图（线圈的自感忽略）。转动如图（线圈的自感忽略）。 求：求：1）小线圈中的电流；）小线圈中的电流； 2）为使小线圈保持匀角速转动，须对它施加的力矩）为使小线圈保持匀角速转动，须对它施加的力矩
21、 3）大线圈中的感应电动势大线圈中的感应电动势Iab 解：解：1) b a ，小线圈内的磁场近似均匀小线圈内的磁场近似均匀tabIBSSB cos2cos20 dtd1 tabI sin220 Ri1 tabRI sin220 2）当载流线圈所受外力矩等于磁力矩，线圈匀速转动）当载流线圈所受外力矩等于磁力矩，线圈匀速转动BPMMm 磁磁外外2220sin2IatbR tiSBM sin外外3）当小线圈当小线圈 I 变化时，大线圈中有互感电动势变化时，大线圈中有互感电动势通过大线圈磁场在小线圈中的磁通量求互感系数通过大线圈磁场在小线圈中的磁通量求互感系数MtabIM cos220 过过大大线线圈
22、圈的的磁磁通通量量小小线线圈圈电电流流的的磁磁场场，通通iM tab cos220 tabRI sin220 tRbIadtdiMdtd 2cos4224220 ABBOALOOkktBtBdOO 求求：沿沿棍棍的的感感生生电电动动势势的的金金属属棍棍角角，长长为为成成现现在在空空腔腔中中放放一一与与为为常常数数）线线性性增增长长，即即随随时时间间设设磁磁感感应应强强度度匀匀磁磁场场的的方方向向，表表示示两两圆圆柱柱间间存存在在的的均均截截面面，用用的的图图中中所所示示为为垂垂直直于于轴轴线线两两圆圆柱柱轴轴间间距距离离间间，轴轴平平行行地地挖挖出出一一圆圆柱柱空空例例：一一无无限限长长圆圆柱
23、柱，偏偏,60(,0 o. o ABd解：整个磁场可视为圆柱解：整个磁场可视为圆柱O内的内的均匀磁场均匀磁场B和空腔内和空腔内 B 的叠加的叠加空腔内的空腔内的感应电场感应电场由这两部分产生由这两部分产生dtdBrE211 r1E1E2r2dtdBrE222 SddtBdldELS r1E1E2r2OO y jEiEjEiEEEE cossincossin221121 xdtdBjrirjrir cos2sin2cos2sin22211jdtdBdE2 EO O EL Ll dE kLdLdtdBd4330cos20 例：半径为例：半径为R两板相距为两板相距为d的平行板电容器，从轴的平行板电容
24、器，从轴线接入圆频率为线接入圆频率为 的交流电，板间的电场的交流电，板间的电场E与磁场与磁场H的相位差为的相位差为 ，从电容器两板间流入的电磁场，从电容器两板间流入的电磁场平均能流为平均能流为。（忽略边缘效应）。（忽略边缘效应）2 0Rd._,_(),(, outinEECdtditiinR管管外外的的感感生生电电场场强强度度则则管管内内的的感感生生电电场场强强度度常常量量），且且通通以以随随时时间间变变化化的的电电流流，单单位位长长度度内内的的匝匝数数为为管管的的半半径径为为例例：一一无无限限长长密密绕绕螺螺线线EinEout解：长直密绕螺线管内解：长直密绕螺线管内B=B= 0 0niniE
25、Bi产生涡旋电场产生涡旋电场变变变变SddtBdldELS SddtBdldELSin ）12022rnCrdtdBrEin rnCEin20 202)2outErnCRrnCREout220 Rrr例：两根电阻可略，平行放置的竖直固定金属长导轨相距例：两根电阻可略，平行放置的竖直固定金属长导轨相距l，上端与电动势为上端与电动势为 、内阻为、内阻为r的直流电源连接，电源正、的直流电源连接，电源正、负极位置如图所示。另有一根质量负极位置如图所示。另有一根质量m、长长l、电阻电阻R的匀质的匀质导体棒，两端约束在两导轨上，可无摩擦地上下滑动。设导体棒，两端约束在两导轨上，可无摩擦地上下滑动。设空间有
26、与导轨平面垂直的水平匀强磁场空间有与导轨平面垂直的水平匀强磁场B，方向已在图中方向已在图中示出，将导体棒静止释放，试求导体棒朝下运动过程中的示出，将导体棒静止释放，试求导体棒朝下运动过程中的最大加速度最大加速度amax和最大速度和最大速度vmax。 rm, l, RBB解：依题意，由欧姆定律知，开始解：依题意，由欧姆定律知，开始时导体棒中电流从左到右，大小为时导体棒中电流从左到右，大小为在磁场中受竖直向下的安培力在磁场中受竖直向下的安培力那么，导体棒获得的向下加速度最大值为那么，导体棒获得的向下加速度最大值为IRrFIBlmax()FBlaggmm Rr rm, l, RBB导体棒向下加速后，
27、某时刻速度记导体棒向下加速后，某时刻速度记为为v，对应有感应电动势对应有感应电动势方向与电源电动势相反。当方向与电源电动势相反。当v足够足够大时，大时， i ，导体棒中电流反向，导体棒中电流反向，即从右到左，大小为即从右到左，大小为其受磁场竖直向上的安培力为其受磁场竖直向上的安培力为当当F值等于值等于mg时，导体棒停止向下加速，力达到平时，导体棒停止向下加速，力达到平衡，速度达到最大，即有衡，速度达到最大，即有于是可解得于是可解得iBlviBlvIRrRrBlvFI BlBlRrmaxBlvBlmgRrmax2 2()mg RrvB lBl000244/24QqQqRRR2242RR答：球心O处电势为过O点的等势面为以q为中心的球面，故面积为解：解：74 结束语结束语