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1、高中数学选修21阶段评估试卷（四）(时间：60分钟 满分：100分)一、选择题(每小题5分，共30分)1已知向量(2,3,4)，点A的坐标是(1,2,0)，则点B的坐标是()A(1,1,4) B(3,5,4)C(1,1，4) D(3,6,3)解析：(2,3,4)，(1,2,0)，(2,3,4)(1,2,0)(3,5,4)答案：B2若平面，则下面可以是这两个平面法向量的是()An1(1,2,3)，n2(3,2,1)Bn1(1,2,3)，n2(2,2,1)Cn1(1,1,1)，n2(2,2,0)Dn1(1,1,1)，n2(2，2，2)解析：若，则n1n2，故选D答案：D3如图所示，PD垂直于正方形
2、ABCD所在的平面，AB2，E为PB的中点，cos，若以DA，DC，DP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则点E的坐标为()A(1,0,1)B(1,1,1)C(2,1,1)D(2,0,1)解析：设PDa(a0)，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，P(0,0，a)，E，(0,0，a)，cos，得a2.E(1，1,1)答案：B4已知ab(2，2)，ab(0，0)，则cosa，b()A BC D解析：ab(2，2)，ab(0，0)，a(1，)，b(1,0，)，cosa，b.答案：A5如果平面的一条斜线和它在平面上的射影的方向向量分别是a(0,2,1)，b(，)，那么这条斜线与平面
3、的夹角是()A90 B60C45 D30解析：依题意，得cosa，b，所以这条斜线与平面的夹角为30.答案：D6在三棱锥SABC中，CS，CA，CB两两垂直，CACB3，CS2，在如图所示的坐标系中，下列向量中是平面SAB的一个法向量的是()ABCD(2,2,1)解析：由题意，知(3,0,2)，(3,3,0)设平面SAB法向量为n(x，y，z)，则由得令x2，则z3，y2，得n(2,2,3)与n共线的向量都是平面SAB的法向量，因此选B答案：B二、填空题(每小题5分，共20分)7已知AB，BC，CD为两两垂直的三条线段，且它们的长度都为2，则AD的长为_解析：由已知，得|2，又，|2()2|2
4、|2|22()44412，|2.答案：28若直线l的方向向量a(2,3,1)，平面的一个法向量n(4,0,1)，则直线l与平面所成的角的正弦值等于_解析：设直线l与平面所成的角为，则sin |cosan|.答案：9已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且BP平面ABC，则x，y，z分别为_、_、_.解析：，31512z0，得z4.又BP平面ABC，得答案：410已知下列命题：如果ab(0)，那么ab；如果acbc(c0)，那么ab；如果ab0，那么ab；如果ab|a|b|0，那么a与b的方向相反；如果ab0，那么a与b的夹角为钝角其中假命题有_解析：是真命题，是假命题，在中
5、acbc(c0)c(ab)0ab或c(ab)在中，当a，b为非零向量时，命题成立在中，ab0，那么a与b夹角的取值范围是.答案：三、解答题(共50分)11(12分)已知空间三点A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)(1)求以A，A为边的平行四边形的面积；(2)若|a|，且a分别与A，A垂直，求向量a的坐标解：A(2，1,3)，A(1，3,2)(1)cosA，A，sinA，A，S|A|A|sinA，A7.即以，为边的平行四边形的面积为7.(2)设a(x，y，z)由|a|，a，a，得解得或a(1,1,1)或(1，1，1)12(12分)(2019天津卷)如图，AE平面ABCD，CFAE
6、，ADBC，ADAB，ABAD1，AEBC2.(1)求证：BF平面ADE；(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；(3)若二面角EBDF的余弦值为，求线段CF的长解：依题意，可以建立以A为原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系(如图)，可得A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,1,0)，E(0,0,2)设CFh(h0)，则F(1,2，h)(1)证明：依题意，(1,0,0)是平面ADE的一个法向量，又(0,2，h)，可得0，又因为直线BF平面ADE，所以BF平面ADE.(2)依题意，(1,1,0)，(1,0,2)，(1，2,2)设n(x，y，z)
7、为平面BDE的法向量，则即不妨令z1，可得n(2,2,1)因此有cos，n.所以，直线CE与平面BDE所成角的正弦值为.(3)设m(x1，y1，z1)为平面BDF的法向量，则即不妨令y11，可得m.由题意，有|cosm，n|，解得h.经检验，符合题意所以，线段CF的长为.13(13分)(2019佛山市第一中学高二段考)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，E、F分别为AB、BC上的点，且AEBFx.(1)当x为何值时，三棱锥B1BEF的体积最大？(2)求异面直线A1E与B1F所成的角的取值范围解：(1)VB1BEF(ax)xa(ax)x2，当x时，三棱锥B1BEF的体积最大(2)建立
8、如图坐标系Dxyz.A1(a,0，a)，B1(a，a，a)，E(a，x,0)，F(ax，a,0)，(0，x，a)，(x,0，a)，设异面直线所成角为，cos ，0xa，a2x2a22a2，1，夹角范围为.14(13分)(2018全国卷)如图，在三棱锥PABC中，ABBC2，PAPBPCAC4，O为AC的中点(1)证明：PO平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值解：(1)证明：APCPAC4，O为AC的中点，OPAC，且OP2.连接OB，ABBC2AC，ABC为等腰直角三角形，且OBAC，OBAC2.由OP2OB2PB2知，POOB.ACOBO，AC平面ABC，OB平面ABC，PO平面ABC.(2)如图，以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.由已知得O(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0，2,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，(0,2,2)，取平面PAC的一个法向量 (2,0,0)，设M(a,2a,0)(0a2)，则(a,4a,0)设平面PAM的法向量为n(x，y，z)，由n0，n0，得可取n(a4)，a，a)cos，n.解得a4(舍去)，a.n.又(0,2，2)，cos，n.PC与平面PAM所成角的正弦值为.