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1、高中数学选修21综合测试时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1“x0,2xx2”的否定p为()Ax00,2x02x0Bx0,2x0)的一条渐近线的倾斜角为，则a()ABC D2解析：双曲线y21(a0)的渐近线方程为yx.a0，tan，a.答案：C5设x，yR，向量a(x,1,0)，b(1，y,0)，c(2，4,0)，且ac，bc，则|ab|()A BC2 D10解析：由ac，得ac(x,1,0)(2，4,0)2x40，x2.a(2,1,0)，由bc，得，y2，b(1，2,0)ab(3，1,0)|ab|.答案：B6双曲线1(a0，b0)的左、右焦
2、点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为()A BC D解析：依题意，知F1(c,0)，F2(c,0)，MF2x轴，M.点M在直线y(xc)上，c.又b2c2a2，3(c2a2)2ac，3e22e30.即(e3)(e1)0.e1，e.答案：B7设F为抛物线y24x的焦点，A，B为该抛物线上两点，若xAxB7，则|AF|BF|的值等于()A3 B4C6 D9解析：如图，由抛物线y24x知，准线方程是x1，由抛物线的定义知，|AF|BF|xA1xB1729.答案：D8椭圆1的离心率为，则k的值为()A21 B21C或21 D或21解析
3、：当焦点在x轴上时，a29，b24k，则c2a2b25k，e，k；当焦点在y轴上时，a24k，b29，则c，e，k21.答案：C9已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于()A BC D解析：如图所示建立空间直角坐标系Oxyz，设正三棱柱的棱长为2，A(0，1,0)，B1(，0,2)，O(0,0,0)，B(，0,0)，则(，1,2)，(，0,0)为侧面ACC1A1的一个法向量，|cos，|.答案：A10直线y2b与双曲线1(a0，b0)的左支、右支分别交于A，B两点，O为坐标原点，且AOB为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为()A B
4、C D解析：由AOB为等腰直角三角形，得ABO45，kOB1，联立y2b与1，得xa，点B的坐标为(a,2b)，则a2b，e .答案：B11如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A BC D解析：不妨设CB1，则B(0,0,1)，A(2,0,0)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)(0,2，1)，(2,2,1)cos，.答案：A12已知斜四棱柱ABCDA1B1C1D1的各棱长均为2，A1AD60，BAD90，平面A1ADD1平面ABCD，则直线BD1与平面ABCD所成的角的正切值为()A BC D解析：依题意，取A
5、D中点O建立如图所示空间直角坐标系Oxyz，则B(1,2,0)，D1(2,0，)，(3，2，)又平面ABCD的法向量可取n(0,0,1)cos，n.设直线BD1与平面ABCD所成的角为，则sin ，cos ，tan .答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13有下列命题：“若xy1，则x，y互为倒数”的逆命题；“面积相等的两个三角形全等”的否命题；“若m1，则x22xm0有实数解”的逆否命题；“若ABB，则AB”的逆否命题其中正确命题的序号为_解析：“若x，y互为倒数，则xy1”是真命题；“面积不相等的两个三角形一定不全等”是真命题；若m1，则44m0，所以原命题是真命题，
6、故其逆否命题也是真命题；若ABB，则BA，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题答案：14(2019铜仁市思南中学高二月考)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且F1PF2，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则的最大值是_解析：如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义|PF1|PF2|2a1，|PF1|PF2|2a2，|PF1|a1a2，|PF2|a1a2，设|F1F2|2c，F1PF2，则在PF1F2中，由余弦定理得，4c2(a1a2)2(a1a2)22(a1a2)(a1a2)cos，化简a3a4c2，该式变成4，4，
7、的最大值是.答案：15已知点P是抛物线x24y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是(8,7)，则|PA|PQ|的最小值为_解析：抛物线的焦点为F(0,1)，准线方程为y1，根据抛物线的定义知，|PF|PM|PQ|1.|PA|PQ|PA|PM|1|PA|PF|1|AF|111019.当且仅当A，P，F三点共线时，等号成立，则|PA|PQ|的最小值为9.答案：916方程1表示曲线C，给出以下命题：曲线C不可能为圆；若1t4，则曲线C为椭圆；若曲线C为双曲线，则t4；若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则1t0t；若该方程表示椭圆，则有解得1t或t4；若该方程表示双曲线，则有(4t)(t1)4
8、或t1；当1t时，4t3，而0t1t10，此时该方程表示焦点在x轴上的椭圆综上分析知，正确命题有.答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分)17(10分)已知k为实数，命题p：方程(k1)x2(2k1)y2(k1)(2k1)表示椭圆；命题q：方程(k3)x24y24(k3)表示双曲线(1)若命题p为真命题，求k的取值范围；(2)若命题p、q中恰有一个为真命题，求k的取值范围解：(1)若命题p为真命题，则解得k1.即k的取值范围是(1，)(2)由(1)知，当p为真时，k1，当q为真时，k3.当p真q假时，k3；当p假q真时，k1.故k的取值范围是(，13，)18(12分)已知p：f(x)，且|
9、f(a)|2；q：集合Ax|x2(a2)x10，xR，且A.若pq为真命题，pq为假命题，求实数a的取值范围解：若|f(a)|2成立，则2，即61a6，即5a7时，p是真命题；若A，则方程x2(a2)x10有实数解，(a2)240，解得a4或a0，即当a4或a0时，q是真命题pq为真命题，pq为假命题，p与q一真一假当p真q假时，有4ab0)的离心率为，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2.(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线yk(x1)(k0)与椭圆C交于A，B两点，且与x轴，y轴交于M，N两点若，求k的值；若点Q的坐标为，求证：为定值解：(1)由离心率为，得，a22c2，代入a2b
10、2c2，得b2c2.又椭圆C的顶点与其两个焦点构成的三角形的面积为2，即b2c2，得bc2，b2c24，以上各式联立解得a24，b22，椭圆C方程为1.(2)直线yk(x1)与x轴交点为M(1,0)，与y轴交点为N(0，k)，联立消去y，得(12k2)x24k2x2k240，16k44(12k2)(2k24)24k2160.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2.又(x21，y2)，(x1，ky1)，由，得x1x21，解得k，由k0，得k.证明：由知，x1x2，x1x2，y1y2k2(x11)(x21)(1k2)x1x2k24，为定值20(12分)(2019双流中学高二月考)已知椭圆
11、C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线yx2的焦点，它的离心率是双曲线y21的离心率的倒数(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若1，2，求证：12为定值解：(1)设椭圆C的方程为1(ab0)，抛物线方程为x24y，其焦点为(0,1)，则椭圆C的一个顶点为(0,1)，即b1，由e，a25，所以椭圆C的标准方程为y21.(2)证明：易求出椭圆C的右焦点为F(2,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0)，显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x2)，代入方程y21，整理得(15k2)x220k2x
12、20k250，x1x2，x1x2，又(x1，y1y0)，(x2，y2y0)，(2x1，y1)，(2x2，y2)，而1，2，即(x10，y1y0)1(2x1，y1)，(x20，y2y0)2(2x2，y2)，1，2，所以1210，为定值21(12分)(2019全国卷)图1是由矩形ADEB，RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB1，BEBF2，FBC60.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC平面BCGE；(2)求图2中的二面角BCGA的大小图1图2解：(1)证明：由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，所以
13、AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面由已知，得ABBE，ABBC，所以AB平面BCGE.又因为AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE.(2)作EHBC，垂足为H.因为EH平面BCGE，平面BCGE平面ABC，所以EH平面ABC.由已知，菱形BCGE的边长为2，EBC60，可求得BH1，EH.以H为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz，则A(1,1,0)，C(1,0,0)，G(2,0，)，(1,0，)，(2，1,0)设平面ACGD的法向量为n(x，y，z)，则即所以可取n(3,6，)又平面BCGE的法向量可取为m(0,1,0)，所以cosn，m.
14、因此二面角BCGA的大小为30.22(12分)如图，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，ABCDEF，ABAD，CDDAAFFE2，AB4.(1)求证：DF平面BCE；(2)求二面角CBFA的余弦值；(3)线段CE上是否存在点G，使得AG平面BCF？请说明理由解：(1)证明：CDEF，且CDEF，四边形CDFE为平行四边形，DFCE.DF平面BCE，CE平面BCE，DF平面BCE.(2)在平面ABEF内，过A作AzAB.平面ABCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEFAB，又Az平面ABEF，AzAB，Az平面ABCD，ADAB，ADAz，AzAB.如图建立空间直角坐
15、标系Axyz.由题意得，A(0,0,0)，B(0,4,0)，C(2,2,0)，E(0,3，)，F(0,1，)则(2，2,0)，(0，3，)设平面BCF的法向量为n(x，y，z)，则即令y1，则x1，z，得n(1,1，)又平面ABF的一个法向量为v(1,0,0)，则cosn，v.又二面角CBFA的平面角为锐角，二面角CBFA的余弦值为.(3)线段CE上不存在点G，使得AG平面BCF，理由如下：解法一：设平面ACE的法向量为m(x1，y1，z1)，则即令y11，则x11，z1，所以m(1,1，)mn0，平面ACE与平面BCF不可能垂直，从而线段CE上不存在点G，使得AG平面BCF.解法二：线段CE上不存在点G，使得AG平面BCF，理由如下：假设线段CE上存在点G，使得AG平面BCF，设，其中0,1设G(x2，y2，z2)，则有(x22，y22，z2)(2，)，x222，y22，z2，从而G(22，2，)，(22，2，)AG平面BCF，n.有，上述方程组无解，所以假设不成立线段CE上不存在点G，使得AG平面BCF.