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1、如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流小学六年级数学培优专题训练79636【精品文档】第 79 页第1讲 数的认识一、夯实基础1数的意义（4）百分数百分数后面不带计量单位。二、典型例题数的认识课堂过关卷一、细心填空1用3个0和3个6组成一个六位数，只读一个零的最大六位数是（ ）；读两个零的六位数是（ ）；一个零也不读的最小六位数是（ ）。2一个三位小数，四舍五入后得4.80，这个三位小数最大是（ ），最小是（ ）。3若被减数、减数与差这三个数的和为36，那么被减数为（ ）。4把0.35，34%，从大到小排序（ ）。5某班男生人数是女生的，女生人数占全班人数的（ ）6甲数比乙数多25%，则乙数
2、比甲数少（ ）%。7一个分数的分子比分母少20，约分后是，这个分数是（ ）。8写出三个比小，而比大的最简分数是（ ）、（ ）、（ ）。9中有（ ）个。10有一个最简真分数，分子和分母的积是36，这个分数最大是（ ）。11A+B=60，AB=，A=（ ），B=（ ）。12( )( )=(填两个分母小于12的分数) = (填两个不同的整数)。13一个最简分数，若分子加上1，可以约简为，若分子减去一，可化简成，这个分数是（ ）。14修一段600米长的路，甲队单独修8天完成，乙队单独修10天完成。两队合修（ ）天完成它的。15一种商品，先提价20%，又降价20%后售价为96元，原价为（ ）元。16甲、
3、乙两个数的差是35.4，甲、乙两个数的比是5：2，这两个数的和是（ ）。17有甲、乙、丙三种，甲种盐水含盐量为4%，乙种盐水含盐量为5%，丙种盐水含盐量为6%。现在要用这三种盐水中的一种来加水稀释，得到含盐量为2%的盐水60千克。如果这项工作由你来做，你打算用（ ）种盐水，取（ ）千克，加水（ ）千克。18x表示取数x的整数部分，比如13.58=13。若x=8.34，则x2x3x=（ ）。二、选择1 最大的小数单位与最小的质数相差（ ）。 A 1.1 B 1.9 C 0.9 D 0.123.999保留两位小数是（ ）。 A 3.99 B 4.0 C4.00 D3.903下列四个数中，最大的是（
4、 ）。A101% B0. CD1 4.平均每小时有36至45人乘坐游览车，那么3小时中有 人乘坐游览车。 A少于100 B100与150之间 C150与200之间 D200与250之间5.小明所在班级的数学平均成绩是98分，小强所在班级的数学平均成绩是96分，小明考试得分比小强的得分（ ）。 A高 B低 C一样高 D无法确定6一次数学考试，5名同学的分数从小到大排列是74分、82分、a分、88分、92分，他们的平均分可能是（ ）。A75 B84 C86 D93 7的分子加上6，如果要使这个分数的大小不变，分母应该（）A加上20 B加上6 C扩大2倍 D增加3倍 8书店以50元卖出两套不同的书，
5、一套赚10%，一套亏本10%，书店是( ) A亏本 B赚钱 C不亏也不赚9把1克盐放入100克水中，盐与盐水的比是（ ）。 A1：99 B1：100 C1：101 D100：10110甲、乙两个仓库所存煤的数量相同，如果把甲仓煤的调入乙仓，这时甲仓中的煤的数量比乙仓少（ ）。 A.50% B.40% C.25%三、星级挑战1财会室会计结账时，发现财面多出32.13元钱，后来发现是把一笔钱的小数点点错了一位，原来这笔钱是多少元？ 2暑假期间，明明和亮亮去敬老院照顾老人。7月13日他们都去了敬老院，并约好明明每两天去一次，亮亮每3天去一次。（1）7月份，他们最后一次同去敬老院的日子是（ ）。（2）
6、从7月13日到8月31日，他们一起去敬老院的情况有（ ）次。第2讲 数的整除一、夯实基础整数a除以整数b（b0），除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，也可以说b能整除a。如果数a能被数b整除，那么a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数。能被2整除的数叫偶数。也就是个位上是0、2、4、6、8的数是偶数。不能被2整除的数叫奇数。也就是个位上是1，3，5，7，9的数是奇数。一个数如果只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。一个数除了1和它本身，还有别的因数，这个数叫做合数。每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数都叫做这个合数的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分
7、解质因数。公因数只有1的两个数或几个数，叫做互质数。几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个，叫做最大公因数。几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个叫做这个数的最小公倍数。二、典型例题例3同学们在操场上列队做体操，要求每行站的人数相等，当他们站成10行、15行、18行、24行时，都能刚好站成一个长方形队伍，操场上同学最少是多少人？ 分析：题目要求的是“最少”为多少人，可知操场上的同学数量正好是10、15、18、和24的最小公倍数。解：10、15、18和24的最小公倍数是:2351134=360答：操场上的同学最少是360人。数的整除课堂过关卷一、填空1在l至20的
8、自然数中，（ ）既是偶数又是质数；（ ）既是奇数又是合数。2一个数，如果用2、3、5去除，正好都能整除，这个数最小是（ ），用一个数去除30、40、60正好都能整除，这个数最大是（ ）。38（ ）5（ ）同时是2， 3 ，5的倍数，则这个四位数为（ ）。4一个五位数735，如果这个数能同时被2、3、5整除，那么代表的数字是（ ），代表的数字是( )。5从0、5、8、7中选择三个数字组成一个同时能被2、3、5整除的最大三位数，这个三位数是（ ），把它分解质因数是：（ ）。6把84分解质因数：84=（ ）。72和54的最大公约数是（ ）。712的约数有（ ），从中选出4个数组成一个比例是（ ）。8
9、公因数只有（ ）的两个数，叫做互质数，自然数a和（ ）一定是互质数。9a、b都是非零自然数，且ab=c，c是自然数，（ ）是（ ）的因数，a、b的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。10A、B分解质因数后分别是：A=237，B=257。A、B最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。 11A=223，B=2C5， 已知A、B两数的最大公约数是6，那么C是（ ），A、B的最小公倍数是（ ）。12在括号里填上合适的质数：（ ）（ ）=21=（ ）（ ）。13两个质数的和是2001，这两个质数和积是（ ）。1445与某数的最大公因数是15，最小公倍数是180，某数是（ ）。15已知两个互质数的最小
10、公倍数是153，这两个互质数是（ ）和（）。二、解决问题1有两根绳子，第一根长18米，第二根长24米，要把它们剪成同样长短的跳绳，而且不能有剩余，每根跳绳最长多少米？一共可剪成几根跳绳？2一块长方形木板长20分米，宽16分米。要锯成相同的正方形木板，要求正方形木板的面积尽量大，而且原来木板没有剩余，可以锯成多少块？每块正方形木板的面积是多少平方分米？3汽车站有开住甲、乙、丙三地的汽车，到甲地的汽车每隔15分钟开出一辆；到乙地的汽车每隔27分钟开出一辆；到丙地的汽车每隔36分钟开出一辆。三路汽车在同一时刻发车以后，至少需要经过多少时间，才能又在同一时刻发车？三、星级挑战1有一行数：1，1，2，3
11、，5，8，13，21，34，55，从第三个数开始，每个数都是前两个数的和，在前100个数中，偶数有多少个？ 2有一堆苹果，如果3个3个的数，最后余2个，如果5个5个的数，最后余4个，如果7个7个的数，最后余6个，这堆苹果最少有多少个？ 第3讲 简便运算（1）一、夯实基础所谓简算，就是利用我们学过的运算法则和运算性质以及运算技巧，来解决一些用常规方法在短时间内无法实现的运算问题。简便运算中常用的技巧有“拆”与“凑”，拆是指把一个数拆成的两部分中含有一个整十、整百、整千或者有利于简算的数，凑是指把几个数凑成整十、整百、整千的数，或者把题目中的数进行适当的变化，运用运算定律或性质再进行简算。让我们先
12、回忆一下基本的运算法则和性质：乘法结合律：abc=a（bc）=（ac）b乘法分配律：a（bc）=abac a（bc）=abac二、典型例题例1. （1）9999777833336666 （2）765640.52.50.125分析（一）：通过观察发现这道题中9999是3333的3倍，因此我们可以把3333和6666分解后重组，即333332222=99992222 这样再利用乘法分配律进行简算。 解（一）: 原式=99997778333332222 =9999777899992222 =（77782222）9999 =99990000 分析（二）：我们知道0.52，2.54，0.1258均可得到
13、整数或整十数，从而使问题得以简化，故可将64分解成248，再运用乘法交换律、结合律等进行计算。 解（二）： 原式=765（248）0.52.50.125 =765（20.5）（42.5）（80.125） =7651101 =7650例2399.6919980.8 分析：这道题我们仔细观察两个积的因数之间的关系，可以发现减数的因数1998是被减数因数399.6的5倍，因此我们根据积不变的规律将399.69改写成（399.65）（95），即19981.8，这样再根据乘法分配律进行简算。 解: 原式=（399.65）（95）19980.8 =19981.819980.8 =1998（1.80.8）
14、=19981=1998例3654321123456654322123455 分析：这道题通过观察题中数的特点，可以看出被减数中的两个因数分别比减数中的两个因数少1和多1，即654321比654322少1，123456比123455多1，我们可以将被减数改写成（654321）（1234551），把减数改写成（6543211）123455，再利用乘法分配律进行简算。 解： 原式=654321（1234551）（6543211）123455 =654321123455654321654321123455123455 =654321123455 =530866三、熟能生巧1（1） 8886674446
15、66 （2）9999122233336662（1） 400.6720030.4 （2）2397.29568.2 3（1） 1989199919882000 （2）8642246886442466四、拓展演练11234432624682837 2 2751216502333007.53 7654321123456776543221234566 六、星级挑战1315325335345 2333345555577777 39999999999994. 48.67673.2486.7973.40.05第4讲 简便运算（2）一、夯实基础在进行分数的运算时，可以利用约分法将分数形式中分子与分母同时扩大或缩
16、小若干倍，从而简化计算过程；还可以运用分数拆分的方法使一些复杂的分数数列计算简便。同学们在进行分数简便运算式，要灵活、巧妙的运用简算方法。让我们先回忆一下基本的运算法则和性质：乘法结合律：abc=a（bc）=（ac）b乘法分配律：a（bc）=abac a（bc）=abac拆分：= =（）三、熟能生巧2（1） （2）（1）（）四、拓展演练1（1）12341 （2）2.843（11.42）12 （1） （2）（96）（32）3 3 4 1第5讲 简便运算（3）一、 夯实基础所谓简算，就是利用我们学过的运算法则和运算性质以及运算技巧，来解决一些用常规方法在短时间内无法实现的运算问题。简便运算中常用的
17、技巧有“拆”与“凑”，拆是指把一个数拆成的两部分中含有一个整十、整百、整千或者有利于简算的数，凑是指把几个数凑成整十、整百、整千的数，或者把题目中的数进行适当的变化，运用运算定律或性质再进行简算。让我们先回忆一下基本的运算法则和性质：等差数列的一些公式：项数=（末项首项）公差1某项=首项公差（项数1）等差数列的求和公式：（首项末项）项数2二、典型例题例1 2468198200 分析：这是一个公差为2的等差数列，数列的首项是2，末项是200。这个数列的项数=（末项首项）公差1=（2002）21=100项，如何求和呢？我们先用求平均数的方法：首、末两项的平均数=（2200）2=101；第二项和倒数
18、第二项的平均数也是（498）2=101依次求平均数，共算了100次，把这100个平均数加起来就是数列的和。即和=（首项末项）2项数。 解: 原式=（2200）2100=10100例2 0.99.999.9999.99999.999999.9分析：通过观察我们可以发现题目中的6个加数都分别接近1、10、100、1000、10000、100000这6个整数，都分别少0.1，因此我们可以把这6个加数分别看成1、10、100、1000、10000、100000的整数，再从总和中减去6个0.1，使计算简便。解: 原式=1101001000100001000000.16 =1111110.6=111111
19、0.4三、熟能生巧1 135765672 999999999999999311201221122112211221112011201120四、拓展演练1（1）0.110.130.150.970.99（2）8.90.28.80.28.70.28.10.22（1）98998999899998999998 （2）3.90.390.0390.00390.000393（1）12344321432143214321123412341234 （2）200260066006300340044004六、星级挑战1 （1）438.95 （2）47.265 （3）574.6225 （4）14.7580.252. （
20、44332443.32）（88664886.64）3 1.82.83.850.84 20021999199619931990198716131074第6讲 简易方程一、夯实基础 含有未知数的等式叫做方程，求方程的解的过程叫做解方程。解方程是列方程解应用题的基础，解方程通常采用以下策略：对方程进行观察，能够先计算的部分先进行计算或合并，使其化简。把含有未知数的式子看做一个数，根据加、减、乘、除各部分的关系进行化简，转化成熟悉的方程。再求方程的解。将方程的两边同时加上（或减去）一个适当的数，同时乘上（或除以）一个适当的数，使方程简化，从而求方程的解。重视检验，确保所求的未知数的值是方程的解。二、典
21、型例题例1解方程4（x2）15=7x20分析：先运用乘法分配律将其展开，再运用等式的基本性质合并求解。 4（x2）15=7x20解： 4x815=7x20 3x=27 x=9 经检验x=9是原方程的解。例2解方程x2=（3x10）5 分析：根据等式的基本性质，将方程两边同乘2和5的最小公倍数，使方程转化为x5=（3x10）2再求解。 x2=（3x10）5解： x210=（3x10）510 x5=（3x10）2 5x=6x20 x20=0 x=20 经检验x=20是原方程的解。例3解方程360x3601.5x=6 分析：根据等式性质，将方程左右两边同乘3x使方程转化后再求解。 360x3601.
22、5x=6解： 1080720=18x 18x=360 x=20 经检验x=20是原方程的解。三、熟能生巧1122（x1）=4 5x19=3（x4）152（2x4）18=28 （5.3x5）7=x8 37（x3）=3（x5）4 xx32x30=180四、拓展演练1（x+10）6 84.5x32xx x7.4=x9.23 ：18% 五、举一反三六、星级挑战1解方程： 13x4（2x5）=17（x2）4（2x1）2解方程： 17（23x）5（12x）=8（17x）3解方程：=24. 解方程：（x5）=3（x5）第7讲 定义新运算一、夯实基础同学们，我们都知道四则运算包括加、减、乘、除，我们接触到的运
23、算符号也无外乎“”、“”、“”、“”。而在升学考试中，经常会出现一些崭新的题目，这种题目中又出现了新的运算符号，如：、并赋予它们一种新的运算方法。这种运算符号本身并不重要，重要的是在题目中，各种运算符号规定了某种运算以及运算顺序。这种运算非常有趣，同学们，你们想了解吗？这一节我们就来学习定义新运算。二、典型例题例1 （1）ab=ab，求95的值。（2）定义新运算“ ”，mn=mn2.5。求： 60.40.4的值是多少？ 3510.3的值是多少？分析（1）：本题中的新运算符号“”表示的是求“”前后两个数的和，也就是求9与5的和是多少。解（1） ： 95=95=14分析（2）：本题中新运算“”的含
24、义是求“”前后两个数的商的2.5倍是多少。解（2）： 60.40.4=60.40.42.5=1512.5=377.5 3510.3=3510.32.5=11702.5=2925例2 对于任意两个自然数，定义一种新运算“*”，a*b=（ab）2，求34*（52*48）值。分析：新运算“*”的含义表示：求“*”前后两数差的一半。本题在计算时，要注意运算顺序，先计算括号内的“52*48”，再用34与“52*48”的结果在进行一次这样的运算。 解：52*48=（5248）2=42=2 因此34*（52*48）=34*2=（342）2=322=16。例3定义两种新运算“”和“*”，对于任意两个 数x、y
25、，规定xy=x5y，x*y=（xy）2 ，求563.5*2.5的值。 分析：本题包含两种新运算，第一种新运算“”表示求“”前面的数与后面数的5倍的和是多少；第二种运算“*”表示“*”前面的数减去“*”后面数的差的2倍是多少。所以可以根据他们各自的含义分别求值再作和。 解：56=556=35 3.5*2.5=（3.52.5）2=2 563.5*2.5=352=37三、熟能生巧1（1） ab=ab，求45.238.9的值。（2）x、y是两个自然数，规定xy=（x+y）10，求38的值。2定义一种新运算“”，规定AB=2（AB），求0.6（5.45）的值。3定义两种新运算“”和 “”，已知ab=a2
26、4.1b，ab=83（ab），求6142的值。四、拓展演练1 （1）定义一种新运算“”，规定AB=4A3B5，求（1）69 （2）96。（2）定义一种新运算“”，规定ab=（3xy）2x，求：1015 15102（1）定义新运算“”，规定mn=（mn）2，那么8 （122）与12（82）是否相等？如果不相等，哪个大？（2）定义一种新运算“”，已知ab=5a10b，求3758的值。3定义两种运算“”和“”，对于任意两个整数a，b，ab=ab1，ab=ab1。计算4（68）（35）。五、举一反三六、星级挑战1定义新运算“”，若23=234，54=5678。求2（32）的值。2. 设a、b表示两个数
27、如果ab，规定：ab=3a2b；如果ab，规定：ab=（ab）3。求： 96 88 273设a、b表示两个数，ab=aba+b，已知a7=37，求a的值。 4设a、b表示两个整数，规定：a b=a（a1）（a2）（a3）（ab1），求1100的值。第8讲 巧求面积（1）一、夯实基础小学数学教材中学习了长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆等基本图形面积的计算方法。常用的面积公式如下：正方形边长边长S=a2长方形长宽S=ab平行四边形底高S=ah三角形底高2S=ah2梯形（上底+下底）高2S=(a+b)h2在实际应用过程中，我们除了掌握切分、割补、做差等一些基本的几何解题思想外，还要掌握等
28、量代换、妙用同底等一些有难度的解题方法。二、典型例题例1两个相同的直角三角形如图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。分析：阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积。因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。解：直角梯形OEFC的上底为：103=7（厘米），直角梯形OEFC的面积为（7+10）22=17（平方厘米）。答：阴影部分的面积是17平方厘米。例2如图，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角
29、三角形ECB的直角边EC长8厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10平方厘米，求平行四边形ABCD的面积。分析：因为阴影部分比三角形EFG的面积大10平方厘米，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10平方厘米。解：三角形EFG的面积为：1082=40（平方厘米）。平行四边形ABCD的面积为：40+10=50（平方厘米）。答：平行四边形的面积为50平方厘米。例3如图,在三角形ABC中， BC=8厘米，AD=6厘米，E、F分别为AB和AC的中点.那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？分析:由“ E、F分别为A
30、B和AC的中点”可知，AF=CF，AE=BE，所以三角形ABF和三角形CBF是同底等高的三角形，面积相等；三角形AEF和三角形BEF面积也相等，故有S三角形EBF=S三角形ABF ，S三角形ABF=S三角形ABC 解：S三角形ABC=862=24（平方厘米）S三角形ABF=S三角形ABC=24=12（平方厘米） S三角形EBF=S三角形ABF=12=6（平方厘米） 答：三角形EBF的面积是6平方厘米。 三、熟能生巧1如图，两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积。（单位：厘米）2如图，正方形边长是10厘米，长方形的长为8厘米，宽为5厘米。阴影部分甲与阴影部分乙的面积差是多少平方厘米？3如
31、图，在三角形ABC中，DC=2BD，CE=3AE，阴影部分的面积是20平方厘米，求三角形ABC的面积。四、拓展演练1如图，在长方形内画了一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，49，那么图中阴影部分的面积是多少？（单位：平方厘米）2 如图，梯形的下底为8厘米，高为4厘米。阴影部分的面积是多少平方厘米？3如图，长方形ABCD中， AB=24cm，BC=26cm，E是BC的中点，F、G分别是AB、CD的四等分点，H为AD上任意一点，求阴影部分面积。五、星级挑战1如图，梯形ABCD中，AD=7厘米，BC=12厘米，梯形高8厘米，求三角形BOC的面积比三角形AOD的面积大多少平方厘米？2有两种自
32、然的放法将正方形内接于等腰直角三角形。已知等腰直角三角形的面积是36平方厘米，两个正方形的面积分别是多少？第9讲 组合图形面积（2）一、夯实基础不规则图形常由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规则图形组合而成的，计算时常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转，使之转化为规则图形的和、差关系，有时要和“容斥原理”合并使用才能解决。计算圆的周长与面积的主要公式有：（1）圆的周长=直径=2半径，即：C=d=2r(2)中心角为n的弧的长度=n(半径)180，即：l=（3）圆的面积=(半径) 2，即：S=r2(4)中心角为n的扇形的面积=n(半径) 2360，即：S= l=lr二、典
33、型例题例1如下图（1），在一个边长为4cm的正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆，求阴影部分的面积。分析（一）：把上图靠下边的半圆换成（面积与它相等）右边的半圆，得到图（2）。这时，右图中阴影部分与不含阴影部分的大小形状完全一样，因此它们的面积相等。所以上图中阴影部分的面积等于正方形面积的一半。分析（二）：将上半个“弧边三角形”从中间切开，分别补贴在下半圆的上侧边上，如图（3）所示。阴影部分的面积是正方形面积的一半。分析（三）：将下面的半圆从中间切开，分别贴补在上面弧边三角形的两侧，如图（4）所示。阴影部分的面积是正方形的一半。 解：442=16（平方厘米）例2如下图，正方形ABCD
34、的边长为4厘米，分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆，求阴影部分面积。分析：阴影部分的面积等于两个扇形的面积之和减去正方形的面积。解：S阴影=S扇形ACBS扇形ACDS正方形ABCDABDC =AB22AB2 =4224216=9.12（平方厘米）。例3如下图，两个正方形边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部分的面积。分析： 阴影部分的面积，等于底为16、高为6的直角三角形面积与图中（）的面积之差。而图中（）的面积等于边长为6的正方形面积减去的以6为半径的圆的面积。解：S阴影=S三角形ACD（S正方形BCDES扇形EBD） =40.26（平方厘米）。三、熟能生巧1如下图，圆的直径为8c
35、m，求阴影部分的面积。2如图，三角形ABC是等腰直角三角形，AC=BC=10cm，分别以A、B为圆心，以AC、BC为半径在三角形ABC内画弧，求阴影部分的面积。3如下图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB=20厘米，如果阴影（1）的面积比阴影（2）的面积大7平方厘米，求BC长。 四、拓展演练1如下图，三个同心圆的半径分别是2、6、10，求图中阴影部分面积占大圆面积的百分之几？2如下图，大正方形的边长为6厘米，小正方形的边长为4厘米。求阴影部分的面积。3如图，已知直角梯形的上底、下底与高之比是1：2：1，和为24厘米。图中阴影甲的面积比阴影乙的面积少多少？五、星级挑战1如下图，将直径AB
36、为3厘米的半圆绕A逆时针旋转60，此时AB到达AC的位置，求阴影部分的面积（取=3.14）。2求图中的阴影部分的面积。（单位：厘米）第10讲 长方体的表面积和体积一、夯实基础长方体和正方体六个面的总面积，叫做它们的表面积。长方体的六个面分为上下、左右、前后三组，每组对面的大小、形状完全相同；正方体的六个面是大小相等的六个正方形。长方体的表面积=（长宽+宽高+长高）2正方体的表面积=棱长棱长6物体占空间的大小，叫做物体的体积。容积是指所能容纳物体的体积。一个物体的容积计算方法与体积计算方法相同，不过体积是从物体外面测量出长度再进行计算，容积是从物体内部测量出长度再进行计算。通常物体的体积要大于容
37、积，当厚度忽略不计时，容积就等于体积。长方体体积=长宽高正方体体积=棱长棱长棱长二、典型例题例1一块长方形铁皮长24厘米，四角剪去边长3厘米的正方形后，然后通过折叠、焊接，做成一个无盖的长方体铁盒，铁盒的容积是486立方厘米。求原来长方形铁皮的面积。 分析：要求原来长方形铁皮的面积，关键要能求出原长方形铁皮的宽。根据题意，画出示意图，结合空间相像，可知做成的长方体铁盒的长是2432=18（厘米），高就是剪下的小正方形的边长，也就是3厘米。又知铁盒的容积是486厘米，这样就可以算出铁盒的宽。铁盒宽并不是原来长方形铁皮的宽，再加上32=6（厘米）才是原铁皮的宽。解：长方体铁盒的长：2432=18（
38、厘米） 长方体铁盒的宽：486318=9（厘米） 长方形铁皮的宽：932=15（厘米） 长方形铁皮的面积：2415=360（平方厘米）答：原长方形铁皮的面积是360平方厘米。例2如右图，用3条丝带捆扎一个礼盒，第一条丝带长235cm，第二条丝带长445cm，第三条丝带长515cm，每条丝带的接头处的长度均为5cm，求礼盒的体积。 分析：从图中可以看出，在捆扎礼盒的丝带中最长的一根去掉接头的5cm，剩余部分的长度等于长方体长与宽和的2倍。 解：长宽（5155）2255（cm） 长高（4455）2220（cm） 宽高（2355）2115（cm） 长宽高（255220115）2295（cm） 长：2
39、95115180（cm） 宽：29522075（cm） 高：29525540（cm） 礼盒体积：1807540=540000（cm3）=540（dm3） 答：这个礼盒的体积是540立方分米。例3如图（1），一个密封的长方体玻璃缸长15厘米，水深3厘米。如果把玻璃缸按图（2）放置，里面的水深是多少厘米？（玻璃的厚度忽略不计）分析：长方体玻璃缸中的水的体积没有变化，长也没有变化，只是宽和水深相应的变化了。解：设容器侧放后水深是x厘米1583154xx6答：如果把玻璃缸按图（2）放置，里面的水深是6厘米。三、熟能生巧1在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体（下图），求这个立体图形的表面积。2一个密闭的长方体水箱，长10分米，宽8分米，高6分米，内装3分米深的水，若将长方体的长边竖立起来，水深会是多少分米？ 3右图是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的几何体，求此几何体的表面积是多少？ 四、拓展演练1如图所示是一个棱长12厘米的正方体，从前住后，有一个“十”字型的洞。“十”字最短边长都是2厘米，求它的表面积和体积？2如图，在一块平坦的水泥地上，用砖和水泥砌成一个长方体的水泥池，墙厚为10